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圖1. Blowhole at Kiama. 人生最大的幸運莫過于在懵懂無知的時候遇到一位學(xué)識淵博、目光深遠(yuǎn)的導(dǎo)師，在導(dǎo)師的幫助下塑造價值體系，完善知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)術(shù)品味，特別是確定長久的研究方向。老顧就是這樣一個幸運兒：二十五年之前，老顧剛剛開始研究生的學(xué)習(xí)生涯，和丘成桐先生的首次見面時，丘先生就建議老顧研習(xí)蒙日-安培方程，并把自己的研究手稿交給老顧。那個時候，老顧的學(xué)識水平有限，又處于青春叛逆期，主觀上看不到如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論會被應(yīng)用于起步不久的計算機(jī)科學(xué)之中。因此在整個博士期間，老顧并沒有將蒙日-安培方程理論納入研究范圍之內(nèi)。 二十五年之后，老顧的看法完全改變，對丘先生的高瞻遠(yuǎn)矚愈發(fā)欽佩。物理和幾何的自然規(guī)律由偏微分方程的語言所表達(dá)，對于自然現(xiàn)象的模擬仿真等價于求解偏微分方程。計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展必然要應(yīng)用偏微分方程理論，由簡單到復(fù)雜，由線性到非線性，這是歷史的必然?？v觀整個計算機(jī)領(lǐng)域，幾年前所有的幾何算法幾乎都是基于線性的拉普拉斯方程，例如曲面Laplace-Beltrami算子的譜被作為“形狀指紋”，被廣泛應(yīng)用于工程的幾乎所有領(lǐng)域。這些算法本質(zhì)上是基于丘先生和鄭紹遠(yuǎn)先生早年黎曼流形的譜理論，以及其延伸黎曼流形的“熱核”理論?！八郊保╨evel set）方法，更是將微分方程方法、特別是流體方程直接應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。近些年來，依隨醫(yī)學(xué)圖像技術(shù)、無線通訊技術(shù)、3D 打印技術(shù)、VR/AR技術(shù)，特別是深度學(xué)習(xí)技術(shù)的飛速發(fā)展，以蒙日-安培方程為代表的非線性偏微分方程理論開始廣泛應(yīng)用于計算機(jī)科學(xué)和其他工程領(lǐng)域。 老顧所在團(tuán)隊的研究也是基于這一歷史發(fā)展脈絡(luò)：早期發(fā)展的全純微分算法，用于計算黎曼面上的微分形式，是基于線性的幾何泊松偏微分方程；后來發(fā)展的Ricci流算法，用于從曲率構(gòu)造黎曼度量，是非線性流方法；近期發(fā)展的蒙日-安培方程凸幾何算法，用于計算概率分布之間的變換，和從曲率構(gòu)造等距嵌入，是基于強(qiáng)烈非線性的Alexandrov方法。這些算法的編程難度和算法掌控難度也是依次增加的?？少F的回報是難得的精準(zhǔn)結(jié)果。 蒙日-安培方程
. 即便在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，由于其強(qiáng)烈的非線性，和高度的技巧性，蒙日-安培方程理論研究一直處于曲高和寡的境地。蒙日-安培方程和幾何問題密切相關(guān)，這意味著自然界中的大多數(shù)幾何問題本質(zhì)上是非線性的。例如閔可夫斯基（Minkowski）問題，給定凸曲面定義在法向量上的高斯曲率，如何重建曲面；Weyl問題，如何實現(xiàn)帶有黎曼度量曲面的局部等距嵌入；仿射幾何中的仿射球和仿射極大曲面問題。在幾何光學(xué)中，蒙日-安培方程同時也是解決反射曲面、折射透鏡的設(shè)計問題的關(guān)鍵。