“拓?fù)洹?/strong>是我們常常會(huì)聽見一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，乍聽起來(lái)，它好像是一個(gè)很“玄”的東西，但實(shí)際上它并不神秘，“拓?fù)洹币呀?jīng)成為一種再基本不過(guò)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，沒(méi)有這樣的基本結(jié)構(gòu)，就不可能有今天的數(shù)學(xué)。那么，“拓?fù)洹钡降资且环N怎樣的數(shù)學(xué)概念呢？

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

從定義上來(lái)說(shuō)，拓?fù)涫琴x予在集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在滿足規(guī)定的三條公理后，這個(gè)集合連同這個(gè)結(jié)構(gòu)就成為一個(gè)拓?fù)淇臻g，這個(gè)結(jié)構(gòu)就被稱為“拓?fù)洹薄Ｒ簿褪钦f(shuō)，“拓?fù)洹笔侨藶橐?guī)定出來(lái)的一種結(jié)構(gòu)，它的基本組成元素是所謂的“開集”?？梢钥吹?，這樣原始的拓?fù)涫欠浅捤傻模](méi)有給集合太強(qiáng)的約束，在這種情況下，集合上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往非常多，其中最簡(jiǎn)單的拓?fù)溆蓛蓚€(gè)元素組成，也就是空集和集合本身，這種拓?fù)浞Q為“最粗”的拓?fù)?，相?duì)的，就有“最細(xì)”的拓?fù)洌杉系乃凶蛹M成。顯而易見的是，這兩種拓?fù)涠际菨M足拓?fù)涔淼摹?/p>

歐式空間是我們非常熟悉的空間，它帶有一個(gè)普通的歐式距離結(jié)構(gòu)，這種距離也就是平常我們所接觸的空間距離。歐式空間這樣重要的空間顯然應(yīng)該成為一個(gè)拓?fù)淇臻g，那么它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是怎么樣的呢？對(duì)于距離空間而言，它擁有一個(gè)由距離所誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以一維歐式空間直線為例，它在距離拓?fù)湎碌拈_集就是開區(qū)間，閉集就是閉區(qū)間，這樣的拓?fù)鋵?duì)于距離空間而言是非常自然的，它常常被稱為距離拓?fù)?/strong>。

對(duì)于一個(gè)集合來(lái)說(shuō)，如果它沒(méi)有任何附加的結(jié)構(gòu)，那么就很難在上面進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，因?yàn)檫@樣的集合太松散了，以至于幾乎無(wú)法討論。所以我們需要對(duì)集合賦予結(jié)構(gòu)，也就是加上一些約束條件，使得它可以成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的舞臺(tái)，而拓?fù)渚褪沁@樣一種基本的結(jié)構(gòu)。除了拓?fù)渲?，?dāng)然還有其他許多重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如群結(jié)構(gòu)，對(duì)集合規(guī)定運(yùn)算并使得元素滿足一些條件后，它就成為了一個(gè)群。

給定一個(gè)拓?fù)淇臻g后，我們就要研究它的性質(zhì)，因而有了緊集，稠密性，連通性等概念。而僅僅研究一個(gè)拓?fù)淇臻g顯然是不夠的，有了不同的拓?fù)淇臻g之后，首先關(guān)心的問(wèn)題是它們有什么區(qū)別。拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科所關(guān)注的是空間在連續(xù)變化下保持不變的性質(zhì)，也就是所謂的拓?fù)洳蛔兞?/strong>，在這種情況下，我們不再關(guān)心空間的具體形狀，如果一個(gè)空間可以由另一個(gè)空間連續(xù)變化而來(lái)，那么應(yīng)該將它們視為同一個(gè)東西，這也就是“同胚”的概念，典型的例子就是咖啡杯可以連續(xù)變化為類似于甜甜圈的圓環(huán)。而著名的龐加萊猜想就是單連通閉三維流形的同胚分類問(wèn)題。

在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，我們都知道函數(shù)的連續(xù)性是由“δ-ε”語(yǔ)言所嚴(yán)格定義的，但實(shí)際上，它完全被包含在了拓?fù)浞秶鷥?nèi)。兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間映射的連續(xù)性被定義為：如果開集的原像為開集，那么映射連續(xù)?？梢钥吹剑唉?ε”語(yǔ)言完全就是這種拓?fù)湔Z(yǔ)言的特例，而微積分所關(guān)心的不過(guò)是歐式空間而已。有了拓?fù)渲螅覀兯苎芯康目臻g范圍就大大地?cái)U(kuò)展了，例如函數(shù)本身也能構(gòu)成拓?fù)淇臻g，這些空間就成為了泛函分析的研究對(duì)象。

