復(fù)雜系統(tǒng)指是由許多相互作用的部分組成的系統(tǒng)，通常稱為“主體（agents）”并呈現(xiàn)出這些組成部分所不具備的集體行為特征。復(fù)雜系統(tǒng)的例子包括凝聚態(tài)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、股票市場(chǎng)和經(jīng)濟(jì)體、生物進(jìn)化，甚至整個(gè)人類社會(huì)。自上世紀(jì)80年代以來，主要通過物理學(xué)和計(jì)算機(jī)模擬等領(lǐng)域基本理論的結(jié)合，我們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的量化研究取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。復(fù)雜系統(tǒng)研究涉及的主題是很廣的，并從許多不同的領(lǐng)域中汲取了技術(shù)和思想。在這里，我綜述了復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)的主要主題和方法，并注釋了文獻(xiàn)資源的參考目錄，包括經(jīng)典論文和最近的書籍和評(píng)論。

一、前言

復(fù)雜系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)較新的、廣泛的跨學(xué)科領(lǐng)域，它涉及由許多相互作用的單元組成的系統(tǒng)，這些單元通常被稱為“主體”。該領(lǐng)域的基礎(chǔ)概念早在20世紀(jì)80年代就開始引起人們的興趣，而這一領(lǐng)域近年來取得的顯著成果，以及學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界對(duì)此日益增長(zhǎng)的興趣，為研究和教授復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)提供了新的動(dòng)力。

 “復(fù)雜系統(tǒng)”沒有精確的技術(shù)定義，但是該領(lǐng)域的大多數(shù)研究人員傾向于認(rèn)為它是一個(gè)由許多相互作用的部分組成的系統(tǒng)，使得系統(tǒng)的集體行為超過了它們個(gè)體行為的總和。這種集體行為有時(shí)也被稱為“涌現(xiàn)”行為。因此，復(fù)雜系統(tǒng)可以被稱為由相互作用的部分組成的，具有涌現(xiàn)行為的系統(tǒng)。

復(fù)雜系統(tǒng)的典型例子包括凝聚態(tài)系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)，大腦，免疫系統(tǒng)，粒狀材料，道路交通，昆蟲聚落，鳥群或魚群行為，互聯(lián)網(wǎng)甚至全人類社會(huì)。

遺憾的是，復(fù)雜系統(tǒng)，正如其名“復(fù)雜”，這使得他們很難研究和理解。實(shí)驗(yàn)觀察當(dāng)然是可行的，然而，這些實(shí)驗(yàn)觀察絕大多數(shù)被劃入傳統(tǒng)科學(xué)學(xué)科的范圍之內(nèi)，通常不被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域的一部分，而復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域則主要致力于理論研究。

復(fù)雜系統(tǒng)理論分成了兩種基本方法。第一個(gè)涉及創(chuàng)建和研究簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，盡管它們可能不能模擬真實(shí)系統(tǒng)的行為，但試圖將最重要的定性元素抽象成一個(gè)可解的框架，從中獲得科學(xué)的洞察力。這些研究中使用的工具包括動(dòng)力系統(tǒng)理論、博弈論、信息理論、元胞自動(dòng)機(jī)、網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算復(fù)雜性理論和數(shù)值方法。第二種方法是創(chuàng)建更全面和逼真的模型，以計(jì)算機(jī)模擬的形式來仿真復(fù)雜系統(tǒng)的相互作用的部分，通過細(xì)到微小的細(xì)節(jié)，然后觀察和測(cè)量由此產(chǎn)生的涌現(xiàn)行為。這種方法的工具包括蒙特卡羅模擬技術(shù)，特別是基于agent的建模。圍繞著這些模型，一批計(jì)算機(jī)科學(xué)家和軟件開發(fā)人員為復(fù)雜系統(tǒng)中復(fù)雜的計(jì)算研究發(fā)明了許多軟件工具。

本文著重介紹復(fù)雜系統(tǒng)的方法和理論工具，包括建模和仿真方法，盡管我還納入了一些對(duì)特定復(fù)雜系統(tǒng)的參考文獻(xiàn)，如經(jīng)濟(jì)體或生態(tài)系統(tǒng)，這些都可以作為推動(dòng)復(fù)雜系統(tǒng)理論研究的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、一般性參考文獻(xiàn)

復(fù)雜系統(tǒng)是一個(gè)快速發(fā)展的，相對(duì)新興的研究領(lǐng)域，但是仍然有大量的一般性參考文獻(xiàn)，包括書籍和評(píng)論，這些文獻(xiàn)將相關(guān)的主題以一種有用的方式整合在一起。

（在本文中，每個(gè)參考書目都被標(biāo)記為“(E)”、“(I)”或“(A)”，以表示初級(jí)、中級(jí)或高級(jí)材料。初級(jí)材料只需要一定程度的數(shù)學(xué)知識(shí)，中級(jí)材料適合于在本科階段掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者，而高級(jí)材料適合于數(shù)學(xué)或物理專業(yè)的本科高年級(jí)學(xué)生或研究生。）

列出的前兩本書是基礎(chǔ)入門的，不需要太多數(shù)學(xué)知識(shí)來理解。第一本書的作者是梅拉妮·米歇爾 （Melanie Mitchell），針對(duì)的是大眾讀者。第二種書是更早的，包含更廣泛的內(nèi)容和更多的技術(shù)內(nèi)容。

１．Complexity: AGuided Tour, M. Mitchell (OxfordUniversity Press, Oxford, 2009). (E)　中譯本：《復(fù)雜》唐璐譯湖南科學(xué)技術(shù)出版社 2011

２．The　Computational Beauty of Nature, G. W. Flake (MIT Press,Cambridge, MA, 1998). (E)

以下三本書是更高階的讀本。每一本都涵蓋了復(fù)雜系統(tǒng)中的重要主題，但沒有一個(gè)涵蓋整個(gè)領(lǐng)域。第二本書的作者是經(jīng)濟(jì)學(xué)家，因此這本書更有一種社會(huì)科學(xué)的味道。到目前為止，Mandelbrot的這本書已經(jīng)相當(dāng)老了，甚至早于“復(fù)雜系統(tǒng)”成為一個(gè)公認(rèn)的領(lǐng)域，但它被認(rèn)為是一本經(jīng)典的、非?？勺x的書，盡管書中所包含的想法并非全都被廣泛接受。

3. ModelingComplex Systems, N. Boccara (Springer, New York, NY, 2004). (I)

4. ComplexAdaptive Systems, J. H. Miller and S. E. Page (Princeton University Press,Princeton, 2007). (I)

5. TheFractal Geometry of Nature, B. B. Mandelbrot (W. H. Freeman, New York,1983). (I) 中譯本:《大自然的分形幾何學(xué)》陳守吉/凌復(fù)華翻譯，上海遠(yuǎn)東出版社，1998

三、復(fù)雜系統(tǒng)的實(shí)例

許多特定的復(fù)雜系統(tǒng)在各自的學(xué)術(shù)領(lǐng)域——生態(tài)系統(tǒng)，金融和商業(yè)的股票市場(chǎng)等——進(jìn)行了集中研究。這篇論文的目的不是為了回顧這一特定主題的文獻(xiàn)，但這一節(jié)概述了一些專門針對(duì)特定復(fù)雜系統(tǒng)方法的文獻(xiàn)。