在經(jīng)濟(jì)理論和概率統(tǒng)計中，最優(yōu)傳輸（Optimal Mass Transportation）理論的基礎(chǔ)也是蒙日-安培方程。 近幾年來，依隨深度學(xué)習(xí)技術(shù)爆炸式發(fā)展，最優(yōu)傳輸理論成為計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的熱門，蒙日-安培方程理論開始實質(zhì)性地滲入計算機(jī)科學(xué)的中心腹地。由此，我們覺得從最優(yōu)傳輸觀點入手來理解蒙日-安培方程，最合時宜。最優(yōu)傳輸問題的直觀理解如下：考察一個國家具有疆域，其糧食的生產(chǎn)率為，消費率為，從產(chǎn)地
這樣的映射被稱為是最優(yōu)傳輸映射，最優(yōu)傳輸映射的總代價被稱為是概率分布和之間的Wasserstein距離。 當(dāng)傳輸代價函數(shù)為歐式距離的平方時，
蒙日-安培方程理論研究解的存在性、唯一性和正則性（光滑性），這些性質(zhì)強(qiáng)烈地依賴于的凸性，其邊界的光滑性，概率密度函數(shù)和的光滑性，代價函數(shù) 歷史上，法國學(xué)派、俄羅斯學(xué)派和中國學(xué)派都為蒙日-安培方程做出了杰出的貢獻(xiàn)。 簡要歷史回顧 法國傳統(tǒng) 自拿破侖制定將數(shù)學(xué)作為立國之本的國策以降，法國建立了悠久的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。法國文化中給予數(shù)學(xué)家崇高的社會地位。法國數(shù)學(xué)家更是群星璀璨，交映生輝。 最優(yōu)傳輸問題最早由法國數(shù)學(xué)家蒙日于1781年提出，蒙日和安培開始了這一理論方向。在巴黎有一站地鐵，以蒙日來命名，以彰顯他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。在里昂古城，有一條街以安培來命名。里昂位于羅納河和索恩河交匯處，風(fēng)光旖旎，歷史悠久，留有古羅馬遺跡，也是絲綢之路的終點。里昂經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，人文薈萃。1980年代，Brenier將最優(yōu)傳輸和蒙日-安培方程的關(guān)系進(jìn)一步闡發(fā)，其學(xué)生維拉尼（Cedric Villani）將最優(yōu)傳輸理論應(yīng)用于微分幾何和統(tǒng)計物理，特別是對非線性朗道阻尼的證明以及對玻爾茲曼方程收斂至平衡態(tài)的研究，獲得2010年度Fields獎。Villani的工作就是在里昂完成。Villani的學(xué)生Alessio Figalli研究最優(yōu)傳輸映射的正則性理論以及和蒙日-安培方程的內(nèi)在聯(lián)系，特別是蒙日-安培方程解的二階導(dǎo)數(shù) 目前，維拉尼是法國政界炙手可熱的人物，在科技政策制定方面權(quán)傾朝野。不久前，他說服總統(tǒng)馬克龍為人工智能的發(fā)展豪擲15億歐元。這項政策極大地推動了最優(yōu)傳輸理論的發(fā)展應(yīng)用，從而引發(fā)了蒙日-安培方程的研究熱潮。 俄羅斯傳統(tǒng) 法國皇家曾經(jīng)懸賞解決最優(yōu)傳輸問題。在1940年代，俄羅斯數(shù)學(xué)家Kantorovich通過將最優(yōu)傳輸映射放寬成最優(yōu)傳輸方案，即將映射轉(zhuǎn)換成聯(lián)合概率分布，將最優(yōu)傳輸問題變形成線性規(guī)劃問題，從而證明了解的存在性，
由此，Kantorovich獲得了1975年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎。Kantorovich的公式等價于其對偶形式，
目前，深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中絕大多數(shù)的工作都是基于Kantorovich的對偶形式進(jìn)行優(yōu)化。
