一、概率論基礎(chǔ)
不確定性產(chǎn)生的三種來(lái)源： （1）建模系統(tǒng)存在隨機(jī)性 （2）不完全觀測(cè): 確定的系統(tǒng)，但是觀測(cè)值不完全，因?yàn)橛行┲禃r(shí)不可能完全觀測(cè)到的。 （3）不完全建模：可以理解建模時(shí)候，舍棄的部分值導(dǎo)致了模型預(yù)測(cè)時(shí)出現(xiàn)的不確定性
隨機(jī)變量可以使離散的和連續(xù)的。例如： 離散隨機(jī)變量：觀測(cè)天氣狀態(tài)x， x可以是（多云、晴天，雷暴天氣）定量數(shù)據(jù) 連續(xù)隨機(jī)變量：統(tǒng)計(jì)抽煙人群年齡x， x可以是 [15， 65] 區(qū)間的任一值
（1）離散型隨機(jī)變量 + 概率質(zhì)量函數(shù) 離散型隨機(jī)變量的概率分布使用概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）來(lái)表示，用字母P來(lái)表示，則有P(x) 函數(shù)P是x的概率質(zhì)量函數(shù)必須滿足以下條件： A、P定義域是x的所有可能狀態(tài)： 如x的可能狀態(tài)為（x1，x2，x3），恰好 （x1，x2，x3）是P的整個(gè)定義域 B、任意x，有 0 ≤ P（x）≤ 1 : P(x) = 0, 表示不會(huì)發(fā)生；P(x) = 1表示一定發(fā)生。P的值域必須處于[0,1] 之間 C、x的所有狀態(tài)的概率和為1 （歸一化）. P(X=x1) +P(X=x1) + ... + P(X=xn) = 1  （2）連續(xù)型隨機(jī)變量 + 概率密度函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量用概率密度函數(shù)（PDF）表示， 用p（小寫）表示 函數(shù)p是x的 概率密度函數(shù)必須滿足以下條件： A、P定義域是x的所有可能狀態(tài) B、任意x， p(x) ≥0。 （不要求 p(x) ≤ 1） C、  假設(shè)x落在區(qū)間[a,b]上， 可以通過對(duì)概率密度函數(shù)求導(dǎo)得到概率真實(shí)值：  （3）聯(lián)合概率分布：概率質(zhì)量函數(shù)可以同時(shí)作用于多個(gè)隨機(jī)變量的， 如P（X=x, Y=y）表示x和y同時(shí)發(fā)生的概率
邊緣概率是針對(duì)于聯(lián)合概率分布，用于了解一個(gè)子集的概率分布，其計(jì)算方式就是針對(duì)某個(gè)隨機(jī)變量求導(dǎo)，如下： 計(jì)算聯(lián)合概率分布P(X=x, Y=y) ：
對(duì)任意x， 都有：  相當(dāng)于對(duì)于
條件概率在統(tǒng)計(jì)學(xué)里這樣描述的，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，表示為 P（ B | A）。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的表示方法： P（A | B） = P(A B) / P（B） = P（A U B）/ P（B）， 表示 A在B條件下發(fā)生的概率= AB共同發(fā)生的概率 / B 發(fā)生的概率。 P（AB）表示A和B同時(shí)發(fā)生的概率。 ML中的表示： 
獨(dú)立性：如果事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率 = 事件A發(fā)生的概率 × 事件B發(fā)生的概率，那么成事件A和事件B是相互獨(dú)立的 P（AB） = P（A）P（B） 對(duì)于任意x和y，有如下式子：  條件獨(dú)立性 ： 給定事件C發(fā)生概率的條件下， 事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率 = 事件C條件下，A發(fā)生的概率 × 事件C條件下，B發(fā)生的概率，那么說明事件A和事件B在給定事件C下條件獨(dú)立。 P(A,B |C) = P(A|C) P(B|C) 
P(a, b, c) = P(a | b, c) * P(b, c) = P(a | b, c) * P(b | c) * P(c)
已知 A在B條件下發(fā)生的概率 P（A | B）， B發(fā)生的概率P（B）， 求 P（B | A）發(fā)生的概率。 貝葉斯定理如下： P（B | A） = P(A | B)·P(B) / P(A)
離散型隨機(jī)變量：  連續(xù)型隨機(jī)變量： 
令E（X）=μ1， E（Y）=μ2，那么x，y的協(xié)方差為： cov（X,Y）= E（(X-μ1) (Y-μ2)） cov（X,Y）= E（X·Y）- μ1μ2 若| cov(X,Y)| 很大，表示變量變化大，且各自距離均值很遠(yuǎn)。 cov(X,Y) > 0 , 兩個(gè)變量?jī)A向于 取較大值 cov(X,Y) < 0, 一個(gè)變量較大值，一個(gè)較小值，反之亦然。
（1）伯努利分布：二值隨機(jī)變量分布，0-1分布。 P（x=0）= a， p(x=1) = 1-a （2）多項(xiàng)式分布： （3）高斯分布 正太分布又稱為 高斯分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： μ=0， = 1的正態(tài)分布。 概率密度函數(shù)， 其為一個(gè)鐘型曲線：
A、建模時(shí)，很多真實(shí)情況比較接近正態(tài)分布。中心極限定理也說明很多隨機(jī)變量的和/均值等都服從正態(tài)分布 B、相同方差的所有可能概率分布中， 正態(tài)分布有最大的不確定性。 所以正態(tài)分布是先驗(yàn)知識(shí)最少的分布。噪聲較多的正態(tài)分布，其不確定性較高，如果模型能表現(xiàn)較好，那么說明模型魯棒性較高。 正態(tài)分布推廣到多維空間，就有多維正態(tài)分布 （4）指數(shù)分布和laplace分布（拉普拉斯分布）： 二、信息論基礎(chǔ)
一個(gè)不太可能發(fā)生的是發(fā)生了，要比非常可能發(fā)生的事，提供更多的信息
（1）、 非?？赡馨l(fā)生的事信息量少，極端情況下，確保能夠發(fā)生的事件應(yīng)該無(wú)信息量 （2）、 較不可能發(fā)生的事，具有較高的信息量 （3）、 獨(dú)立事件應(yīng)具有增量的信息
定義（以e為底的自然對(duì)數(shù)） : 單位：奈特（1奈特= 1/e的概率觀測(cè)到一個(gè)事件所獲取的信息量）
公式： 一個(gè)分部的香農(nóng)熵是遵循這個(gè)分布的事件所產(chǎn)生的期望信息總量 若X為連續(xù)的， 香農(nóng)熵被稱為 微分熵
當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)分布相同時(shí)，散度為0。連續(xù)型隨機(jī)變量，“幾乎處處”是相同的分布。
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