我們都知道，計算機的底層都是使用二進制數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)流傳輸?shù)?，那么為什么會使用二進制表示計算機呢？或者說，什么是二進制數(shù)呢？在拓展一步，如何使用二進制進行加減乘除？二進制數(shù)如何表示負數(shù)呢？本文將一一為你揭曉。

為什么用二進制表示

我們大家知道，計算機內(nèi)部是由IC電子元件組成的，其中 CPU和內(nèi)存也是 IC 電子元件的一種，CPU和內(nèi)存圖如下

CPU

內(nèi)存

CPU 和 內(nèi)存使用IC電子元件作為基本單元，IC電子元件有不同種形狀，但是其內(nèi)部的組成單元稱為一個個的引腳。有人說CPU 和 內(nèi)存內(nèi)部都是超大規(guī)模集成電路，其實IC 就是集成電路(Integrated Circuit)。

IC元件切面圖

IC元件兩側(cè)排列的四方形塊就是引腳，IC的所有引腳，只有兩種電壓: 0V和5V，IC的這種特性，也就決定了計算機的信息處理只能用 0 和 1 表示，也就是二進制來處理。一個引腳可以表示一個 0 或 1 ，所以二進制的表示方式就變成 0、1、10、11、100、101等，雖然二進制數(shù)并不是專門為 引腳 來設(shè)計的，但是和 IC引腳的特性非常吻合。

計算機的最小集成單位為 位，也就是比特(bit)，二進制數(shù)的位數(shù)一般為 8位、16位、32位、64位，也就是 8 的倍數(shù)，為什么要跟 8 扯上關(guān)系呢？因為在計算機中，把 8 位二進制數(shù)稱為一個字節(jié)， 一個字節(jié)有 8 位，也就是由 8個bit構(gòu)成。

為什么1個字節(jié)等于8位呢？因為 8 位能夠涵蓋所有的字符編碼，這個記住就可以了。

字節(jié)是最基本的計量單位，位是最小單位。

用字節(jié)處理數(shù)據(jù)時，如果數(shù)字小于存儲數(shù)據(jù)的字節(jié)數(shù) ( = 二進制的位數(shù))，那么高位就用 0 填補，高位和數(shù)學(xué)的數(shù)字表示是一樣的，左側(cè)表示高位，右側(cè)表示低位。比如 這個六位數(shù)用二進制數(shù)來表示就是100111，只有6位，高位需要用 0 填充，填充完后是00100111，占一個字節(jié)，如果用 16 位表示 就是0000 0000 0010 0111占用兩個字節(jié)。

我們一般口述的 32 位和 64位的計算機一般就指的是處理位數(shù)，32 位一次可以表示 4個字節(jié)，64位一次可以表示8個字節(jié)的二進制數(shù)。

我們一般在軟件開發(fā)中用十進制數(shù)表示的邏輯運算等，也會被計算機轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)處理。對于二進制數(shù)，計算機不會區(qū)分他是 圖片、音頻文件還是數(shù)字，這些都是一些數(shù)據(jù)的結(jié)合體。

什么是二進制數(shù)

那么什么是二進制數(shù)呢？為了說明這個問題，我們先把 00100111這個數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)看一下，二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，直接將各位置上的值 * 位權(quán)即可，那么我們將上面的數(shù)值進行轉(zhuǎn)換

二進制轉(zhuǎn)十進制表示圖

也就是說，二進制數(shù)代表的 00100111轉(zhuǎn)換成十進制就是 39，這個 39 并不是 3 和 9 兩個數(shù)字連著寫，而是 3 * 10 + 9 * 1，這里面的10 , 1就是位權(quán)，以此類推，上述例子中的位權(quán)從高位到低位依次就是7 6 5 4 3 2 1 0。這個位權(quán)也叫做次冪，那么最高位就是2的7次冪，2的6次冪 等等。二進制數(shù)的運算每次都會以2為底，這個2 指得就是基數(shù)，那么十進制數(shù)的基數(shù)也就是 10 。在任何情況下位權(quán)的值都是數(shù)的位數(shù) - 1，那么第一位的位權(quán)就是 1 - 1 = 0， 第二位的位權(quán)就睡 2 - 1 = 1，以此類推。

那么我們所說的二進制數(shù)其實就是 用0和1兩個數(shù)字來表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，它的數(shù)值就是每個數(shù)的位數(shù) * 位權(quán)再求和得到的結(jié)果，我們一般來說數(shù)值指的就是十進制數(shù)，那么它的數(shù)值就是 3 * 10 + 9 * 1 = 39。

