名師系列 | 淺析數(shù)學競賽中的抽象函數(shù)方程問題

昵稱47813312 2019-08-13

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作者簡介：

任小平，任教于四川省西充中學，中學高級教師，特級教師，四川省骨干教師、優(yōu)秀班主任，南充市模范班主任，多次榮獲高考數(shù)學科一等獎。

一、前言

對于抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題的解答，其關鍵在于捕捉題目的信息特征，發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，尋求合理、簡潔的解題方法，達到化繁為簡、化難為易的目的。

二、例題分析

抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題越來越多地受到命題者的青睞，不僅要求對函數(shù)的本質有著深刻的理解，而且解題方法靈活多變，求解技巧性強，同時涉及的范圍較廣，對學生掌握所學知識之間的內在聯(lián)系要求較高。對學生的數(shù)學素養(yǎng)提出了較高要求，因此是數(shù)學競賽的熱點和難點。本文歸納了一些求解抽象函數(shù)的方法和技巧，以達到拋磚引玉的目的。

題型一:

巧取特殊值，求解函數(shù)解析式

對于多個變量的抽象函數(shù)方程，可將其中的某個變量視為主元，進行恰當?shù)馁x值，形成“關系鏈”，從而簡化運算，達到特殊引路，探求一般規(guī)律的目的和效果。

例1:2011印度奧林匹克

數(shù)學第六感

評注：巧取特殊值，簡化運算，形成“關系鏈”，起到了“特殊探路把門敲，化繁為簡層次高”的效果，從而優(yōu)化解題技巧。

題型二:

巧構結構式，求解函數(shù)解析式

對于一些多變量的抽象函數(shù)方程，當變量的取值范圍對等時，往往可以通過變換變量的位置，將隱含的結構關系式外顯化，然后通過外顯的結構特征和性質，使問題得以轉化，達到解決問題的目的。

例2:2004年高中聯(lián)合競賽

數(shù)學第六感

評注：在解一些抽象函數(shù)方程、方程組時，通過變換、轉化，將內在的信息特征外顯化，發(fā)現(xiàn)可用于構造的因素，引入新的形式，借助新形式的性質，使復雜的運算和推證變得容易處理，使問題變得清晰可解。

題型三:巧用換元法，求解函數(shù)解析式

對于一些結構復雜的函數(shù)方程，利用變量代換的方法，將抽象的函數(shù)方程式轉化為新變量形式，以整體形式代入，轉化為各字母的方程組形式，從而解出具體的函數(shù)解析式。

例3:第12屆韓國奧林匹克

數(shù)學第六感

評注：通過代換，形成新的關系，將產(chǎn)生新的表達式看成整體，得到一個或幾個新的函數(shù)方程，再將它們與原方程組聯(lián)立，轉化為方程組問題，降低問題的難度和維度，轉化問題，使問題獲解。

題型四:

利用不動點，求解函數(shù)解

析式

在數(shù)學中，不動點定理是指函數(shù)f（x）在某種特定情況下，至少有一個不動點存在，即至少有一個點x，能使f（x）=x。通過研究函數(shù)不動點的性質，使問題獲解，達到解題的目的。

例4:2007年高聯(lián)河南預賽

數(shù)學第六感

例5:第35屆IMO

數(shù)學第六感

評注：通過將討論的變量限定在一定的范圍內，獲得熟悉的函數(shù)結構，再通過探求不動點，研究不動點的性質，利用不動點的性質將使問題得以巧妙解決。

題型五:利用函數(shù)奇偶性，求解函數(shù)解析式

對于一些復雜的函數(shù)方程，此類函數(shù)方程中往往包含著奇函數(shù)或者偶函數(shù)。而利用奇偶函數(shù)的特性，適當?shù)剡x取值帶入方程，將問題轉換為方程組問題。

例6:2006年高中聯(lián)賽

數(shù)學第六感

評注：利用函數(shù)的奇偶性，適當?shù)剡x取特殊值，代入方程，達到將復雜方程簡化的目的。

題型六:利用待定系數(shù)，求解函數(shù)解析式

對于一些所求函數(shù)是多項式的情況，往往通過待定系數(shù)的方法，求解方程組，求出多項式的系數(shù)，從而求出解析式。

例7:1990年CMO

數(shù)學第六感

評注：此方法適用于所求函數(shù)式是多項式的情況。首先根據(jù)題意確定多項式的次數(shù)，再設出多項式的一般表示形式，再利用恒等式的形式，結合待定系數(shù)法，列出方程組，求解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式。

題型七:利用遞歸，求解函數(shù)解析式

遞歸法是數(shù)列中常見的一種方法，而數(shù)列和函數(shù)之間又存在著緊密聯(lián)系，因此將遞歸法遷移到函數(shù)中來，也是求函數(shù)解析式的一個重要的方法。

例8：2005年上海高中聯(lián)賽

數(shù)學第六感

評注：此方法是一種借助數(shù)列來研究函數(shù)方程的方法．利用數(shù)列中常用的遞歸方法對函數(shù)進行遞歸，若已知初始值和遞推關系，則可用遞歸解決函數(shù)解析式問題。

題型八:利用柯西法，求解函數(shù)解析式

此類方法是柯西最早研究的，因此叫作柯西法，此類方程就叫作柯西函數(shù)方程。這種解法的每一步都是后面推理的基礎，因此又被形象地叫作爬坡式推理法。

例9：2013年高中聯(lián)賽

數(shù)學第六感

評注：相比于其他方法，此類方法的技巧性較強，而這種爬坡式的方法在其他地方運用得也相當廣泛。有許多的其他方程，都可以適當?shù)剞D換為柯西函數(shù)方程，從而獲得解答。

三、結束語

數(shù)學競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的數(shù)學思想、方法。而恰當?shù)乃枷?、方法較大程度上來源于對試題信息以及所涉及知識的內在聯(lián)系的準確把握上，因此，在數(shù)學競賽培訓過程中，加強學生對試題結構的分析及問題本質的把握訓練，有利于進一步揭示數(shù)學的本質。開發(fā)學生的智力，拓寬學生數(shù)學視野．加強學生對不同題型進行自主探究、分析提煉、合作交流、抽象概括的訓練，有利于激發(fā)學生探索與創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生頑強的意志品質和嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

來源：微信公眾號：數(shù)學第六感