鏈（Chain）是數(shù)獨(dú)高階技巧的核心，所有數(shù)獨(dú)盤勢(shì)都可以通過各種或簡(jiǎn)單或復(fù)雜的鏈來解出答案。鏈的本質(zhì)是命題之間的關(guān)系，在解數(shù)獨(dú)時(shí)，每個(gè)填數(shù)的步驟都可表現(xiàn)為在『A格中填入1』、『B格中填入2』這樣非真即假的直言命題形式，如果條件不充足，命題真假不能判定，我們把數(shù)獨(dú)中這種命題之間的真假關(guān)系稱之為鏈。用鏈解題的邏輯在于，籍由命題真假值的推導(dǎo)，根據(jù)鏈兩端點(diǎn)命題的真假來判斷其共同作用格內(nèi)候選數(shù)的真假。

強(qiáng)關(guān)系（Strong Links）和弱關(guān)系（Weak Links）

鏈可分為強(qiáng)鏈與弱鏈，分別由強(qiáng)關(guān)系和弱關(guān)系構(gòu)成，定義如下：

強(qiáng)關(guān)系——對(duì)應(yīng)矛盾關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系，兩個(gè)命題不可同假，必有一真（下反對(duì)關(guān)系可以同真）；

弱關(guān)系——對(duì)應(yīng)矛盾關(guān)系和上反對(duì)關(guān)系，兩個(gè)命題不可同真，必有一假（上反對(duì)關(guān)系可以同假）。

圖1-矛盾關(guān)系

?圖1小九宮格中，數(shù)字A只可能出現(xiàn)在R1C1和R3C3兩個(gè)格中。根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，數(shù)字1-9在每個(gè)Unit（行Row、列Column、宮Box）中均需出現(xiàn)且僅出現(xiàn)1次，易知兩個(gè)A之間為矛盾關(guān)系，兩者不可同假，必為一真一假，可作出判斷：(1)若 R1C1≠A，則R3C3=A，兩個(gè)A之間為強(qiáng)關(guān)系，構(gòu)成強(qiáng)鏈，記作R1C1{A}==R3C3{A}；(2)若R1C1=1，則R3C3≠1，兩個(gè)A之間為弱關(guān)系，構(gòu)成弱鏈，記作R1C1{1}—R3C3{1}。

圖2-上反對(duì)關(guān)系

?再看一個(gè)例子，圖2中，數(shù)字A僅能出現(xiàn)在三個(gè)格中，根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，可知必有一個(gè)A為真，其余兩個(gè)為假，則三個(gè)A兩兩之間不能同真，為上反對(duì)關(guān)系，可作出以下判斷：(1)若R1C1=A，則R2C2、R3C3≠A；(2)若R2C2=A，則R1C1、R3C3≠A；(3)若R3C3=A，則R1C1、R2C2≠A。

在本例中，存在三條弱鏈，分別是R1C1{A}—R2C2{A}, R1C1{A}—R3C3{A}, R2C2{A}—R3C3{A}。

在以上兩例中，可以看到，當(dāng)某單元內(nèi)特定候選數(shù)僅存在于兩個(gè)格中時(shí)，兩格中的該候選數(shù)是矛盾關(guān)系，二者之間既構(gòu)成強(qiáng)鏈也構(gòu)成弱鏈。而當(dāng)該候選數(shù)存在于三個(gè)及以上格中時(shí)，兩兩之間是上反對(duì)關(guān)系，構(gòu)成弱鏈。

圖3-矛盾關(guān)系、上反對(duì)關(guān)系

強(qiáng)弱關(guān)系并不只局限于同一候選數(shù)，在圖3九宮格中，R1C1中僅存在候選數(shù)A、B，R3C3中僅存在候選數(shù)A、B、C。如前兩例，我們可知，R1C1格中的A和B為矛盾關(guān)系，二者之間即是強(qiáng)鏈也是弱鏈，R3C3中的A、B、C兩兩之間為上反對(duì)關(guān)系，構(gòu)成弱鏈。

圖4-下反對(duì)關(guān)系、ALS

圖4是復(fù)雜一點(diǎn)的情況，R1C1、R23C2三格中共有{1234}四個(gè)候選數(shù)（這種n格中有n+1個(gè)候選數(shù)的結(jié)構(gòu)稱為ALS——Almost Locked Set），根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，可知這四個(gè)候選數(shù)中有且只有一個(gè)為假，由強(qiáng)弱鏈定義易知1、2、3和4之間，兩兩互為強(qiáng)鏈。與前述矛盾關(guān)系的例子不同，本例{1234}中必有三個(gè)為真，則其兩兩之間為下反對(duì)關(guān)系，可以同真，不能構(gòu)成弱鏈。