物理系統(tǒng):盡管人們并不總是這樣認(rèn)為，但事實(shí)上許多物理系統(tǒng)，特別是那些在凝聚態(tài)和統(tǒng)計(jì)物理中學(xué)習(xí)的物理系統(tǒng)都是復(fù)雜系統(tǒng)的真實(shí)例子。在復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的物理系統(tǒng)包括經(jīng)典的凝聚態(tài)系統(tǒng)，如晶體、磁鐵、玻璃和超導(dǎo)體;包括經(jīng)典(牛頓)流體、非線性流體和顆粒流的流體動(dòng)力系統(tǒng);在化學(xué)振蕩器和激發(fā)介質(zhì)等系統(tǒng)上時(shí)空斑圖的形成;分子自組裝，包括tiling模型、生物分子和納米技術(shù)的例子;生物物理學(xué)問題，如蛋白質(zhì)折疊和大分子的物理性質(zhì);以及執(zhí)行計(jì)算的物理系統(tǒng)，包括模擬和量子計(jì)算機(jī)。在凝聚態(tài)物理中，也許對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)研究的根本見解第一次清晰地表述在Anderson在1972年的經(jīng)典文章中:

6. “More isdifferent,” P. W. Anderson, Science 177, 393–396(1972).（E）

在這篇論文中，Anderson指出了對(duì)基本物理理論的誤解，如量子力學(xué)是“萬物的理論”。大體上說,“雖然這些理論的確解釋了整個(gè)宇宙的活動(dòng),但是粒子的集體行為或元素在一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)往往服從涌現(xiàn)的物理法則,如氣體的狀態(tài)方程,并不能輕易地從底層的微觀理論中推導(dǎo)出來(在某些情況下根本不能推導(dǎo)出來)。換句話說，在宇宙的現(xiàn)象學(xué)中的物理定律有許多層次，只在其中某一個(gè)層次是由量子力學(xué)這樣的基本理論所描述的。要理解其他層次，就需要新的理論。

許多物理學(xué)家們是從凝聚態(tài)物理領(lǐng)域開始研究復(fù)雜系統(tǒng)的，他們對(duì)這一領(lǐng)域的理解肯定會(huì)幫助讀者理解復(fù)雜系統(tǒng)理論的思想和語言。最近兩本由物理學(xué)家直接參與的關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)研究的書是:

7. StatisticalMechanics: Entropy, Order Parameters and Complexity. P. Sethna (OxfordUniversity Press, Oxford, 2006). (A) 本書附有一系列的在線程序和仿真模型，這些程序?qū)忉尯屠斫馄渲幸恍└拍罘浅Ｓ杏谩?/span>

8. AdvancedCondensed Matter Physics, L. M. Sander (Cambridge University Press,Cambridge, 2009). (A) 這兩本都是高階的讀本，但是對(duì)于擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的讀者來說，這些書為理解復(fù)雜系統(tǒng)的物理理論提供了一個(gè)很好的起點(diǎn)。

生態(tài)系統(tǒng)和生物進(jìn)化:生物圈，無論是現(xiàn)在的狀態(tài)還是在進(jìn)化的歷史上，都呈現(xiàn)出一幅令人著迷的運(yùn)行中的復(fù)雜系統(tǒng)圖景。

9. Signs ofLife: How Complexity Pervades Biology, R. Sol′e and. Goodwin (Basic Books,New York, 2002). (I) 這本書作了一個(gè)很好的介紹，其中包含了一些重要的數(shù)學(xué)元素，但也避開了最具挑戰(zhàn)性的部分。作者是一名物理學(xué)家和一名生物學(xué)家，這一組合使得這本書易于理解，對(duì)那些感興趣于物理思維如何在傳統(tǒng)的物理學(xué)領(lǐng)域之外做出貢獻(xiàn)的讀者很有意義。

10. EvolutionaryDynamics: Exploring the Equations of Life. A. Nowak (Belknap Press,Cambridge, MA, 2006). (I) 這是一本生物領(lǐng)域更偏技術(shù)性的書籍，也在生物學(xué)范疇內(nèi)介紹了下文中會(huì)討論到的幾個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)理論的領(lǐng)域。

下面兩篇論文從生態(tài)學(xué)視角提供了有益的討論：

11. “Ecosystemsand the biosphere as complex adaptive systems, ”S. A. Levin, Ecosystems 1,431–436 (1998). (I)

12.“Understanding the complexity of economic, ecological, and social systems,” C.S. Holling, Ecosystems 4, 390–405 (2001). (I) 正如論文標(biāo)題所示，這篇文章從生態(tài)學(xué)家的視角，提供了生態(tài)系統(tǒng)與經(jīng)濟(jì)和人類社會(huì)的比較研究。

復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域的一些經(jīng)典作品也屬于生態(tài)學(xué)和進(jìn)化生物學(xué)領(lǐng)域：

13. “Will alarge complex system be stable?” R. M. May, Nature238, 413–414 (1972).(A) 這篇早期的重要論文將復(fù)雜系統(tǒng)思想應(yīng)用于生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且是最近網(wǎng)絡(luò)理論研究工作的一個(gè)重要先驅(qū)(見第四部分A段)。

14. “Towards ageneral theory of adaptive walks on rugged landscapes, ”S. A. Kauffman and S.Levin, J. Theor. Bio. 128, 11–45(1987). (A) 在這篇論文中，Kauffman和Levin首次描述了他們的NK模型，現(xiàn)在是宏觀進(jìn)化論的標(biāo)準(zhǔn)模型之一。

15. At Homein the Universe, S. A. Kauffman (Oxford University Press, Oxford, 1995).(E) Kauffman之后寫的這本書對(duì)NK模型提供了易于理解的介紹。

人類社會(huì):人類社會(huì)當(dāng)然有很多方面（但并不是所有方面）可以通過定量的方法來研究。然而，研究復(fù)雜系統(tǒng)的科學(xué)家對(duì)人類社會(huì)的三個(gè)方面表現(xiàn)出了濃厚的興趣:(1)城市規(guī)劃和社會(huì)的物理結(jié)構(gòu)；(2)社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)網(wǎng)絡(luò)；(3)社會(huì)學(xué)實(shí)驗(yàn)所揭示的社會(huì)之間的差異。我在這一節(jié)中討論了前兩個(gè)。實(shí)驗(yàn)方法在下文第四部分E段中討論。

城市規(guī)劃領(lǐng)域最具影響力的作品之一是1961年由雅各布斯出版的一本著作。盡管它早于有關(guān)復(fù)雜系統(tǒng)的現(xiàn)代觀點(diǎn)的提出，但仍然激發(fā)了許多類似的想法。至今仍被廣泛閱讀:

16. The Deathand Life of Great American Cities, J. Jacobs (Random House, New York,1961). (E) 中譯本：《美國(guó)大城市的死與生》，金衡山譯，譯林出版社，2005

以下論文提供了最近將城市視為復(fù)雜系統(tǒng)的代表性成果。Bettencourt等人的文章闡述了在城市環(huán)境中標(biāo)度理論的應(yīng)用，盡管他們的結(jié)果并沒有被普遍接受，但帶來了非常大的影響。第一個(gè)是涉及相對(duì)較高的技術(shù)難度，而第二個(gè)是非技術(shù)的概述。我將在下文第四部分D段中更詳細(xì)地討論標(biāo)度理論。