圖2. Alexandrov問題。 蒙日-安培方程解的存在性證明最先由Alexandrov給出。Alexandrov問題和Minkowksi問題類似，其離散提法如下：給定凸多面體每一個面的面積和法向量，確定凸多面體。其實，Alexandrov凸多面體就是Brenier勢能函數(shù)，Alexandrov的幾何提法更加直觀。目前，在計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)視覺和幾何建模等領(lǐng)域，最優(yōu)傳輸問題的算法都是基于Alexandrov幾何提法。另外，Pogorelov也給出蒙日-安培方程的正則性估計。 美國學(xué)派的Levy，Nirenberg， Calabi， Caffarelli等人也都為蒙日-安培方程的理論做出過杰出貢獻(xiàn)。 中國傳統(tǒng) 在丘成桐先生的帶領(lǐng)下，中國數(shù)學(xué)家在蒙日-安培方程理論領(lǐng)域，做出了杰出的貢獻(xiàn)。丘先生在1970年代應(yīng)用復(fù)的蒙日-安培方程理論證明了卡拉比猜想，肯定了卡拉比-丘空間的存在性。數(shù)十年后，為了統(tǒng)一廣義相對論和量子力學(xué)，理論物理學(xué)家發(fā)展了超弦理論。超弦理論中的宇宙每一點上都有一個卡拉比-丘空間作為纖維，這一空間的拓?fù)鋷缀涡再|(zhì)決定了宇宙本源。 1990年，丘先生提出了100個公開問題，它們覆蓋了極為廣泛的專題，從微分幾何、復(fù)幾何到代數(shù)幾何。其中第21個問題明確提出了反射曲面設(shè)計和最優(yōu)傳輸映射以及蒙日-安培方程的關(guān)系。在1982年，丘成桐先生由于其在微分方程、代數(shù)幾何中的卡拉比猜想、廣義相對論中的正質(zhì)量猜想以及實和復(fù)的蒙日-安培方程等領(lǐng)域里所在的杰出貢獻(xiàn)，榮獲菲爾茲獎。 丘先生極大地推動力蒙日-安培方程理論的發(fā)展，他不遺余力地號召中國數(shù)學(xué)家投身到這一領(lǐng)域之中。很多中國數(shù)學(xué)家都受到丘先生的感召，為蒙日-安培正則性理論作出了杰出的貢獻(xiàn)。例如澳大利亞院士汪徐家教授，與合作者給出了Ma-Trudinger-Wang條件，來限定密度函數(shù)，傳輸代價和概率測度支集的幾何性質(zhì)，從而保證最優(yōu)傳輸映射的光滑性；再如，汪教授厘清了反射曲面設(shè)計、自由曲面透鏡設(shè)計等價于球面上的最優(yōu)傳輸問題，也等價于球面上的蒙日-安培方程。由于這些數(shù)學(xué)家堅持不懈的努力，近些年來，在蒙日-安培方程領(lǐng)域，大批的華裔青年才俊正在成長，很多佼佼者開始初露鋒芒。 人間天堂 2019年8月19-23號，汪徐家院士和他的高足劉佳堃教授、同事Neil Trudinger教授在澳大利亞的Kiama組織了一次蒙日-安培方程的學(xué)術(shù)會議，同時慶祝John Urbas教授的六十誕辰。會議邀請了大約四十名國際知名的專家學(xué)者，涵蓋基礎(chǔ)理論、數(shù)值計算和應(yīng)用領(lǐng)域。大家從世界各地趕來，在宛若“失去的天堂”般的Kiama，進(jìn)行了為期一周的熱烈研討。