說(shuō)了這么多，“拓?fù)洹笨赡芸雌饋?lái)還是很抽象，但從本質(zhì)來(lái)看，“拓?fù)洹钡谋举|(zhì)仍然在幾何的范疇之內(nèi)，但與傳統(tǒng)的幾何不同，“拓?fù)洹睂⒖臻g實(shí)體抽象成為了沒(méi)有形狀和大小的“點(diǎn)”，從而極大地拓展了“空間”這個(gè)概念。

拓?fù)鋵W(xué)

最后我們?cè)賮?lái)看看“拓?fù)鋵W(xué)”這門數(shù)學(xué)學(xué)科。拓?fù)涫?strong>Topology的音譯，它原本的意思是地形地貌，后來(lái)被賦予了“位置分析”的內(nèi)涵。最早提出“位置分析”這種數(shù)學(xué)思想的是萊布尼茨，而拓?fù)鋵W(xué)的真正起源恐怕要追溯到歐拉關(guān)于著名的“七橋問(wèn)題”的研究。

拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，形成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)兩大分支，前者又稱一般拓?fù)鋵W(xué)，它來(lái)源于康托關(guān)于集合論的工作，在弗雷歇和豪斯多夫給出了許多嚴(yán)格定義的概念以后，公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)才正式得以發(fā)展，這樣的數(shù)學(xué)思想在波蘭學(xué)派關(guān)于泛函分析和蘇聯(lián)學(xué)派關(guān)于函數(shù)空間的工作中得以發(fā)揚(yáng)光大，后來(lái)法國(guó)布爾巴基學(xué)派進(jìn)一步擴(kuò)充了這一領(lǐng)域的內(nèi)容，基本形成了今天點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的面貌，許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容利用拓?fù)渲匦陆忉屢院笞兊酶忧逦?/p>

而代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)始人則是偉大的龐加萊，他創(chuàng)造性地將代數(shù)學(xué)的方法引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的研究中。來(lái)自拓?fù)浔旧淼姆椒ㄊ欠浅Ｏ∩俚?，所以利用?qiáng)有力的代數(shù)方法來(lái)研究拓?fù)涫莿?shì)在必行的。龐加萊定義了如今被稱為同調(diào)群和基本群的基本代數(shù)拓?fù)洳蛔兞?，而后隨著數(shù)學(xué)發(fā)展，代數(shù)拓?fù)渲饾u分成了“同倫論”和“同調(diào)論”兩大分支。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，拓?fù)淇臻g之間的映射是同倫的當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)可以連續(xù)變化為另一個(gè)，更進(jìn)一步，映射的同倫關(guān)系實(shí)際上是等價(jià)關(guān)系，這些映射于是就被分為了不同的等價(jià)類。研究拓?fù)淇臻g和映射的同倫分類就是同倫論的基本內(nèi)容，它的基本代數(shù)工具是同倫群，而例如著名的龐加萊猜想，它本質(zhì)上就是同倫論中的一個(gè)難題。

從目的上來(lái)說(shuō)，同調(diào)論同樣是要構(gòu)造拓?fù)洳蛔兞浚{(diào)所描述的關(guān)系就沒(méi)有同倫那樣強(qiáng)烈的幾何直觀意義，但好處在于擺脫過(guò)多的幾何直觀后，可以更加完全地利用代數(shù)方法。而且從當(dāng)今的研究來(lái)看，同調(diào)論幾乎占據(jù)了主導(dǎo)地位，其中一個(gè)原因可能在于一般情況下同調(diào)群比同倫群更容易計(jì)算，也就更容易獲得拓?fù)淇臻g的性質(zhì)。

最后說(shuō)一下微分拓?fù)?/strong>，有些時(shí)候它被稱為是拓?fù)鋵W(xué)的第三個(gè)分支，但從本質(zhì)來(lái)說(shuō)，它的方法并沒(méi)有超出同倫論和同調(diào)論的范圍，只不過(guò)它的研究對(duì)象更加特殊。拓?fù)淇臻g本身非常一般，所以為了更好地適用于某些情況，還要加上一些限制，微分結(jié)構(gòu)就是其中一種，加上這種結(jié)構(gòu)后，拓?fù)淇臻g就成為了“微分流形”，這就是微分拓?fù)涞难芯繉?duì)象，同樣地，微分拓?fù)涞哪康娜匀皇菍ふ彝負(fù)洳蛔兞浚贿^(guò)這里是在微分同胚下的不變量。例如黎曼幾何，它研究的就是黎曼流形，也即帶有黎曼度量的微分流形，這實(shí)際上就是傳統(tǒng)的歐式幾何的推廣，在歐式幾何里，那個(gè)流形就是歐式空間，度量就是普通的歐式度量。

以上大概就是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科的大概含義，當(dāng)然，這里是非常淺顯的概述，“拓?fù)洹币辉~背后的含義實(shí)際上是非常豐富和深刻的。