本文是連載中的課程《多變量微積分》中的一課，歡迎同學訂閱。

多變量函數(shù)的極限是單變量函數(shù)極限的擴展，讓我們從數(shù)列極限的直觀開始學習。

在古希臘的時候，人們就知道可以用等邊多邊形的面積來逼近圓形的面積：

假設用  來表示內(nèi)接等邊  邊形的面積，那么可以用一個數(shù)列來描述這個逼近過程：

這個數(shù)列的極限就是圓形的面積：

可以通過直角坐標系中的圖像來展示該數(shù)列極限，可以看到隨著  的增加，數(shù)列越來越逼近圓形的面積：

2.1 單變量函數(shù)的極限

對于更一般的單變量函數(shù)的極限（數(shù)列可以看作是定義域為自然數(shù)的函數(shù)）：

如果  看作，在  的去心鄰域內(nèi)，從左側(cè)或右側(cè)逼近  的點：

那么極限  可以解讀為，當  沿著上述的點逼近  時，對應的函數(shù)值  也不斷逼近  ：

2.2 多變量函數(shù)的極限

這種觀點是可以推廣到多變量函數(shù)的極限上去的，比如二元函數(shù)的極限：

其中的  可以看作，在  的去心鄰域內(nèi)，從四面八方逼近  的點列：

那么二元函數(shù)的極限就是，當  沿著上述的點列逼近  時，對應的函數(shù)值  也不斷逼近  （下圖如果把  畫出來就太亂了，不過還是可以看出，沿著這些點，對應的函數(shù)值都逼近于同一個值）：

3 一元函數(shù)極限的定義

雖然直觀看上去極限并不難理解，但由于數(shù)學上的原因（這在課程《單變量微積分》中解釋過了，這里不再贅述），一元函數(shù)極限的嚴格定義并不簡單。

3.1 一元函數(shù)極限的嚴格定義

設函數(shù)  在  上有定義。如果存在常數(shù)  ，對任意給定的正數(shù)  ，總存在正數(shù)  ，使得當  滿足不等式時（也就是  屬于  的去心鄰域）：

對應的函數(shù)值  都滿足不等式：

那么常數(shù)  就叫做函數(shù)  當  的極限，記作：

這個定義在這里簡單解釋一下，如果函數(shù)  在  點的極限為  ：

那么以  為中心，  為半徑構(gòu)建一個區(qū)間 （下圖用矩形來表示該區(qū)間），必能找到某正數(shù)  ，使得去心鄰域  內(nèi)的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)（藍色表示區(qū)間內(nèi)的函數(shù)曲線，紅色表示區(qū)間外的函數(shù)曲線）：

并且不論  如何縮小，總能找到新的正數(shù)  ，使得去心鄰域  內(nèi)的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)（下面動畫展現(xiàn)了先縮小  ，然后尋找  這個過程）：

如果滿足上面所說的，那么有：

3.2 回歸直觀

如果把每次找到的  的邊界點保留下來：

沿著這些點列靠近  ，對應的函數(shù)值就會不斷逼近  ，這又回到了之前我們對極限的直觀上了：

4 聚點

二元函數(shù)的極限定義和一元函數(shù)類似，只是由于二元函數(shù)的鄰域更復雜，所以需要引入聚點的概念：

如果對于任意給定的  ，點  的去心鄰域  內(nèi)總有平面點集  中的點，那么稱點  為  的 聚點 。

比如下面的點  就是一個聚點，隨便怎么縮小它的去心領域的半徑，去心鄰域內(nèi)總有平面點集  中的點：

定義聚點是為了保證，從  的某去心鄰域內(nèi)的某一點  出發(fā)，至少能找到一串完全在  中的點來靠近  ：

也就是說，聚點保證了下面這個極限過程是可行的、是存在的：

弄清楚聚點之后，下面可以給出二元函數(shù)極限的定義了：

設二元函數(shù)  的定義域為  ，  是  的聚點。如果存在常數(shù)  ，對于任意給定的正數(shù)  ，總存在正數(shù)  ，使得當點  滿足下列條件時：

都有：

成立，那么就稱常數(shù)  為函數(shù)  當  時的極限，記作：

因為這是二元函數(shù)的極限，所以也稱作 二重極限 。

5.1 與一元函數(shù)極限的區(qū)別

二重極限和一元函數(shù)極限定義相比，最大的區(qū)別在于：

在一元函數(shù)中，函數(shù)的定義域和去心鄰域合二為一。而在二元函數(shù)中，函數(shù)的定義域  和去心鄰域  不一定重合，相交部分才是我們關心的：

并且  是  的聚點，這樣可以保證無論  多小，去心鄰域和定義域  總是有相交部分的（當然也保證了能有一串靠近  的點列）：

剩下的部分就和一元函數(shù)極限的定義差不多了。

5.2 二重極限定義的幾何意義

假設二元函數(shù)  在  有極限  ：

那么以  為中心，  為半徑構(gòu)建一個區(qū)間  ，必能找到某正數(shù)  ，使得符合下面條件的點：

對應的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)：

當然，同一元函數(shù)的極限相同，隨著  的縮小，始終能夠找到合適的  ，使得對應的函數(shù)值都在  規(guī)定的區(qū)間內(nèi)。并且這個過程意味著可以找到一串不斷逼近  的點列，沿著這串點列，函數(shù)值不斷逼近  ，最終可以得到：