圖3. 失落的天堂 - Kiama。 澳大利亞地廣人稀，原生態(tài)的自然環(huán)境純凈質(zhì)樸。Kiama又是澳大利亞著名的旅游勝地，海水從蔚藍(lán)到翠綠，清澈見底。大家就住在岸邊小屋之內(nèi)，可謂面朝大海，春暖花開。夜晚，窗外波濤洶涌，驚濤拍岸，抬頭皓月當(dāng)空，銀河璀璨；黎明，波瀾不興，海天一色，噴薄日出。澳大利亞的生態(tài)中除了人類，缺乏頂級掠食者，野生動物不必追求嗜血暴力，而是沿著相對和平的途徑進(jìn)行演化。因此，這里發(fā)展出很多原始而又溫和的物種，例如各種有袋類動物，袋鼠、樹袋熊等等。大量的物種由于缺乏天敵，演化出呆萌遲鈍、憨態(tài)可掬的行為特點。同時，由于不再發(fā)展暴力，大量的鳥類集中精力發(fā)展美麗，以此贏得生存競爭。例如巴布亞的天堂鳥，將美麗發(fā)展到極致，其羽毛爭奇斗艷，絢麗多彩。Kiama岸邊聚集著大量的鸚鵡，鸕鶿，魚鷹，海鷗等海禽，并不懼怕人類，在岸邊悠然自得。與之產(chǎn)生強(qiáng)烈對比的是紐約沿岸的海鷗，陰鷙暴力，血腥殘忍。長島游人經(jīng)常去岸邊釣螃蟹，將雞腿放入特制的籠子里，去引誘螃蟹進(jìn)入陷阱。在將雞腿拋入大海的剎那，經(jīng)常有海鷗凌空掠過，將整條雞腿吞入口中，同時十?dāng)?shù)只海鷗沖上前去，在空中廝打搶奪。澳洲的動物非常溫和，質(zhì)樸憨厚，與世無爭，卻又承受著蒼天的眷顧，享受著天堂般的自然環(huán)境。聽說澳大利亞內(nèi)陸沙漠地帶，生存條件惡劣，演化出毒性極強(qiáng)的毒蛇和毒蝎。
圖4. 海邊的鸚鵡。 澳大利亞的食物也是天下獨絕，Kiama的知名海產(chǎn)居然是人類遠(yuǎn)祖，澳洲肺魚（barramundi）。澳洲的帝王蟹，體型巨大，宛若一張八角圓桌，一只足夠十個成人飽餐一頓；體型稍小的澳洲雪蟹，通體雪白，足夠兩人大快朵頤。澳洲公路兩側(cè)，牛羊遍野，在冬季披著各色毛毯，自得其樂地覓食。汪徐家教授在住所燒烤，招待與會學(xué)者，隨便從超市中買來了澳洲羊排，味道極其鮮美。即便在北京或者紐約的米其林餐廳，都很難品嘗到味道如此濃郁純正的羊排。燒烤對蝦，體型碩大，肥厚勁道，余味綿長。 Kiama擁有一項獨步天下的奇觀 - blowhole。Kiama海岸由含鐵量很高的火山巖構(gòu)成，石質(zhì)堅硬。同時，火山巖中包含一種比較柔軟的礦物質(zhì)。在自然的風(fēng)化作用和海浪的沖刷之下，岸邊的山體被鏤空，形成豎井結(jié)構(gòu)。同時山體水下部分形成甬道。在強(qiáng)烈的海風(fēng)和海水潮汐共同作用之下，海浪能夠沖進(jìn)甬道，在豎井中噴射而出，形成壯觀的噴泉。久聞大名，會議中，幾乎每天大家都前去，等待合適的風(fēng)向和潮汐。但是天公不作美，一直沒有等到合適的氣象條件。終于有一日，海風(fēng)呼嘯，潮汐暴漲，blowhole奇觀再現(xiàn)。站在blowhole附近，聆聽海浪的轟鳴由遠(yuǎn)及近，咆哮而至，剎那間，山體中部噴出擎天一柱，浪花四濺，彩虹繽紛，令人壯懷激蕩，情難自已。激動的洪敏純教授稱之為“蒙日爆炸”！
圖5. 純凈美麗的“白沙灘”。 澳大利亞的“白沙灘”名聞天下。海沙潔白如雪，綿延數(shù)里，海水澄澈，天空湛藍(lán)。沿著海岸躑躅而行，物我兩忘，心曠神怡。大家談著蒙日-安培方程先驗估計的各種技巧，亦覺鬼斧神工，渾然天成。海中游弋著海豚，流線型身體光滑柔順，泳姿流暢優(yōu)雅。海豚頗通人性，與游船親切互動，其樂融融。 思想交流 純粹數(shù)學(xué)家是人類社會中最為天真單純的族群，他們選擇出世的生活，大部分時間生活在抽象的數(shù)學(xué)世界里，從而不食人間煙火。與政客商人不同，他們絕少運用政治手腕或者資本詭計來攫取利益，而是通過思想才華來得到世界的承認(rèn)，應(yīng)用美學(xué)價值來感召蕓蕓眾生。和純數(shù)學(xué)家交流思想總是令人心曠神怡的經(jīng)驗，他們低調(diào)而謙遜，深刻而雋永，總在哲學(xué)和數(shù)學(xué)方面給人以啟迪。蒙日-安培方程理論相對艱深，這一領(lǐng)域的專家都懷瑾藏璧，身手不凡。老顧的師叔方復(fù)全院士曾經(jīng)公開贊揚過汪徐家院士“是有真功夫的”！和這些數(shù)學(xué)大家交流，受益匪淺。 大師兄曹懷東教授曾經(jīng)用凱勒-黎奇流的方法給出卡拉比猜想的另外一種證明，并且補(bǔ)充Peralman的概略證明，用黎奇流的方法給出龐加萊猜測、瑟斯頓猜測證明的所有細(xì)節(jié)。