17. “The size,scale, and shape of cities,” M. Batty, Science 319,769–771 (2008). (E)

Batty是一位建筑師，近年來在城市規(guī)劃中應(yīng)用復(fù)雜系統(tǒng)理論位居前列。在這篇非技術(shù)性的文章中，他概述了當(dāng)前有關(guān)空間模型、標(biāo)度和網(wǎng)絡(luò)理論的觀點(diǎn)。

18. Citiesand complexity, M. Batty (MIT Press, Cambridge, MA, 2007). (I) 在這本書中，Batty對(duì)他上述論文的主題展開了廣泛的討論。雖然這本書偏技術(shù)性，但作者較好地利用模型和例子來支持他的觀點(diǎn)。

19. “Growth,innovation, scaling, and the pace of life in cities,” L. M. A. Bettencourt, J.Lobo, D. Helbing, C. K¨uhnert, and G. B. West, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 104,7301–7306 (2007). (A) Bettencourt和他的合作者應(yīng)用標(biāo)度理論對(duì)城市環(huán)境的研究很有影響力。他們發(fā)現(xiàn)，描述美國(guó)城市物理結(jié)構(gòu)的各種各樣的參數(shù)顯示了“冪律”的特征。在下文第四部分D段中將對(duì)冪律作進(jìn)一步討論。

20. “A unifiedtheory of urban living,” L. M. A. Bettencourt and G. B. West, Nature 467,912–913 (2010). (E)  這篇非技術(shù)性的論文討論了將復(fù)雜系統(tǒng)方法應(yīng)用于城市規(guī)劃的動(dòng)因和潛在價(jià)值。

提到社交網(wǎng)絡(luò)，復(fù)雜系統(tǒng)研究者已經(jīng)有大量針對(duì)網(wǎng)絡(luò)的一般性研究成果，這將在下文第四部分A段中來回顧。此外，社會(huì)學(xué)領(lǐng)域也有大量對(duì)人類社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的研究成果，雖然并不針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的讀者，但也包括了許多這方面的關(guān)注。下面兩本書是很好的一般性文獻(xiàn)。Watts的這篇文章提供了一個(gè)有趣的觀點(diǎn):復(fù)雜系統(tǒng)理論使這個(gè)已經(jīng)將近一百年歷史的研究領(lǐng)域又煥發(fā)了生機(jī)。

21. SocialNetwork Analysis: A Handbook, J. Scott (Sage, London,2000), 2nd edition.(I)

22. SocialNetwork Analysis, S. Wasserman and K. Faust (Cambridge University Press,Cambridge, 1994). (A)

23. “The “new”science of networks,” D. J. Watts, Annual Review of Sociology 30,243–270 (2004). (I)

經(jīng)濟(jì)學(xué)和市場(chǎng):市場(chǎng)是復(fù)雜系統(tǒng)的典型例子，制造商、貿(mào)易商和消費(fèi)者相互作用，產(chǎn)生了我們稱之為經(jīng)濟(jì)的涌現(xiàn)現(xiàn)象。物理學(xué)家和物理學(xué)式的方法已經(jīng)為經(jīng)濟(jì)學(xué)做出了實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)，并催生了“經(jīng)濟(jì)物理學(xué)”的新領(lǐng)域，這是當(dāng)前比較活躍的一個(gè)研究領(lǐng)域。

24. AnIntroduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance, R. N.Mantegna and H. E. Stanley (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). (I)

這是該領(lǐng)域一本標(biāo)準(zhǔn)的參考書。

25. Why StockMarkets Crash: Critical Events in Complex Financial Systems, D. Sornette(Princeton University Press, Princeton, 2004). (I)

盡管這本書主要關(guān)注的是金融市場(chǎng)，而不是經(jīng)濟(jì)學(xué)，但這本有著較高認(rèn)可度的著作是物理方法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)研究的一個(gè)很好例子。

26. “Iseconomics the next physical science?” J. D. Farmer,M. Shubik, and E. Smith,Physics Today 58 (9), 37–42 (2005). (E)這是一份易于理解的介紹性論文，它提出物理學(xué)能夠?yàn)槲覀儗?duì)經(jīng)濟(jì)和金融問題的理解做出貢獻(xiàn)。

關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)思想對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的影響的根本爭(zhēng)論，是關(guān)于傳統(tǒng)“均衡”數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型價(jià)值的爭(zhēng)論，與之相反的是基于“有限理性”或計(jì)算機(jī)模擬方法等新概念的新方法。對(duì)平衡這兩種觀點(diǎn)的的概述是由Farmer和Geanakoplos提出的。

27. “The virtuesand vices of equilibrium and the future of financial economics,” J. D. Farmerand J. Geanakoplos, Complexity 14 (3),11–38 (2009). (E)一些著作也介于經(jīng)濟(jì)理論和復(fù)雜系統(tǒng)的其他領(lǐng)域之間。最近的一個(gè)例子是Easley和Kleinberg的書，它從一系列的領(lǐng)域中汲取了觀點(diǎn)，以定量卻清晰易懂的方式幫助闡明經(jīng)濟(jì)行為和許多其他事物。

28. Networks,Crowds, and Markets, D. Easley and J. Kleinberg(Cambridge University Press,Cambridge, 2010). (E) 中譯本：《網(wǎng)絡(luò)、群體與市場(chǎng)》，清華大學(xué)出版社，2011

模式生成和集體行為:在二維或三維空間中，復(fù)雜系統(tǒng)主體的相互作用可以產(chǎn)生許多種類空間斑圖，這個(gè)系統(tǒng)現(xiàn)象在許多科學(xué)分支中都可以看到，包括物理學(xué)(射線對(duì)流，擴(kuò)散受限聚集)，化學(xué)(貝魯索-扎波丁斯基的反應(yīng))和生物學(xué)(胚胎形成，細(xì)菌菌落，動(dòng)物群集和人類的集體行為)。圖靈的這篇論文是在生物形態(tài)發(fā)生背景下發(fā)展了斑圖生成理論的最早和最著名的努力之一，也是復(fù)雜系統(tǒng)文獻(xiàn)中的經(jīng)典之作。

29. “Thechemical basis of morphogenesis,” A. M. Turing, Phil.Trans. R. Soc. London B 237(37-72) (1952). (A)30. The Geometry of Biological Time, A. T.Winfree (Springer, New York, 2000), 2nd edition. (I) Winfree的這本書是一種不同尋常的、令人深思的文獻(xiàn)，它要求讀者有適度的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(除了模式生成之外，還有許多其他的主題)。 

物理學(xué)方法被積極用于研究自主主體的集體運(yùn)動(dòng)如道路、行人交通、動(dòng)物群集等。車行交通顯示出許多有趣的行為，這些行為來自于許多司機(jī)的集體行為，比如交通混亂加劇，如逆交通流的反向行駛以及所謂的“擁堵過渡”，即在交通密度達(dá)到臨界點(diǎn)的時(shí)候，汽車的速度突然下降。在行人交通中也可以看到一些類似的現(xiàn)象，盡管行人并不總是像汽車那樣被限制在一個(gè)維度的道路上，而自由度增加也會(huì)產(chǎn)生其他現(xiàn)象。

