【考試要求】

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；

2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法；

3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；4.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應的問題.

【知識梳理】

1.特殊數(shù)列的求和公式

(1)等差數(shù)列的前n項和公式：

2.數(shù)列求和的幾種常用方法

(1)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

(2)裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

(3)錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法

如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.

3.數(shù)列應用題常見模型

(1)等差模型：如果后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.

(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應考慮an與an＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關(guān)系.

【考點聚焦】

考點一　分組轉(zhuǎn)化法求和

【規(guī)律方法】　1.若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.

2.若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和.

考點二　裂項相消法求和

【規(guī)律方法】

1.利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.

2.將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.

考點三　錯位相減法求和

【規(guī)律方法】　1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法.

2.用錯位相減法求和時，應注意：

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.

考點四　數(shù)列的綜合應用

【規(guī)律方法】　數(shù)列的綜合應用?？疾橐韵聨讉€方面：

(1)數(shù)列在實際問題中的應用；

(2)數(shù)列與不等式的綜合應用；

(3)數(shù)列與函數(shù)的綜合應用.

解答數(shù)列綜合題和應用題既要有堅實的基礎知識，又要有良好的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再結(jié)合其他相關(guān)知識來解決問題.

【反思與感悟】

1.非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想

(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成；

(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.

2.解答數(shù)列應用題的步驟

(1)審題——仔細閱讀材料，認真理解題意.

(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征、要求的是什么.

(3)求解——求出該問題的數(shù)學解.

(4)還原——將所求結(jié)果還原到實際問題中.

【易錯防范】

1.直接應用公式求和時，要注意公式的應用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應對其公比是否為1進行討論.

2.在應用錯位相減法時，要注意觀察未合并項的正負號.

3.解等差數(shù)列、等比數(shù)列應用題時，審題至關(guān)重要，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數(shù)學關(guān)系，把應用問題抽象為數(shù)學中的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標準化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列知識求解.