老顧向曹師兄求教如何將Abel-Jacobi定理從復(fù)流形向?qū)嵙餍瓮茝V，曹師兄建議老顧去研讀實代數(shù)幾何方面的工作。曹師兄贊揚老顧的研究風(fēng)格需要什么數(shù)學(xué)理論就研習(xí)什么理論，相對于專攻一個方向的數(shù)學(xué)家更為廣博；老顧認(rèn)為純粹數(shù)學(xué)家的工作更為深刻，更具原始的獨創(chuàng)性，將成熟的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于工程領(lǐng)域，其深刻程度和開拓性低于純粹數(shù)學(xué)家。 華盛頓大學(xué)的袁域教授是清華應(yīng)用數(shù)學(xué)系86級的師兄，比老顧高3個年級。在那個年代，清華數(shù)學(xué)系和計算機(jī)系的理論班同時上課。老顧好幾個數(shù)學(xué)系同班女生都成了袁域的同學(xué)們的妻子，由此驗證了對于學(xué)妹這種稀缺資源而言，師兄們是頂級掠食者。袁教授言道其初愛是幾何，可現(xiàn)以偏微分方程謀生。他非常推崇華羅庚先生關(guān)于分析和幾何的哲學(xué)思想：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。他年輕的時候，對于一道題多種解法不以為然，成熟之后改變了看法。每個數(shù)學(xué)問題他都要求自己用分析解決一次，再用幾何解決一次，并且盡量少用先進(jìn)的分析工具，盡量降低求導(dǎo)階數(shù)，從更為本質(zhì)的層面去洞察。這一點非常符合老顧的心意，對于老顧的工作而言，從分析到幾何層面的理解是處于準(zhǔn)備階段，最終將數(shù)學(xué)定理轉(zhuǎn)化為計算機(jī)算法才算真正完成。算法設(shè)計更多地是依循問題的幾何本質(zhì)，很多艱深的分析證明，其后面的幾何想法卻是非常自然而直觀的。從某種層面上而言，蒙日-安培方程理論就是一個強(qiáng)有力的例證。袁教授強(qiáng)調(diào)了先驗估計在偏微分方程理論中的重要作用：“一方面，先驗估計有助于事先了解方程解的性質(zhì)；另一方面，先驗估計有助于解的存在性證明。例如，我們用不動點的方法證明解的存在，迭代應(yīng)該在不變空間中進(jìn)行。因此，我們需要相應(yīng)導(dǎo)數(shù)估計?！?/p> 袁教授隨便在便簽上寥寥幾筆，就將最優(yōu)傳輸映射理論做了總結(jié)。由Kantorovich對偶泛函，我們得到
兩側(cè)對x求導(dǎo)，便有
代入
如果傳輸代價為歐式距離的平方，則代價函數(shù)等價于
代入上面公式，得到最優(yōu)傳輸映射及其逆映射由以下公式給出
從而我們有
我們畫出曲線，
曲線下方和上方的面積分別是
由此我們證明了
在曲線上任選一點，考察這點導(dǎo)數(shù)，即切線的方向，我們有
同理，我們將x看成是y的函數(shù)，于是得到
由此我們證明了，一般情形Hessian矩陣互逆，
言簡意賅，力透紙背。 老顧的清華同學(xué)很少有人讀取博士，留在學(xué)術(shù)界的更是寥寥無幾。絕大多數(shù)計算機(jī)系的同學(xué)最終去了硅谷和華爾街。袁教授對此不幸感慨萬千。這些清華學(xué)子都有很好的潛質(zhì)，本應(yīng)胸懷大志為人類做出更大的貢獻(xiàn)。其實在現(xiàn)代商業(yè)社會，金錢成為價值的唯一衡量標(biāo)準(zhǔn)，堅持理想主義，成為純粹數(shù)學(xué)家，這需要極大的勇氣和極強(qiáng)的定力，很多時候要付出巨大的代價。對于個人而言，順流而下，追求安逸，無可厚非；對于民族而言，迎難而上，中流砥柱，必不可少。清華的確需要培養(yǎng)曹師兄、袁師兄這樣沉宏博大、胸襟萬里的棟梁之才。 俄亥俄大學(xué)的關(guān)波教授祖上正黃旗，世代居住滿清發(fā)源地寧古塔。