31. “A cellularautomaton model for freeway traffic,” K. Nagel and M. Schreckenberg, J. Phys. IFrance 2, 2221–2229 (1992). (I) 經(jīng)典的Nagel–Schreckenberg公路交通流量模型是將復(fù)雜系統(tǒng)理論的標(biāo)準(zhǔn)思想應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界問題的一個(gè)很好的例子，該模型是一種“元胞自動(dòng)機(jī)”模型。元胞自動(dòng)機(jī)將在下文第四部分C段中討論。

32. “Traffic andrelated self-driven many-particle systems,” D. Helbing,Rev. Mod. Phys. 73,1067–1141 (1997). (I) Helbing的這篇內(nèi)容寬泛的評(píng)述中詳細(xì)地研究了Nagel-schreckenberg模型和許多其他的交通流模型和理論。

鳥群或魚群是一種合作現(xiàn)象，在這種現(xiàn)象中，成群結(jié)隊(duì)的動(dòng)物以大致相同的方向集體飛行或游動(dòng)而可能變成一個(gè)整體。我們認(rèn)為動(dòng)物通過簡(jiǎn)單的自我約束規(guī)則來達(dá)到這一目標(biāo)，即模仿鄰居的行為，同時(shí)保持一個(gè)安全的距離。

33. “Novel typeof phase transition in a system of self-driven particles,” T. Vicsek, A.Czir′ok, E. Ben-Jacob, I. Cohen, and O. Shochet, Phys. Rev. Lett. 75,1226–1229 (1995). (A)這篇文章介紹了目前研究得最好的的群體行為模型，對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行了簡(jiǎn)單而有效的簡(jiǎn)化。

34. “Collectivemotion,” T. Vicsek and A. Zafiris, Rev. Mod. Phys.(in press). (I)這篇文獻(xiàn)充分總結(jié)了群集理論的進(jìn)展。

35. “Effectiveleadership and decision-making in animal groups on the move,” I. D. Couzin, J.Krause, N. R. Franks, and S. A. Levin, Nature 433, 513–516 (2005). (I)這是使用簡(jiǎn)化模型來闡明一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)象的另一個(gè)很好的例子。這篇論文展示了一群人能夠自組織地實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)行動(dòng)，從而有效地實(shí)現(xiàn)集體目標(biāo)，即使只有一小部分人知道他們要去哪里。

36. “Empiricalinvestigation of starling flocks: A benchmark study in collective animal behavior,”M. Ballerini, N. Cabibbo, R. Candelier,A. Cavagna, E. Cisbani, I. Giardina, A.Orlandi, G. Parisi,A. Procaccini, M. Viale, and V. Zdravkovic, Animal Behavior 76,201–215(2008). (I)最近一項(xiàng)關(guān)于群集現(xiàn)象的有趣研究是用視頻技術(shù)對(duì)大量的真實(shí)鳥類進(jìn)行定量研究。這篇論文描述了一個(gè)協(xié)作項(xiàng)目，它結(jié)合了來自統(tǒng)計(jì)和凝聚態(tài)物理理論。

四、復(fù)雜系統(tǒng)理論

本文的其余部分將關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)的一般性理論。既然復(fù)雜系統(tǒng)理論并不是一個(gè)單一的知識(shí)體系，也許“一般性理論”將是一個(gè)更合理的術(shù)語。借用圣塔菲學(xué)院Doyne Farmer教授的比喻，復(fù)雜系統(tǒng)理論并不是一本長(zhǎng)篇小說，而是一系列短篇小說。至于復(fù)雜系統(tǒng)理論是否有一天會(huì)整合成統(tǒng)一的理論，這是目前的爭(zhēng)論，盡管我認(rèn)為它不會(huì)。

A.  網(wǎng)格和網(wǎng)絡(luò)

當(dāng)前的復(fù)雜系統(tǒng)理論通常設(shè)定以某種特定方式相互作用的大量系統(tǒng)主體。為了對(duì)系統(tǒng)的細(xì)節(jié)進(jìn)行量化，首先必須說明其拓?fù)潢P(guān)系，即指明它與誰進(jìn)行交互；接下來是其動(dòng)力學(xué)特征，即個(gè)體是如何運(yùn)轉(zhuǎn)以及個(gè)體之間是如何互動(dòng)的。

拓?fù)渫ǔＪ且愿窬W(wǎng)形式來呈現(xiàn)的，而且這也是復(fù)雜系統(tǒng)理論研究領(lǐng)域中發(fā)展前景最廣闊的方向之一。通常情況下，規(guī)則網(wǎng)格幾乎不需要闡述，因?yàn)閹缀跛腥硕贾榔灞P的形態(tài)。一些建立在規(guī)則網(wǎng)格上的模型在第四部分C段中會(huì)進(jìn)一步介紹。然而，大多數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)都有著更為復(fù)雜的非常規(guī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它們需要一個(gè)更綜合的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來表現(xiàn)。

近年來有幾本關(guān)于網(wǎng)絡(luò)主題的書籍問世。下面Watts所著的這本書很受歡迎，盡管它包含了一些數(shù)學(xué)知識(shí)。Newman的書很長(zhǎng)，涵蓋了很多方面的技術(shù)細(xì)節(jié);科恩和哈夫林的這本書更短，更具有選擇性。我還為高階讀者列出了兩篇綜述，一篇簡(jiǎn)述性的，一篇百科全書式的。

37. Six Degrees: The Science of a Connected Age, D. J.Watts (Norton, New York, 2003). (E)

38. Networks: An Introduction, M. E. J. Newman (OxfordUniversity Press, Oxford, 2010). (I)

39. Complex Networks: Structure, Stability and Function,R. Cohen and S. Havlin (Cambridge University Press, Cambridge, 2010). (I)

40. “Exploring complex networks,” S. H. Strogatz, Nature410, 268–276 (2001). (A)

41. “Complex networks: Structure and dynamics,” S.Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D.-U. Hwang, Physics Reports424, 175–308 (2006). (A)

The book by Easley and Kleinberg cited earlier as Ref. 28also includes material on networks.

上文第28個(gè)參考文獻(xiàn)中由Easley和Kleinberg所著的書中也包括有關(guān)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)容。

B. 動(dòng)力系統(tǒng)

對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)中的主體行為，已經(jīng)發(fā)展成許多不同的理論。動(dòng)力系統(tǒng)理論是其中最成熟的理論之一，個(gè)人或群體在時(shí)間尺度下的行為可以通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行耦合，從而表示相互作用。動(dòng)力系統(tǒng)理論分為本節(jié)中闡述的連續(xù)動(dòng)態(tài)，和下一節(jié)中闡述的離散動(dòng)態(tài)。

連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)通常是用微分方程來建模的，并展示了一系列具有復(fù)雜系統(tǒng)特征的涌現(xiàn)行為，例如混亂和分叉。以下是三個(gè)基本的參考資料:

42. Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order, S.Strogatz (Hyperion, New York, 2003). (E) 在這本較受歡迎的書中，由該領(lǐng)域先驅(qū)者之一介紹了動(dòng)力系統(tǒng)理論的一些基本思想。本書特別側(cè)重于同步現(xiàn)象，但也包括其他主題的有用資料。

43. Chaos and Fractals, H.-O. Peitgen, H. Ju¨rgens, andD. Saupe (Springer, Berlin, 2004). (E) 這本有圖文并茂的介紹，適合本科生或高級(jí)中學(xué)學(xué)生閱讀的。

