 解方程組的時候發(fā)生了什么？ ----淺談高斯消元法的幾何意義 解方程組作為經(jīng)典的代數(shù)問題，經(jīng)常與幾何聯(lián)系起來， 例如兩直線相交于一點對應(yīng)一個二元一次方程組的一個解。 在線性代數(shù)（Linear Algebra）中，高斯消元法(Gauss Elimination)是解方程組的一種方法，利用了方程組的三種初等變換： T1：交換兩個方程的位置 T2：方程兩邊同乘以不為零的一個系數(shù) T3：將某一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上 利用高斯消元法解方程組已經(jīng)是老生常談，但是，在對方程組進行初等變換的時候，是否有人考慮過它們的幾何意義呢？ 來看一個簡單的例子  兩條直線AB,CD相交于E點，點的位置看得很清楚。 這兩條直線對應(yīng)的方程組是  解這個方程組的過程倒很簡單， 直接把2式乘三(Gauss Elimination的T2)， 再加上1式(Gauss Elimination的T3)， 化簡后(Gauss Elimination的T1、T2)得到  解得x=0.4, y=2.4 答案自然不必多說。但是我們的關(guān)注的重點并不是這個方程組，而是它對應(yīng)的幾何意義。 仔細分析過程， 我們把2式乘上三(Gauss Elimination的T2)，對應(yīng)的圖像并沒有發(fā)生變化。 但是在加上1式之后(Gauss Elimination的T3)，圖像突然改變了，直線CD猝不及防地變成了垂直于y軸的直線… …就像這樣  What happened？？？  Gauss Elimination的T3： “將某一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上”， 似乎讓整個方程組的圖像發(fā)生了本質(zhì)的改變?。?！ 直接觀察直線似乎不能得出什么結(jié)論，考慮到消元法這個過程改變了未知量前的系數(shù)。 我們不妨從系數(shù)的角度來思考。 眾所周知，對于形如ax+by=c的直線，其系數(shù)a,b具有實際性的意義。容易得到（a,b）就是這條直線的法向量坐標，法向量即垂直于這條直線的向量。我們把它畫下來：  向量FG和FH分別是兩條直線的法向量， 其方向由x,y前的系數(shù)決定。 顯然考慮消元法過程的本質(zhì)，在這個例子中，就是將本來均不為零的x,y前的系數(shù)之一變成零。 在畫出法向量的前提下重復(fù)一次消元，看結(jié)果如何 我們首先把2式乘三(Gauss Elimination的T2)，其法向量也隨之變長。這一步不難理解：   進行下一步， 情況出現(xiàn)了戲劇性的轉(zhuǎn)變——把兩個式子相加 (Gauss Elimination的T3)， 等式左邊未知量對應(yīng)的系數(shù)加起來了   表現(xiàn)在向量上，就是兩個直線的法向量的坐標之和。 因此，這一步用法向量表示的話，就是兩個法向量相加： 相加的結(jié)果是一個新的法向量FK，其坐標為（0，-5）, 對應(yīng)于新方程組中的第二個等式。 易知這個法向量對應(yīng)的直線是平行于x軸的， 解方程得到其具體位置， 圖中已用紅色標記了相加所得法向量及其對應(yīng)直線， 結(jié)果是直線恰好過原方程組兩直線的交點E， 這是巧合嗎？ 所有人都會理所當然的回答“不是” 但是似乎很少會有人想，為什么？ 這的確不是巧合，具體我們之后再說， 現(xiàn)在回到解方程的過程中： 我們換個角度，消去y，再看圖像： 2式乘二(Gauss Elimination的T2)，即將向量FH延長一倍： 然后將向量FG減去向量FH，得到向量HG， 其對應(yīng)直線用藍色標記： 可以看到，向量HG平行于x軸，對應(yīng)直線依然經(jīng)過交點E 顯然，兩次消元的結(jié)果都是 將原方程對應(yīng)直線的法向量轉(zhuǎn)化成了平行于坐標軸的法向量 其對應(yīng)直線正好經(jīng)過兩直線的交點。 為什么法向量直接簡單的加減就可以使結(jié)果法向量平行于坐標軸呢？ 這就依賴于第一步對方程兩邊同時乘上的系數(shù)了。 不難發(fā)現(xiàn)， 通過乘上系數(shù)(Gauss Elimination的T2)使得兩個直線法向量的x或者y方向的分量相等或者相反，再利用高斯消元法的第三條(Gauss Elimination的T3)，我們就能輕易地得到一個平行于坐標軸的法向量，這就是消元過程中發(fā)生的事。 利用未知量的系數(shù)與直線法向量坐標的關(guān)系，消元過程就可以用圖像來一步步表示了。 值得注意的是， 在解方程的過程中，我們把兩個基本沒什么關(guān)系的法向量給撮合成了互相垂直的向量。 實際上，不僅僅是二元一次方程組，即使是在三元甚至四元，也就是對應(yīng)三維四維的空間中，通過某種操作，我們?nèi)匀豢梢园褞讉€隨意給出的線性無關(guān)的向量最終轉(zhuǎn)化為互相垂直的向量。 這種操作不僅有， 我們還給它起了名字 ——“施密特正交規(guī)范化操作”（咳咳，是方法）， 這個我們以后會深入學(xué)習(xí)，此處只是粗略提及，不作贅述 那么，該討論的最后一個問題，就是我們的“理所當然” 為什么，消元過程得到的法向量所對應(yīng)的直線， 恰好經(jīng)過原方程組對應(yīng)直線的交點？ 因為一些我們熟視無睹的東西——初等變換不改變方程組的解 這似乎值得推敲，又像是一句廢話， 而我們要在這里好好說上一說 高斯消元法依賴的初等變換，改變的方程的形式，卻沒有改變方程的解，又是怎么回事呢？ 稍稍一想，就能明白： 第一種變換——改變方程順序——自然不會影響方程的解 第二種變換對方程兩邊乘上的非零系數(shù)，自然可以同時消去，方程本身并無變化 第三種變換則值得品味——兩個方程相加為什么沒有改變原來的解呢？ 看起來方程的形式發(fā)生了非常大的變化， 甚至?xí)?dǎo)致某一個未知量的消失（即消元過程）。 如圖： 我們可以把得到的方程寫成這樣： 自然地看出來，原方程組的解一定適用于這個方程（這就是那個為什么的答案），但是這個方程還可能有其他的解，所以我們往往把它和某一個原方程聯(lián)立求解。 綜上所述， 利用了方程組的初等變換的高斯消元法， 其幾何意義可以從直線的法向量的角度思考。 其實不僅僅是法向量，直線的方向向量也可以。 因為（a,b）為法向量的直線， 其方向向量可以寫成（-b,a）， 也是和未知量系數(shù)直接相關(guān)的， 不過稍顯復(fù)雜，不多說。 供稿：北京理工大學(xué) 李修遠 （原創(chuàng)） 編輯：北京理工大學(xué) 楊玲 走過路過，不要錯過這個公眾號哦！ |
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