關(guān)教授本科學(xué)習(xí)工程，研究生轉(zhuǎn)學(xué)偏微分方程理論，在Weyl等距嵌入方面做出杰出貢獻(xiàn)。這次會議上，關(guān)教授講解了Weyl定理另外一個更直接的基于蒙日-安培方程的證明。老顧和關(guān)教授探討了工程學(xué)科和基礎(chǔ)理論的異同。理論工作目的在于拓寬人類知識的邊界，追求永恒價值；工程科學(xué)目的在于延拓人類技術(shù)的邊界，強(qiáng)調(diào)當(dāng)下的實用價值。但是，因為過于貼近當(dāng)下的技術(shù)，工程師的創(chuàng)造非常容易被時代所無情拋棄。曾經(jīng)有一位科大少年班的才子，在我們系研究用格子玻爾茲曼機(jī)（Lattice Boltzman Machine）求解流體力學(xué)方程，進(jìn)行流體模擬仿真。他基于當(dāng)時的GPU硬件條件，花了六年時間設(shè)計了一個迂回而精妙的算法。但是，在他博士答辯前夕，新版的GPU問世，由于硬件的改進(jìn)，他所設(shè)計的復(fù)雜而迂回的算法變得毫無價值，這對他是一個巨大的打擊。很多工程領(lǐng)域的學(xué)者，晚年無法將論文匯集成書出版，因為他們的研究都已經(jīng)過時，失去了價值。這無論如何都是令人抱憾終身。從這個角度而言，數(shù)學(xué)家對人類的貢獻(xiàn)更為持久。同時，老顧覺得數(shù)學(xué)對于精神的陶冶更為強(qiáng)烈。數(shù)學(xué)家見面，總要眉飛色舞地探討數(shù)學(xué)，深深陶醉于數(shù)學(xué)的優(yōu)美和深邃；資深工程師雖然也對技術(shù)癡迷，但他們更樂于討論創(chuàng)業(yè)和融資。 汪教授、汪教授的高足陳同學(xué)和博士后黃耿耿曾經(jīng)證明了一種蒙日-安培方程數(shù)值算法的收斂性，估計了收斂階。陳同學(xué)的經(jīng)歷非常令人震撼而欽佩：高中由于數(shù)學(xué)競賽保送北大計算機(jī)系，學(xué)習(xí)了兩年計算機(jī)視覺和模式識別后，覺得計算機(jī)科學(xué)的深刻程度不如純粹數(shù)學(xué)，力圖轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)系。當(dāng)時北大的體制比較僵化，無法轉(zhuǎn)系。最后陳同學(xué)不顧家人師長的苦苦勸告，毅然退學(xué)重新高考，進(jìn)入浙大數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，本科畢業(yè)后投奔汪教授門下，習(xí)得真?zhèn)??！澳菚r候模式識別算法比較原始，很難想到多年之后的算法會用到蒙日-安培方程?！标愅瑢W(xué)輕描淡寫地說到。老顧深知陳同學(xué)當(dāng)初壯士斷腕，需要多大的勇氣！如今完成博士學(xué)業(yè)，夙愿得償。老顧笑問：“汪院士的獨門絕技是否習(xí)得，爛熟于胸？從此下山，行走江湖，可否萬人敵？”陳同學(xué)笑而不答。 陳同學(xué)的理想主義令老顧非常感慨。一如汪徐家教授，純粹數(shù)學(xué)家依靠自身的才華和創(chuàng)造，獨立于世。這需要數(shù)十年的苦心積累，過人的膽識和合適的機(jī)遇。絕大多數(shù)學(xué)生對自己的才華沒有強(qiáng)烈的自信，追求安穩(wěn)優(yōu)渥的生活，從而過早地放棄純粹數(shù)學(xué)的專研。但是，經(jīng)歷動蕩的青年階段，生活穩(wěn)定之后，很多工程領(lǐng)域的教授也往往遺憾于無法登堂入室到現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域。老顧也遇到過一些本科數(shù)學(xué)背景學(xué)生，轉(zhuǎn)至計算機(jī)領(lǐng)域之后，對于計算機(jī)方向科研的風(fēng)格非常不滿。