44. Dynamics: The Geometry of Behavior, R. Abraham and C.D. Shaw (Addison-Wesley, Reading, MA, 1992), 2nd edition. (E) 遺憾的是，這本非凡的著作已經(jīng)絕版了，但仍然可以在圖書館中找到它。它本質(zhì)上是一本圖畫書或漫畫，闡釋了動(dòng)力系統(tǒng)的原理。在這個(gè)領(lǐng)域可視化做得較好，這是理解很多基本概念的一個(gè)好方法。

在動(dòng)力系統(tǒng)上也有許多更高級(jí)的材料，如下文：

45. Nonlinear Dynamics and Chaos, S. H. Strogatz(AddisonWesley, Reading, MA, 1994). (I) 一本重要的關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)理論標(biāo)準(zhǔn)方法的文章，適合有高等教育背景的閱讀者。

46. “Deterministic nonperiodic ?ow,” E. N. Lorenz, J.Atmos. Sci. 20, 130–141 (1963). (A) 這是一個(gè)很經(jīng)典的領(lǐng)域。這是第一篇真正闡明了一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)中混沌行為起源的論文，行文清晰，盡管它需要一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)背景。

47. “Controlling chaos,” E. Ott, C. Grebogi, and J. A.Yorke, Phys. Rev. Lett. 64, 1196–1199 (1990).(A) 這一領(lǐng)域的另一篇重要論文，研究了控制混沌系統(tǒng)在技術(shù)層次上的重要課題。

C. 離散動(dòng)力學(xué)和元胞自動(dòng)機(jī)

離散的動(dòng)力系統(tǒng)是上世紀(jì)七八十年代一個(gè)重要的研究課題。離散的動(dòng)力系統(tǒng)通過一系列離散的“時(shí)間步驟”進(jìn)化而來的，一個(gè)典型的例子就是邏輯斯諦映射，它顯示了有序系統(tǒng)向混沌狀態(tài)的一個(gè)轉(zhuǎn)變（實(shí)質(zhì)上是多個(gè)轉(zhuǎn)變），它激發(fā)了關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng) “混亂邊緣”的大量研究。

48. “Simple mathematical models with very complicateddynamics,” R. M. May, Nature 261, 459–467 (1976). (I) 這是一篇關(guān)于邏輯斯諦映射和類似的離散動(dòng)力系統(tǒng)的經(jīng)典的教學(xué)性綜述，由一位復(fù)雜系統(tǒng)理論之父所總結(jié)。涉及的數(shù)學(xué)是初級(jí)的，只有代數(shù)和微積分，但有些概念很難形象化。 

49. “Universal behavior in nonlinear systems,” M. J.Feigenbaum, Physica D 7, 16–39 (1983). (I) 在1978年，Mitchell Feigenbaum證實(shí)了動(dòng)力系統(tǒng)理論最重要的結(jié)論之一。他最初關(guān)于這個(gè)題目的研究論文在技術(shù)上頗具挑戰(zhàn)性，但之后的這篇論文相對(duì)來說比較通俗易懂，并提供了一個(gè)很好的理論概要。Feigenbaum的理論也可以在Strogatz的書中（第45個(gè)參考文獻(xiàn)）找到。

在時(shí)間和空間上離散的動(dòng)力系統(tǒng)被稱為元胞自動(dòng)機(jī)，簡(jiǎn)稱為CAs，它們?cè)趶?fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域被精確地歸于由許多互動(dòng)主體形成的系統(tǒng)。盡管也用于研究其他幾何圖形，但最簡(jiǎn)單和最好地研究案例是在網(wǎng)格上。眾所周知的元胞自動(dòng)機(jī)的例子包括:J.H.康威的“Game of Life”、“Rule 110”自動(dòng)機(jī)，它具有通用計(jì)算能力，以及第三部分中提到的nagel-schreckenberg車流模型。

50. “Mathematical Games: The fantastic combinations ofJohn Conway’s new solitaire game “l(fā)ife”,” M. Gardner, Scienti?c American 223,120–123 (1970). (E) Martin Gardner為《Scienti?c American》撰寫的出色的數(shù)學(xué)游戲?qū)?，其中幾乎所有著名的元胞自?dòng)機(jī)模型都在其中，其中Conway的“Game of Life”，第一次在這里出現(xiàn)。幾十年后，這篇文章仍然是一個(gè)很好的介紹。

51. Winning Ways for Your Mathematical Plays, J. H.Conway, R. K. Guy, and E. R. Berlekamp, volume 2 (A. K. Peters, Natick, MA,2003), 2nd edition. (I) 這是四冊(cè)關(guān)于游戲的優(yōu)秀著作中的第二冊(cè)，介紹了諸如棋盤游戲和紙牌游戲,以及他們的數(shù)學(xué)分析。這本書最初出版于20世紀(jì)80年代，但最近又重新出版了。它包括了對(duì)Game of Life的徹底討論。

52. Brainchildren: Essays on Designing Minds, D. C.Dennett (MIT Press, Cambridge, MA, 1998). (E) 這本書不是專門針對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)研究者的，但是題為“Real Patterns”的這一章不僅是對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的一個(gè)很好的介紹，更是為對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)感興趣的研究者們?cè)诟鼜V闊的領(lǐng)域中提供了模型過程。

 53. A New Kind of Science, S. Wolfram (Wolfram Media,Champaign, IL, 2002). (I) 這本巨著用大篇幅討論了作者的研究,但這本書的第一部分,尤其是前一百頁左右,提供了關(guān)于元胞自動(dòng)機(jī)非常可讀的介紹,清晰地劃定了基本的領(lǐng)域，但只適宜追求中等數(shù)學(xué)內(nèi)容的讀者。

54. “Studying arti?cial life with cellular automata,” C.G. Langton, Physica D 22, 120–149 (1986). (I) 一篇關(guān)于元胞自動(dòng)機(jī)理論的很有影響力的早期論文，它建立起與復(fù)雜系統(tǒng)研究其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系，包括混沌理論和“人工生命”(參見第四部分H段)。此外，該論文還回顧了一些相當(dāng)迷人的仿真結(jié)果，這些結(jié)果直接來自拍攝計(jì)算機(jī)終端屏幕。

55. Cellular Automata: A Discrete Universe, A. Ilachinski(World Scienti?c, Singapore, 2001). (A) 對(duì)于高階讀者來說，這本書提供了關(guān)于元胞自動(dòng)機(jī)的大部分內(nèi)容。

在第1個(gè)參考文獻(xiàn)的第11章中，Mitchell也為細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的研究提供了一個(gè)很好的概述。對(duì)那些感興趣的人來說，一個(gè)出色而有趣的資源是Andrew Trevorrow和Tomas Rokicki的免費(fèi)電腦程序，它模擬了一種廣泛的細(xì)胞自動(dòng)機(jī)，并展示了他們的動(dòng)態(tài)而優(yōu)雅的計(jì)算機(jī)圖形。

