一、極大值與極小值

1、y=f(x)，(x∈D), x0∈D

（1）若存在δ>0, 當0<|x-x0|<δ時, f(x)>f(x0), 稱x0為極小值點

（2）若存在δ>0, 當0<|x-x0|<δ時, f(x)<f(x0), 稱x0為極大值點

推論：

若x=a為f'(x)的極值點 => f'(a)=a或f'(a)不存在，反之不成立

反例：(1)y=x^3; (2) [y=1+x(x<0),y=e^2x(x>=0)]

若x=a為f(x)極值點且f(x)可導 => f'(a)=0

2、求極值步驟

y=f(x)

（1）找準x的范圍x∈D

（2）找出f'(x)等于0或者不存在的點x=......

（3）利用判別法判斷是否為極值

法1：（第一充分條件）

1）當x<x0時，f'(x)<0, 當x>x0時，f'(x)>0, 則x=x0為極小值點

2）當x<x0時，f'(x)>0, 當x>x0時，f'(x)<0, 則x=x0為極大值點

法2：（第二充分條件）

f'(x0)=0，若f''(x0)>0則x=x0為極小值點，若f''(x0)<0則x=x0為極大值點

例2：f'(1)=0, lim(x->1)f'(x)/sinπx=2, 問：x=1是什么點？法1：因為lim(x->1)f'(x)/sinπx=2>0所以存在δ>0,當0<|x-x0|<δ時，f'(x)/sinπx>0x∈(1-δ,1)時，f'(x)>0，x∈(1,1+δ)時，f'(x)<0，則x=1為極大值點

二、最大值與最小值

前面講的是極大值與極小值，那么在連續(xù)函數(shù)中最大值和最小值必然在極大值和極小值還有兩端端點處的函數(shù)值取得。所以如果要求最值，就得將所有極值和兩端端點函數(shù)值求出。

例4：設(shè)p>1,證：當x∈[0,1]時， 1/[2^(p-1)]<=(x^p)+(1-x)^p<=1令f(x)=(x^p)+(1-x)^pf'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0=> x=1/2f(0)=1, f(1/2)=1/[2^(p-1)]<1, f(1)=1所以1/[2^(p-1)]<=f(x)<=1即1/[2^(p-1)]<=(x^p)+(1-x)^p<=1