他們在頂級公司研究部門實習(xí)之后，覺得大量研究只是依賴于“腦洞大開”，嚴(yán)密性和深刻性無法得到滿足。也有學(xué)生在計算機(jī)碩士畢業(yè)的當(dāng)天號啕大哭，因為他覺得并沒有學(xué)到深刻的學(xué)問。當(dāng)然，有些投身工業(yè)界的學(xué)生，日后見面時都遺憾于沒有盡早畢業(yè)，耽誤了賺錢；很多投身于學(xué)術(shù)界的學(xué)生，都遺憾于畢業(yè)太早，很多深刻的幾何拓?fù)淅碚摏]有學(xué)透，無法融會貫通。 數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展了兩千余年，計算機(jī)科學(xué)只有幾十年。數(shù)學(xué)的深刻性、嚴(yán)密性自然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越計算機(jī)科學(xué)。但是，計算機(jī)發(fā)展的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過數(shù)學(xué)發(fā)展的速度，依隨技術(shù)爆炸，很多抽象精深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，正在滲透到計算機(jī)科學(xué)之中，成為計算機(jī)的經(jīng)典算法。特別是我們正在見證深度學(xué)習(xí)方法論的爆炸，使得計算最優(yōu)傳輸理論和蒙日-安培方程迅速成為計算機(jī)科學(xué)的新興分支。 技術(shù)爆炸 醫(yī)學(xué)圖像 核磁共振、CT掃描等醫(yī)學(xué)圖像技術(shù)的興起，徹底革命了醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。醫(yī)學(xué)診治愈來愈依賴于醫(yī)學(xué)圖像。如何比對兩張醫(yī)學(xué)圖像成為一種不可或缺的技術(shù)。如果我們將醫(yī)學(xué)圖像的灰度值看成是一個概率密度函數(shù)，兩張圖像的比對等價于求取一個微分同胚，使得概率密度匹配，同時圖像畸變最小。這恰好可以用最優(yōu)傳輸映射來建模?？梢韵胍姡S著計算硬件條件的提高，算法效率的改進(jìn)，蒙日-安培方程將會日益應(yīng)用于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。 無線通信無線通信技術(shù)迅猛發(fā)展，人類已經(jīng)須臾不可離開手機(jī)。蒙日-安培方程可以幫助設(shè)計天線設(shè)備，提高通訊效率。最優(yōu)傳輸理論和信息論結(jié)合，有望從理論層面取得基礎(chǔ)性的突破。信息熵和最優(yōu)傳輸?shù)年P(guān)系，熵和Wasserstein空間測地線的關(guān)系，熵和底流形曲率的關(guān)系，Brunn-Minkowski不等式的信息論解釋，這些都是極有潛力的研究方向。
圖6. 自適應(yīng)車燈光強(qiáng)分布，audi概念。 汽車工業(yè) 目前有一半的車禍發(fā)生在夜間。如何提高車燈的光照強(qiáng)度，同時避免為迎面而來的司機(jī)造成的刺眼強(qiáng)光，一直是車燈設(shè)計的關(guān)鍵問題。近年來，依隨新型光源技術(shù)的成熟和光學(xué)加工技術(shù)的發(fā)展，適應(yīng)性車燈技術(shù)開始涌現(xiàn)。如圖6所示，車燈在遠(yuǎn)處的光強(qiáng)分布不再是均勻分布，而是由設(shè)計師來指定，這一問題被稱為是反射鏡面設(shè)計問題。反射鏡面設(shè)計本質(zhì)是最優(yōu)傳輸問題，可以用曲面上的蒙日-安培方程來描述并解決。由于3D打印技術(shù)的發(fā)展，自由曲面光學(xué)器件加工日趨成熟，不遠(yuǎn)的未來必將應(yīng)用新型車燈。 