D. 標(biāo)度理論和臨界

在復(fù)雜系統(tǒng)理論的基本工具中，物理學(xué)思想中的標(biāo)度、相變與臨界現(xiàn)象是其中重要的部分。在前文中，F(xiàn)eigenbaum關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)在“混沌邊緣”的臨界狀態(tài)的研究（第49條參考文獻(xiàn)），就是其中一個(gè)，當(dāng)然也有許多其他例子。冪律分布是通過對(duì)許多復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行觀察得到的一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)。冪律分布被稱為“標(biāo)度”，因?yàn)榧词箿y(cè)量的對(duì)象被重新調(diào)整，它們?nèi)员３衷械男螤?，即等同于與一個(gè)常數(shù)相乘。在復(fù)雜系統(tǒng)中，關(guān)于冪律分布與標(biāo)度理論起源的探究，已經(jīng)作為研究課題被探討了數(shù)十年。以下兩篇論文提供了該領(lǐng)域的總體概述：

復(fù)雜系統(tǒng)理論中的冪律分布已成為一些重要刊物的熱點(diǎn)話題，最早可追溯到19世紀(jì)90年代帕累托的相關(guān)研究。冪律分布的機(jī)制一直是特別關(guān)注的焦點(diǎn)。相關(guān)研究表明有望建立一個(gè)單一的數(shù)學(xué)機(jī)制對(duì)各種冪律分布進(jìn)行總結(jié)，從而形成統(tǒng)一的復(fù)雜系統(tǒng)理論。 “自組織臨界性”就被認(rèn)為是這樣一個(gè)機(jī)制。然而，目前的研究尚未達(dá)成共識(shí)，因?yàn)榇嬖谠S多不同的機(jī)制，一個(gè)統(tǒng)一的理論似乎并不存在。

56. “A brief history of generative models for power lawand lognormal distributions,” M. Mitzenmacher, Internet Mathematics 1, 226– 251(2004). (I)

57. “Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law,” M.E. J. Newman, Contemporary Physics 46, 323–351 (2005). (I)

58. “On a class of skew distribution functions,” H. A.Simon, Biometrika 42, 425–440 (1955). 第一個(gè)也是最重要的一個(gè)冪律機(jī)制便是“富者愈富”或者“偏好連接”機(jī)制。Simon是第一個(gè)用現(xiàn)代形式寫下這個(gè)理論的人，盡管這個(gè)思想的許多表達(dá)都在早期作品中呈現(xiàn)過。比如“A mathematical theory of evolution based on theconclusions of Dr. J. C. Willis,” G. U. Yule, Philos. Trans. R. Soc. London B213, 21–87 (1925). (A)

59. “Self-organized criticality: An explanation of the1/f noise,” P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381– 384(1987). (A)

物理學(xué)家早就意識(shí)到，物理系統(tǒng)精確地調(diào)整到一個(gè)特殊的“臨界點(diǎn)”時(shí)將會(huì)顯示出冪律行為，但物理系統(tǒng)卻很難作為冪律發(fā)生在自然系統(tǒng)中的一個(gè)好的例證。因?yàn)檫@類系統(tǒng)一般很難被調(diào)整到臨界點(diǎn)。Bak等人在這篇文章中提出了一種巧妙解決問題的方法，指出某些類別的系統(tǒng)通過他們的動(dòng)態(tài)本質(zhì)會(huì)自動(dòng)地調(diào)整臨界點(diǎn)。這一被稱為“自組織臨界”的過程，在這篇文章中由一個(gè)名為“自組織沙堆”的元胞自動(dòng)機(jī)模型來闡釋。

60. “Robust space–time intermittency and 1/f noise,” J.D. Keeler and J. D. Farmer, Physica D 23, 413–435 (1986). (A) 這篇文章有時(shí)候在有關(guān)自組織臨界性的文獻(xiàn)中被忽略了。這篇文章比Bak等人的文章早了一年多，其中描述了許多重要的概念，這些概念構(gòu)成了Bak等人方法的基礎(chǔ)。

61. “Self-organized critical forest-?re model,” B.Drossel and F. Schwabl, Phys. Rev. Lett. 69, 1629–1632 (1992). (A) 也許最簡(jiǎn)單的自組織臨界模型是Schwabl和Drossel的森林火災(zāi)模型。盡管它在Bak等人的沙堆模型之后提出，但它更容易理解，并可能成為研究該理論的一個(gè)更好的起點(diǎn)。

62. How Nature Works: The Science of Self-OrganizedCriticality, P. Bak (Copernicus, New York, 1996). (E) 如果算是我多少有點(diǎn)盲目崇拜的話，這是由這個(gè)理論最偉大的支持者撰寫的關(guān)于自組織臨界科學(xué)的一個(gè)自成一體，可讀性很強(qiáng)的介紹。

63. “Highly optimized tolerance: A mechanism for powerlaws in designed systems,” J. M. Carlson and J. Doyle, Phys. Rev. E 60,1412–1427 (1999). (I) 另一種關(guān)于冪律特征的一般性理論是Carlson和Doyle的“高優(yōu)化容限”(HOT)理論。雖然它的提出者并不認(rèn)為它能解釋所有冪律，但在某些情況下，它很可能比自組織臨界狀態(tài)更符合觀察結(jié)果。這篇論文介紹了“高優(yōu)化容限”(HOT)理論中最著名的模型，即“高優(yōu)化森林火災(zāi)”模型，它與上面的自組織森林火災(zāi)模型類似。

64. “A general model for the origin of allometric scalinglaws in biology,” G. B. West, J. H. Brown, and B. J. Enquist, Science 276, 122–126 (1997). (A)

也許近年來這一領(lǐng)域最大的轟動(dòng)是由生物異速生長(zhǎng)理論所創(chuàng)造的，即由West提出的生物體冪律標(biāo)度。這篇是該理論的原創(chuàng)論文，盡管West等人自那以后已經(jīng)發(fā)表了許多其他的論文。

65. “Life’s universal scaling laws,” G. B. West and J. H.Brown, Physics Today 57 (9), 36–42 (2004). A general introduction to the theoryof West et al. for physicists. (E)

Mandelbrot的這本書（第5條參考文獻(xiàn)）也是關(guān)于此話題的一個(gè)重要的歷史性文獻(xiàn)，它在冪律和聚焦非整數(shù)維度曲線與形狀的分形研究之間建立了聯(lián)系。

E. 適應(yīng)性理論與博弈論

通常復(fù)雜系統(tǒng)都有一個(gè)共同的屬性，那就是適應(yīng)性。具體來說，系統(tǒng)中大量主體的集體行為會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的特征優(yōu)化，這就是適應(yīng)。其中一個(gè)經(jīng)典的理論就是生物進(jìn)化，因?yàn)檫M(jìn)化是個(gè)體在一個(gè)群體中進(jìn)行資源競(jìng)爭(zhēng)時(shí)體現(xiàn)出的特質(zhì)，因此這實(shí)際上也是系統(tǒng)中主體互動(dòng)的結(jié)果,或者說進(jìn)化就是復(fù)雜系統(tǒng)中的涌現(xiàn)現(xiàn)象。

具有適應(yīng)性的復(fù)雜系統(tǒng)也可以被稱作“復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)”，而這其中最基本的概念就是“適應(yīng)度“?！斑m應(yīng)度”可以被定義為個(gè)體、群體、物種或策略在競(jìng)爭(zhēng)中體現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)度量，這個(gè)度量則可以告訴我們個(gè)體、群體、物種或策略是否可以繁殖或增值。在最簡(jiǎn)單的模型中，我們可以建立一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，并將描述性參數(shù)（例如個(gè)體大小或覓食策略等）映射到適應(yīng)度值，最終我們可以利用這個(gè)函數(shù)尋找到最大適應(yīng)度的參數(shù)值。