鏈?zhǔn)侨绾喂ぷ鞯?/b>

以上我們對(duì)強(qiáng)弱鏈有了基本的了解，接下來我們把鏈連接起來看看會(huì)發(fā)生什么。首先是強(qiáng)弱強(qiáng)鏈，A==B—C==D，我們根據(jù)強(qiáng)弱鏈的定義，畫出真值表（只保留有效推導(dǎo)）

圖5-強(qiáng)弱強(qiáng)鏈真值表

由圖5可以看到，不論A取真值還是假值，在鏈的起點(diǎn)A和終點(diǎn)D中至少有一真，即A與D之間為強(qiáng)關(guān)系。我們僅考慮A為假的情況（若其為真，則已經(jīng)可以用來刪數(shù)），當(dāng)A為假時(shí)，由于A、B、C、D由強(qiáng)弱鏈交替連接，推導(dǎo)如下：(1)若A為假，根據(jù)強(qiáng)鏈定義B只能為真；(2)若B為真，根據(jù)弱鏈定義C只能為假；(3)若C為假，根據(jù)強(qiáng)鏈定義D只能為真。

可見這種情況下只存在有一種有效推導(dǎo)形式，即A假D真，顯然，只要保證以強(qiáng)鏈?zhǔn)家詮?qiáng)鏈終，? 即使將這條鏈不斷延長(zhǎng)下去仍可得出同樣結(jié)論：若起點(diǎn)為假則終點(diǎn)必然為真。綜上可知，強(qiáng)弱強(qiáng)鏈的兩端點(diǎn)互為強(qiáng)關(guān)系，必有一個(gè)為真。

我們?cè)賮砜慈鯊?qiáng)弱鏈的推導(dǎo)。A—B==C—D，真值表如下：

圖6-弱強(qiáng)弱鏈真值表

可見A與D中至少有一假，二者互為弱關(guān)系。將其不斷延長(zhǎng)，結(jié)果仍會(huì)是這樣，推導(dǎo)過程不再贅述。這種情況不能直接用來刪減A、D共同作用格的候選數(shù)。

圖7-強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)鏈真值表

如果將三條強(qiáng)鏈連接又會(huì)如何呢？A==B==C==D，從圖7真值表中可以看到，鏈的兩端點(diǎn)A和D一真一假、全真全假都有可能，也沒有刪減效果。

由以上推導(dǎo)我們可以總結(jié)，在數(shù)獨(dú)解題過程中，鏈的工作模式是，找到數(shù)獨(dú)盤勢(shì)中的強(qiáng)鏈，用弱鏈將之連接，在此過程中保證強(qiáng)弱交替，以強(qiáng)鏈?zhǔn)家詮?qiáng)鏈終，則鏈的兩端點(diǎn)互為強(qiáng)關(guān)系，必有一真，若其存在共同作用格，則可對(duì)共同作用格內(nèi)的相應(yīng)候選數(shù)進(jìn)行刪減。

鏈的簡(jiǎn)單應(yīng)用

來看一個(gè)例子，在圖8的盤勢(shì)中，可以找到一條從R1C4到R4C6的5的鏈（實(shí)線代表強(qiáng)鏈，虛線代表弱鏈，R1C4{5}==R1C9{5} — R4C9{5}==R4C6{5}），這條鏈強(qiáng)弱交替，且以強(qiáng)鏈?zhǔn)家詮?qiáng)鏈終，可知R1C4的5與R4C6的5互為強(qiáng)關(guān)系，必有一個(gè)成立，不管哪個(gè)成立都可以刪去R1C4、R4C6共同作用格（綠色區(qū)域）里的5。推導(dǎo)過程如右：(1)若 R1C4=5，則R2C6、R5C4≠5；(2)若R1C4≠5?→ R1C9=5 → R4C9≠ 5 → R4C6=5，則 R2C6、R5C4≠5。

圖8-Skyscraper

ps：上圖中的結(jié)構(gòu)稱為摩天樓（Skyscraper），是雙強(qiáng)鏈（強(qiáng)弱強(qiáng)鏈）的一種基礎(chǔ)應(yīng)用。

再看一個(gè)稍微復(fù)雜點(diǎn)的例子，在圖9盤勢(shì)中，可以找到一條從R4C6到R6C1的6的鏈（實(shí)線箭頭代表強(qiáng)鏈，虛線代表弱鏈），可知R4C6與R6C1中的6互為強(qiáng)關(guān)系，必有一個(gè)成立，故可刪去R4C6與R6C1共同作用格（綠色區(qū)域）內(nèi)的6。大家可自行推導(dǎo)以加強(qiáng)對(duì)鏈的掌握。

圖9-異數(shù)鏈