深度學(xué)習(xí) 一類自然數(shù)據(jù)可以看成是高維數(shù)據(jù)空間中一個低維流形上的概率分布。深度學(xué)習(xí)核心就是學(xué)習(xí)流形的結(jié)構(gòu)，用編碼、解碼映射來表示，同時學(xué)習(xí)概率分布。在隱空間中，數(shù)據(jù)分布很不規(guī)則，無法用帶參數(shù)的經(jīng)典分布來刻畫，反而可以用從已知高斯分布到數(shù)據(jù)分布的最優(yōu)傳輸映射來表示。對抗生成模型中的判別器計算真實分布和生成分布之間的Wasserstein距離，生成器計算從隱空間白噪聲到生成分布的傳輸映射。因此，我們可以用最優(yōu)傳輸理論來解釋并設(shè)計深度學(xué)習(xí)模型。這種理論框架可以完美解釋模式崩潰的內(nèi)在原因，提高訓(xùn)練穩(wěn)定性和效率，從而使得深度學(xué)習(xí)的黑箱變得透明。 舉例而言，汪院士曾在蒙日-安培方程的正則性方面做出杰出貢獻(xiàn)。但是長期以來，因為計算機(jī)只能表達(dá)離散數(shù)據(jù)，所以計算機(jī)領(lǐng)域并不太注重偏微分方程解的正則性。但是，最近我們發(fā)現(xiàn)GAN模型的模式崩潰問題和蒙日-安培方程解的正則性息息相關(guān)。1996年，汪院士在關(guān)于光線反射的文章中證明：如果目標(biāo)區(qū)域非凸，則存在定義在源區(qū)域和目標(biāo)區(qū)域上的正光滑分布，使得最優(yōu)傳輸映射不連續(xù)；2005年，汪院士在和麻希南、Trudinger的文章中將這一定理推廣到任意成本函數(shù)，包括蒙日-安培方程。這意味著如果目標(biāo)測度的支集非凸，那么最優(yōu)傳輸映射不再是全局連續(xù)，存在奇異點集。目前深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只能表達(dá)連續(xù)映射，無法表達(dá)傳輸映射，這一矛盾造成模式崩潰。我們在人臉圖像流形上，找到了這種奇異集合。（細(xì)節(jié)請見GAN模式崩潰的理論解釋） 展望 這次蒙日-安培方程會議，與會學(xué)者大概有40人左右，這在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)該屬于頗具規(guī)模的會議。計算機(jī)視覺、深度學(xué)習(xí)的國際會議大約有兩萬人左右。這兩萬人應(yīng)該都知道對抗生成網(wǎng)絡(luò)（GAN），都聽說過Wasserstein距離，自然也都渴望理解蒙日-安培方程。蒙日-安培方程理論的普及和發(fā)展必將迎來高潮。這在非線性分析領(lǐng)域，是史無前例的情況，更是千載難逢的機(jī)會。 相信依隨技術(shù)的發(fā)展，艱深的蒙日-安培方程理論，將被更多的學(xué)者所掌握并欣賞，啟迪更多的年輕學(xué)生，發(fā)現(xiàn)更多的工程應(yīng)用，從而日益走入千家萬戶，融入到現(xiàn)代科技浪潮之中！ （感謝汪徐家教授、關(guān)波教授、袁域教授、劉佳堃教授和陳同學(xué)幫忙修改斧正。） |
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到銷地
運輸一噸糧食所花費的代價是
，政府希望設(shè)計一種傳輸方案，將糧食從生產(chǎn)者運送到消費者手中，
，同時實現(xiàn)兩個目標(biāo)：
，由Brenier理論，存在一個凸函數(shù)，
，所謂的Brenier勢能函數(shù)，其梯度映射給出最優(yōu)傳輸映射，
。這時，Brenier勢能函數(shù)滿足經(jīng)典的蒙日-安培方程：
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