一階線性微分方程式是微分方程中最簡單的也是基本的，雖然看上去比較枯燥，但其背后的數(shù)學(xué)原理值得我們?nèi)W(xué)習(xí)和借鑒，本篇就來學(xué)習(xí)和探討下。希望對大家有所幫助。

設(shè)一階微分方程式

的右端函數(shù)f(x,y)關(guān)于y是一次線性的，設(shè)其中函數(shù)a(x)與b(y)在區(qū)間α<x<β上是連續(xù)的，此時，相應(yīng)的微分方程可以寫成

像這類的微分方程稱之為一階線性微分方程，不是線性的微分方程稱之為非線性微分方程。

下面的一階微分方程式叫做一階線性微分方程式

下面的一階微分方程式叫做非線性微分方程式

本篇內(nèi)容是求解一階線性微分方程式（1）

設(shè)b（x）=0，則線性微分方程式（1）變成

2）式稱之為齊次線性微分方程式，這個方程也是變量分離的方程，因此，采用變量法求出它的通解為（伙伴們可以試著去算下，很簡單的）

其中C是一個任意常數(shù)，為了誘導(dǎo)出一般線性微分方程（1）的解法，我們對齊次線性微分方程（2）的通解做一點(diǎn)分析，上式寫成

再對x求導(dǎo)數(shù)，即得

令如下式子

則得：

或得到：

由于μ（x）不等于0，所以得到

這個微分方程實(shí)際上就是齊次線性微分方程式（2），因此如果把上面的步驟逆推而上，那么就得到線性微分方程式（7）的一種新的解法，即：根據(jù)（7），用函數(shù)μ（x）（線性微分方程7的積分因子）乘以（7）的兩端，即得方程（6），從而方程（5）成立，再取不定積分，就得到微分方程（7）的通積分（4），用這種積分因子乘方程的方法求解齊次線性微分方程式，其優(yōu)點(diǎn)是可以用類似的程序求解一般的線性微分方程式（1）。

2）設(shè)b(x)不等于0，則稱線性微分方程式（1）為非齊次的，為了采用上述的積分因子法，我們把（1）寫成與它等價的形式

再用積分因子

乘以方程（8）的兩端，則得

亦的

兩邊取積分，則得到通積分

其中C是任意常數(shù)，因此，方程（8）的通解為

例子：求解如下微分方程式

其中K，ω，p都是正的常數(shù)。

這是一個非齊次的一階線性微分方程式，它的積分因子為

用它乘微分方程式的兩端，則得到

再取不定積分，得

從而求得微分方程式的通解為

再通過對右邊不定積分的計(jì)算，則得

其中C是任意常數(shù)。