移位運算和乘除的關(guān)系

在了解過二進制之后，下面我們來看一下二進制的運算，和十進制數(shù)一樣，加減乘除也適用于二進制數(shù)，只要注意逢 2 進位即可。二進制數(shù)的運算，也是計算機程序所特有的運算，因此了解二進制的運算是必須要掌握的。

首先我們來介紹移位運算，移位運算是指將二進制的數(shù)值的各個位置上的元素坐左移和右移操作，見下圖

移位過程

上述例子中還是以 39 為例，我們先把十進制的39 轉(zhuǎn)換為二進制的 0010 0111，然后向左移位 <<一個字節(jié)，也就變成了0100 1110，那么再把此二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)就是上面的78， 十進制的78 竟然是 十進制39 的2倍關(guān)系。我們在讓0010 0111左移兩位，也就是1001 1100，得出來的值是 156，相當于擴大了四倍！

因此你可以得出來此結(jié)論，左移相當于是數(shù)值擴大的操作，那么右移 >>呢？按理說右移應(yīng)該是縮小 1/2，1/4 倍，但是39 縮小二倍和四倍不就變成小數(shù)了嗎？這個怎么表示呢？請看下一節(jié)

便于計算機處理的補數(shù)

剛才我們沒有介紹右移的情況，是因為右移之后空出來的高位數(shù)值，有 0 和 1 兩種形式。要想?yún)^(qū)分什么時候補0什么時候補1，首先就需要掌握二進制數(shù)表示負數(shù)的方法。

二進制數(shù)中表示負數(shù)值時，一般會把最高位作為符號來使用，因此我們把這個最高位當作符號位。符號位是 0 時表示正數(shù)，是 1 時表示負數(shù)。那么 -1 用二進制數(shù)該如何表示呢？可能很多人會這么認為：因為 1 的二進制數(shù)是0000 0001，最高位是符號位，所以正確的表示 -1 應(yīng)該是1000 0001，但是這個答案真的對嗎？

計算機世界中是沒有減法的，計算機在做減法的時候其實就是在做加法，也就是用加法來實現(xiàn)的減法運算。比如 100 - 50 ，其實計算機來看的時候應(yīng)該是 100 + (-50)，為此，在表示負數(shù)的時候就要用到二進制補數(shù)，補數(shù)就是用正數(shù)來表示的負數(shù)。

為了獲得補數(shù)，我們需要將二進制的各數(shù)位的數(shù)值全部取反，然后再將結(jié)果 + 1 即可，先記住這個結(jié)論，下面我們來演示一下。

-1 取反過程

具體來說，就是需要先獲取某個數(shù)值的二進制數(shù)，然后對二進制數(shù)的每一位做取反操作(0 ---> 1 , 1 ---> 0)，最后再對取反后的數(shù) +1 ，這樣就完成了補數(shù)的獲取。

補數(shù)的獲取，雖然直觀上不易理解，但是邏輯上卻非常嚴謹，比如我們來看一下 1 - 1 的這個過程，我們先用上面的這個 1000 0001(它是1的補數(shù)，不知道的請看上文，正確性先不管，只是用來做一下計算)來表示一下

1 - 1 分析圖

奇怪，1 - 1 會變成 130 ，而不是0，所以可以得出結(jié)論 1000 0001表示 -1 是完全錯誤的。

那么正確的該如何表示呢？其實我們上面已經(jīng)給出結(jié)果了，那就是 1111 1111，來論證一下它的正確性

1 - 1 正確的分析圖

我們可以看到 1 - 1 其實實際上就是 1 + (-1)，對 -1 進行上面的取反 + 1 后變?yōu)?1111 1111, 然后與 1 進行加法運算，得到的結(jié)果是九位的1 0000 0000，結(jié)果發(fā)生了溢出，計算機會直接忽略掉溢出位，也就是直接拋掉 最高位 1 ，變?yōu)?code>0000 0000。也就是 0，結(jié)果正確，所以1111 1111表示的就是 -1 。

所以負數(shù)的二進制表示就是先求其補數(shù)，補數(shù)的求解過程就是對原始數(shù)值的二進制數(shù)各位取反，然后將結(jié)果 + 1，

當然，結(jié)果不為 0 的運算同樣也可以通過補數(shù)求得正確的結(jié)果。不過，有一點需要注意，當運算結(jié)果為負的時候，計算結(jié)果的值也是以補數(shù)的形式出現(xiàn)的，比如 3 - 5 這個運算，來看一下解析過程

3 - 5 的解析過程

3 - 5 的運算，我們按著上面的思路來過一遍，計算出來的結(jié)果是 1111 1110，我們知道，這個數(shù)值肯定表示負數(shù)，但是負數(shù)無法直接用十進制表示，需要對其取反+ 1，算出來的結(jié)果是 2，因為1111 1110的高位是 1，所以最終的結(jié)果是 -2。

