《數(shù)據(jù)的離散程度》（第一課時）教學(xué)設(shè)計 

? 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的基本要點 

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在本節(jié)課發(fā)展的基本要點主要有：科學(xué)精神中的批判質(zhì)疑、勇于探究和實踐創(chuàng)新中的問題解決等。 ? 《課標(biāo)》要求 

體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差。 ? 學(xué)情分析  

知識基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)初步感受了抽樣調(diào)查的必要性，學(xué)習(xí)了描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，具有一定的統(tǒng)計學(xué)知識基礎(chǔ)。 

認(rèn)知分析：八年級上期的學(xué)生具有一定的觀察問題、分析問題的能力，能夠通過觀察散點圖直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)在離散程度上的差異，提出問題質(zhì)疑，具有進(jìn)行小組合作探究的經(jīng)驗。 ? 學(xué)習(xí)目標(biāo) 

1.知識與技能：  

了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量——極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，能借助計算器求出一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 

2.過程與方法：  

經(jīng)歷探索表示數(shù)據(jù)離散程度的過程，體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義；經(jīng)歷用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。 

3.情感、態(tài)度與價值觀： 

在探究過程中體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受探究的樂趣，在創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)中獲得良好的情感體驗。 

? 重點及突出方法 

重點：經(jīng)歷用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程，了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量——極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 

重點突出方法：在分析三名同學(xué)射擊成績的具體情境中，借助直觀觀察、計算和小組探究交流突出學(xué)習(xí)重點。 ? 難點及突破方法 

難點：抽象出刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量——方差。 

難點突破方法：經(jīng)歷“極差、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的和、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和、各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”的探究過程，深刻理解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義和方差的概念。 ? 學(xué)法指導(dǎo) 

觀察分析和小組合作探究 ? 教學(xué)過程架構(gòu) 

? 教學(xué)過程 一、問題質(zhì)疑 

舊知再現(xiàn)：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量。 

創(chuàng)設(shè)情境：射擊是深受青少年歡迎的體育運動。某中學(xué)射擊愛好者社團(tuán)甲、乙兩名同學(xué)在相同條件下各射擊8次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：     甲同學(xué)：6，4，8，10，4，10，5，9     乙同學(xué)：6，8， 7，9，7，5， 8，6  

（1）你能從圖中估計出甲、乙兩同學(xué)射擊的平均成績嗎？ 

（2）請計算甲、乙兩同學(xué)射擊的平均成績，并在圖中畫出縱坐標(biāo)等于平均成績的直線。 問題質(zhì)疑：通過實際情境及其圖示，讓學(xué)生直觀觀察甲、乙兩同學(xué)射擊成績的差異（離散程度不同）。因為甲、乙兩同學(xué)射擊成績的平均值相同，所以得出判斷：僅依靠集中趨勢還難以準(zhǔn)確刻畫一組數(shù)據(jù)。 

引出問題質(zhì)疑：如何刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度？ 

本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：使學(xué)生回顧相關(guān)知識，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)分析做好鋪墊；同時，通過直觀觀察和平均數(shù)計算，使學(xué)生產(chǎn)生思維碰撞：相同的平均值與不同的離散程度，產(chǎn)生問題質(zhì)疑，激發(fā)探究熱情。 

效果評測：原有知識無法解決當(dāng)前問題，這是學(xué)生自主探究的起點，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識和勇于質(zhì)疑的精神。課堂上借助地質(zhì)學(xué)家李四光的話：“不懷疑不能見真理”，使學(xué)生信心百倍地走進(jìn)下一環(huán)節(jié)——自主探究。 二、自主探究 

（1）探究1：極差 

分別計算甲、乙兩同學(xué)射擊成績最大值與最小值的差。 甲：10-4=6，乙：9-5=4。 

一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫極差，極差就是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量。 （2）探究2：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和 

如果學(xué)校射擊社團(tuán)中丙同學(xué)也參加了測試，乙、丙兩同學(xué)的射擊成績?nèi)鐖D所示。   

易知乙、丙兩同學(xué)的平均成績相等（均為7環(huán)），極差相等（均為4環(huán)），但從統(tǒng)計圖上看，兩人成績的離散程度還是有區(qū)別的（乙同學(xué)的成績更穩(wěn)定一些）。采用什么方式來刻畫這種差別呢？ 

經(jīng)小組討論，有同學(xué)嘗試計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和： 

乙：（6-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（7-7）+（5-7）+（8-7）+（6-7）=0 丙：（7-7）+（6-7）+（9-7）+（5-7）+（9-7）+（5-7）+（8-7）+（7-7）=0 兩組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的總和都等于0. 