以下三本書雖然不是專門針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的，但它們都提供了很全面的背景知識(shí):

66.The Theory of Evolution, J. Maynard Smith (Cambridge University Press,Cambridge, 1993), 3rd edition.這本MaynardSmith寫的大眾入門級(jí)書籍是學(xué)習(xí)進(jìn)化論的最佳起始點(diǎn)。

67.Climbing Mount Improbable, R. Dawkins (Norton, New York, 1997).Dawkins是上個(gè)世紀(jì)最著名的科學(xué)作家，同時(shí)他的有關(guān)進(jìn)化生物學(xué)的著作也十分有影響力。其中，他早期的TheSelfish Gene《自私的基因》可能是繼達(dá)爾文著作之后最有影響力的進(jìn)化論書籍了。這本書很好的為初學(xué)者介紹了當(dāng)今科學(xué)界對(duì)于進(jìn)化論的理解。

68.The Structure of Evolutionary Theory, S. J. Gould (Belknap Press, Cambridge,MA, 2002). (I) 適應(yīng)性這樣的生物學(xué)概念后來也被借鑒至計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。例如，我們可以通過競(jìng)爭(zhēng)的方式挑選最好的程序或算法，并讓其擁有更多的后代，并讓下一代再次競(jìng)爭(zhēng)，并以此循環(huán)往復(fù)。經(jīng)過一系列的競(jìng)爭(zhēng)，我們最終可以得到一個(gè)針對(duì)特定難題最好的解。這樣的競(jìng)爭(zhēng)方法可以廣泛利用于各類優(yōu)化問題中，而這種計(jì)算方法則可以被稱作遺傳算法。

69.“Genetic algorithms,” J. H. Holland, Scientific American 267 (1), 66–72 (1992).

John Holland是這個(gè)領(lǐng)域的創(chuàng)始人和倡導(dǎo)者，他曾經(jīng)也寫了這樣一本介紹性的非專業(yè)著作。

70.“Evolving inventions,” J. R. Koza, M. A. Keane, and M. J. Streeter, ScientificAmerican 288 (2), 52–59 (1992).這是一本有關(guān)遺傳算法的討論，書中專門介紹了如何將遺傳算法應(yīng)用于計(jì)算機(jī)軟件的發(fā)展。

71.Introduction to Genetic Algorithms, M. Mitchell (MIT Press, Cambridge, MA,1996).

雖然這本書已經(jīng)相對(duì)較老，但Mitchell的這本遺傳算法書仍是這個(gè)主題下最重要的書。對(duì)于想深入了解這個(gè)領(lǐng)域的人來說也是不錯(cuò)的選擇。

我們說適應(yīng)性常常受到一些物理參數(shù)（體型大?。┑挠绊懀苌偬岬较到y(tǒng)中主體之間的關(guān)系。其實(shí)，主體之間的互動(dòng)行為也會(huì)對(duì)個(gè)體或群體的適應(yīng)性產(chǎn)生很大影響。不過，這種復(fù)雜的互動(dòng)行為很難被參數(shù)化，這也是為什么近來出現(xiàn)了一個(gè)專門解釋這種現(xiàn)象的理論。解釋這種主體間互動(dòng)關(guān)系的理論被稱作博弈論。

博弈論中的“博弈”可以理解為是對(duì)弈者之間的互相反饋，對(duì)弈者做出主觀選擇，而其他對(duì)弈者則根據(jù)前者的選擇做出反饋。例如：在生物進(jìn)化模型中，博弈論可以模擬個(gè)體間的交配策略；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，它可以用于解釋市場(chǎng)交易者的行為；而博弈論在社會(huì)學(xué)中可以模擬個(gè)人的生活、財(cái)務(wù)和職業(yè)決策；除此之外，還有很多其他的領(lǐng)域也會(huì)利用博弈論來解決問題。

MortonDavis曾寫了一本面向非專業(yè)讀者的博弈論書籍，雖然這本書據(jù)面世已經(jīng)過去了近30年，但它依舊是這個(gè)領(lǐng)域很好的入門書籍。這本書最近又有了大量的重印版而且價(jià)格也不貴，所以我也鼓勵(lì)學(xué)生或研究者買來讀讀。如果你想要一本深入且有數(shù)學(xué)介紹的書籍，我建議你去看看Myerson的書，Myerson是這個(gè)領(lǐng)域的大牛；除此之外，Watson也有一本從現(xiàn)代角度介紹博弈論的書籍。

72.Game Theory: A Nontechnical Introduction, M. D. Davis (Dover, New York, 1997).(E)

73.Game Theory: Analysis of Conflict, R. B. Myerson (Harvard University Press,Cambridge, MA, 1997). (A)

74.Strategy: An Introduction to Game Theory, J. Watson (Nor- ton, New York, 2007),2nd edition. (I)

Nowak寫的博弈論專注于生物進(jìn)化領(lǐng)域，而Easley和Kleinberg的書講到了博弈與網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)系。博弈論領(lǐng)域中有一些內(nèi)容是復(fù)雜系統(tǒng)話題不可缺少的，所以我建議所有對(duì)這個(gè)話題感興趣的都去了解一下。

75.The Evolution of Cooperation, R. Axelrod (Basic Books, New York, 2006).

“囚徒的困境”可能是博弈論中最著名的理論基礎(chǔ)之一，也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)。而RobertAxelrod組織的同名競(jìng)賽也成了是博弈論歷史上的一個(gè)著名事件。在這個(gè)競(jìng)賽中，參賽者需要設(shè)計(jì)并提交兩名囚徒在生存競(jìng)爭(zhēng)的最佳策略。最終，數(shù)學(xué)生物學(xué)家AnatolRapoport用一種極其簡(jiǎn)單的戰(zhàn)略贏得了競(jìng)賽，大家把這個(gè)戰(zhàn)略稱為“針鋒相對(duì)”。具體來說就是兩個(gè)囚徒在競(jìng)爭(zhēng)中，總是使用與對(duì)手相同的策略。Axelrod以此解釋為什么動(dòng)物有時(shí)會(huì)相互合作，即便這種合作在最初看來，并不符合兩方的最佳利益。

76.“Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game,” D. Challetand Y.-C. Zhang, Physica A 246, 407–418 (1997).物理學(xué)家Challet和Zhang提出的了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的博弈游戲，名字叫“theminority game”（少數(shù)游戲）。雖然它十分簡(jiǎn)單，但是在游戲中玩家卻顯示出了非同尋常的復(fù)雜行為。游戲開始有n個(gè)玩家，其中n是奇數(shù)，每個(gè)玩家需要不斷地在兩種策略間選擇：移動(dòng)一步或移動(dòng)兩步。如果某個(gè)玩家的選擇是少數(shù)的那群，它就贏了。很明顯，這個(gè)游戲并沒有普遍的最佳策略，因?yàn)榇蠹以谕娴臅r(shí)候無論如何都會(huì)成為多數(shù)人，而最終輸?shù)粲螒??！皌heminority game”（少數(shù)游戲）是BrianArthur提出的游戲的簡(jiǎn)化版本，也通常被稱為ElFarol問題，以紀(jì)念新墨西哥州圣塔菲的一個(gè)著名的酒吧。

77.The Bounds of Reason: Game Theory and the Unification of the BehavioralSciences, H. Gintis (Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009).