編程語言的數(shù)據(jù)類型中，有的可以處理負數(shù)，有的不可以。比如 C語言中不能處理負數(shù)的 unsigned short類型，也有能處理負數(shù)的short類型 ，都是兩個字節(jié)的變量，它們都有 2 的十六次冪種值，但是取值范圍不一樣，short 類型的取值范圍是 -32768 - 32767 ， unsigned short 的取值范圍是 0 - 65536。

仔細思考一下補數(shù)的機制，就能明白 -32768 比 32767 多一個數(shù)的原因了，最高位是 0 的正數(shù)有 0 ~ 32767 共 32768 個，其中包括0。最高位是 1 的負數(shù)，有 -1 ~ -32768 共 32768 個，其中不包含0。0 雖然既不是正數(shù)也不是負數(shù)，但是考慮到其符號位，就將其歸為了正數(shù)。

算數(shù)右移和邏輯右移的區(qū)別

在了解完補數(shù)后，我們重新考慮一下右移這個議題，右移在移位后空出來的最高位有兩種情況 0 和 1。當二進制數(shù)的值表示圖形模式而非數(shù)值時，移位后需要在最高位補0，類似于霓虹燈向右平移的效果，這就被稱為邏輯右移。

邏輯右移示意圖

將二進制數(shù)作為帶符號的數(shù)值進行右移運算時，移位后需要在最高位填充移位前符號位的值( 0 或 1)。這就被稱為算數(shù)右移。如果數(shù)值使用補數(shù)表示的負數(shù)值，那么右移后在空出來的最高位補 1，就可以正確的表示1/2,1/4,1/8等的數(shù)值運算。如果是正數(shù)，那么直接在空出來的位置補 0 即可。

下面來看一個右移的例子。將 -4 右移兩位，來各自看一下移位示意圖

邏輯右移和算數(shù)右移示意圖

如上圖所示，在邏輯右移的情況下， -4 右移兩位會變成 63， 顯然不是它的 1/4，所以不能使用邏輯右移，那么算數(shù)右移的情況下，右移兩位會變?yōu)?code>-1，顯然是它的 1/4，故而采用算數(shù)右移。

那么我們可以得出來一個結(jié)論：左移時，無論是圖形還是數(shù)值，移位后，只需要將低位補 0 即可；右移時，需要根據(jù)情況判斷是邏輯右移還是算數(shù)右移。

下面介紹一下符號擴展：將數(shù)據(jù)進行符號擴展是為了產(chǎn)生一個位數(shù)加倍、但數(shù)值大小不變的結(jié)果，以滿足有些指令對操作數(shù)位數(shù)的要求，例如倍長于除數(shù)的被除數(shù)，再如將數(shù)據(jù)位數(shù)加長以減少計算過程中的誤差。

以8位二進制為例，符號擴展就是指在保持值不變的前提下將其轉(zhuǎn)換成為16位和32位的二進制數(shù)。將0111 1111這個正的 8位二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成為 16位二進制數(shù)時，很容易就能夠得出0000 0000 0111 1111這個正確的結(jié)果，但是像1111 1111這樣的補數(shù)來表示的數(shù)值，該如何處理？直接將其表示成為1111 1111 1111 1111就可以了。也就是說，不管正數(shù)還是補數(shù)表示的負數(shù)，只需要將 0 和 1 填充高位即可。

邏輯運算的竅門

掌握邏輯和運算的區(qū)別是：將二進制數(shù)表示的信息作為四則運算的數(shù)值來處理就是算數(shù)，像圖形那樣，將數(shù)值處理為單純的0和1的羅列就是邏輯

計算機能夠處理的運算，大體可分為邏輯運算和算數(shù)運算，算數(shù)運算指的是加減乘除四則運算；邏輯運算指的是對二進制各個數(shù)位的 0 和 1分別進行處理的運算，包括邏輯非(NOT運算)、邏輯與(AND運算)、邏輯或(OR運算)和邏輯異或(XOR運算)四種。

·邏輯非指的是將 0 變成 1，1 變成 0 的取反操作·邏輯與指的是'兩個都是 1 時，運算結(jié)果才是 1，其他情況下是 0'·邏輯或指的是'至少有一方是 1 時，運算結(jié)果為 1，其他情況下運算結(jié)果都是 0'·邏輯異或指的是 '其中一方是 1，另一方是 0時運算結(jié)果才是 1，其他情況下是 0'

與或非異或真值表

掌握邏輯運算的竅門，就是要摒棄二進制數(shù)表示數(shù)值這一個想法。大家不要把二進制數(shù)表示的值當作數(shù)值，應(yīng)該把它看成是 開關(guān)上的 ON/OFF。

文章參考：

《程序是怎樣跑起來的》

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