為什么會出現(xiàn)這種情況呢？差有正值，有負(fù)值，出現(xiàn)正負(fù)抵消的情況。 

由此，同學(xué)們得出：“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和”不一定能夠刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。 “探究2”失??！ 

（3）探究3：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和 

如何避免正負(fù)抵消呢？ 

經(jīng)過小組討論，借助計算，有小組提出：運用“絕對值”可以避免正負(fù)抵消，因為任何實數(shù)的絕對值都是非負(fù)的。 

乙：|6-7|+|8-7|+|7-7|+|9-7|+|7-7|+|5-7|+|8-7|+|6-7|=8 丙：|7-7|+|6-7|+|9-7|+|5-7|+|9-7|+|5-7|+|8-7|+|7-7|=10 

乙的計算結(jié)果小于丙的計算結(jié)果，與直觀觀察得到的“乙同學(xué)射擊成績的離散程度小”是相符的。因此，同學(xué)們一致得出結(jié)論：“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值的和”可以刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，為下一個探究中推翻此結(jié)論做鋪墊。 （4）探究4：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù) 

這里有兩組數(shù)據(jù)，A組：11,13,7,9,12,8；B組：10,13,7,13,7,10 

大家來共同研究A、B兩組數(shù)據(jù)的離散程度，直觀觀察那一組數(shù)據(jù)離散程度小一些？A組。 A、B兩組數(shù)據(jù)的平均值都是10，我們來計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和： A:|11-10|+|13-10|+|7-10|+|9-10|+|12-10|+|8-10|=12 B:|10-10|+|13-10|+|7-10|+|13-10|+|7-10|+|10-10|=12 

兩組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和均為12，在這個問題中，“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和”無法刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。 

從而推翻了探究3的結(jié)論！  

A B 

探究再次陷入困境，引導(dǎo)學(xué)生一步步分析： 為什么取絕對值？避免正負(fù)抵消。 避免正負(fù)抵消的辦法只有一種嗎？ 

有小組提出采用平方的方法，即計算“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”： 

因為

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，所以A組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，離散程度更小。 從而探究出“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)”可以刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。 本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：通過具體的問題情境設(shè)計，環(huán)環(huán)相扣，步步探索，在矛盾中前進(jìn)，在質(zhì)疑中求真。既提升了學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，又進(jìn)一步培養(yǎng)了積極探索、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 

效果評測：先是通過極差，然后計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的總和，出現(xiàn)正負(fù)抵消，又計算各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的絕對值總和，最后我們想到了平方，完美解決了問題。在經(jīng)歷探究方差概念的過程中，學(xué)生不僅感受了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，同時學(xué)生體會了探究數(shù)學(xué)問題的一般思路。 三、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn) 

請大家將我們自主探究出來的解決方案總結(jié)一下。 

為了描述數(shù)據(jù)的離散程度，我們經(jīng)過自主探究，找到了屬于我們自己的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)：通過“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)，即方差”來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。 

標(biāo)準(zhǔn)差s是方差的算術(shù)平方根。 

一般而言，一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。 

本環(huán)節(jié)設(shè)計目的：創(chuàng)新精神是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的重要元素，本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)自己的探究成果，使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟探究的意義，感受創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的良好情感體驗。  

效果評測：學(xué)生經(jīng)過問題質(zhì)疑、自主探究，創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)了“如何刻畫數(shù)據(jù)離散程度”的方法，體會到創(chuàng)新并不困難，提升學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。 四、問題解決