近幾十年，一個(gè)非常有趣的領(lǐng)域開始發(fā)展起來，大家把它叫做實(shí)驗(yàn)博弈論，也有稱為行為博弈論或?qū)嶒?yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)。實(shí)驗(yàn)博弈論的不同之處在于它拋棄了只是紙上談兵的博弈游戲，而是做一些真實(shí)實(shí)驗(yàn)去測(cè)試人在博弈游戲中的反應(yīng)。這些實(shí)驗(yàn)最驚人的結(jié)果在于，即便游戲是非常簡(jiǎn)單的，人們也一般不會(huì)去選擇理論上最優(yōu)的策略，甚至金錢鼓勵(lì)也沒有用。這種奇怪的現(xiàn)象被統(tǒng)稱為“boundedrationality”（有限理性）。有限理論說我們不能假設(shè)人們會(huì)用最多的信息做出對(duì)自己最優(yōu)選擇。這樣的結(jié)論雖然十分簡(jiǎn)要，但卻引起了很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家的爭(zhēng)論。

F. 信息論

顧名思義，信息論是用來描述和量化信息的。雖然信息論一般不算在復(fù)雜系統(tǒng)的范疇里面，但是它卻是研究和理解復(fù)雜系統(tǒng)過程中最常用的工具。最開始它是用于理解電子工程中電子通訊能力的。但近年來，它的應(yīng)用范圍變得越來越廣泛，并用它去發(fā)現(xiàn)和研究各種模式和規(guī)律。假如一種規(guī)律十分明顯，這種規(guī)律便可以用低信息量來表示，例如周期性出現(xiàn)的符號(hào)、數(shù)字以及顏色等。如果我們可以非常精準(zhǔn)的通過前面的符號(hào)規(guī)律推斷出后面即將出現(xiàn)的符號(hào)，那么這種符號(hào)就會(huì)有非常小的信息量。這種想法現(xiàn)在已經(jīng)用于DNA序列的檢測(cè)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)等等實(shí)驗(yàn)科學(xué)中。

78.An Introduction to Information Theory, J. R. Pierce (Dover, New York, 1980),2nd edition. 雖然Pierce的這本書已經(jīng)比較老了，但是它依舊是最好的信息論入門典籍。書中有一些內(nèi)容需要對(duì)數(shù)學(xué)的理解，不過Pierce解釋的還不錯(cuò)。

79.Elements of Information Theory, T. M. Cover and J. A. Thomas (John Wiley, NewYork, 1991). 這本書比較詳盡的介紹了現(xiàn)代信息論，不過需要讀者對(duì)數(shù)學(xué)有比較深刻的理解。

80.“A mathematical theory of communication I,” C. E. Shannon, Bell SystemTechnical Journal 27, 379–423 (1948).這是信息論創(chuàng)始人ClaudeShannon的原創(chuàng)論文。在論文中，Shannon第一次非常完整的介紹了信息論的基礎(chǔ)。除此之外，對(duì)想了解信息論數(shù)學(xué)部分的人，這篇文章也寫得很棒。

復(fù)雜系統(tǒng)中最活躍的領(lǐng)域之一就是利用信息論去衡量系統(tǒng)的復(fù)雜性。信息論可以回答我們“復(fù)雜系統(tǒng)是什么？”,“一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜度有多少”這樣的問題。其中最著名的例子要數(shù)KolmogorovComplexity（KC）了。具體來說，KC可以被定義為描述完整系統(tǒng)的最小程序序列長(zhǎng)度，如果KC小代表程序序列短且系統(tǒng)的復(fù)雜度低，相反亦然。不過，想要計(jì)算KC是十分困難的，有時(shí)甚至是異想天開的，所以研究者常常需要花費(fèi)很大的努力去找到好的辦法。

81.“How to define complexity in physics, and why,” C. H. Bennett, in W. H. Zurek(editor), “Complexity, Entropy, and the Physics of Information,” pp. 443–454(Addison-Wesley, Reading, MA, 1990).這是前沿領(lǐng)域?qū)W者寫給非專業(yè)人士看的文章。

82.Complexity: Hierarchical Structure and Scaling in Physics, R. Badii and A.Politi (Cambridge University Press, Cambridge, 1997).

這本書的第八章和第九章很好的介紹了衡量復(fù)雜度的方法，并正好與我下面要講的計(jì)算復(fù)雜度有聯(lián)系。

G. 計(jì)算復(fù)雜性理論

計(jì)算復(fù)雜性可能跟當(dāng)前主流的復(fù)雜系統(tǒng)研究交叉較少，但是具有非常高的實(shí)用價(jià)值。計(jì)算復(fù)雜性理論研究的是完成某些計(jì)算任務(wù)的復(fù)雜度，例如算出解決一個(gè)問題所需要的時(shí)間或步數(shù)。雖然計(jì)算復(fù)雜性理論一般是計(jì)算機(jī)中的話題，但是這個(gè)理論應(yīng)用廣泛，進(jìn)化生物學(xué)、分子生物學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、博弈論、工程等等都有涉及。

例如尋找一個(gè)物理系統(tǒng)基態(tài)（系統(tǒng)的最低能量態(tài)）這樣的問題，我們可以通過計(jì)算復(fù)雜性理論算出尋找的時(shí)間或步數(shù)。有時(shí)，這樣的問題挺容易解決的，但是在很多時(shí)候，系統(tǒng)的基態(tài)是很難通過一般原理或方法計(jì)算的。在遇到這種情況時(shí)，除非通過窮舉法找到基態(tài)，我們只能通過一些基本假設(shè)，去證明這樣的問題是沒有快速的一般方法的。

事實(shí)上自然與以上這種計(jì)算方式無異。當(dāng)自然尋找系統(tǒng)的最低能量態(tài)時(shí)，它實(shí)際上是在執(zhí)行一個(gè)計(jì)算。如果我們可以證明沒有快速的方法進(jìn)行該計(jì)算，這說明這個(gè)物理系統(tǒng)將不會(huì)很快的找到最低能量態(tài)；或者，如果所需要尋找的能量態(tài)集合數(shù)量太大，這個(gè)計(jì)算過程有可能需要數(shù)年或數(shù)個(gè)世紀(jì)。因此，計(jì)算理論可以讓我們非常真實(shí)地了解物理（生物或社會(huì)）系統(tǒng)如何運(yùn)作。

計(jì)算復(fù)雜性理論中最有名的問題要數(shù)最基本的“P=NP?”問題，這個(gè)問題有時(shí)甚至?xí)巧蠄?bào)紙。P問題是指那些可以被“快速”解決的問題，當(dāng)然“快速”需單獨(dú)定義。一個(gè)常見的P問題是兩個(gè)矩陣的乘積計(jì)算，它有一個(gè)很簡(jiǎn)易快速的解法。另一類NP問題就不太一樣，這類問題一般可以快速的檢查解決方案是否正確，但并沒有快速的解法。

就拿剛才的例子來講，如果你問我兩個(gè)矩陣的乘積，我可以很快的計(jì)算出結(jié)果并跟正確答案對(duì)比，這么來說，P問題是NP問題的子集。當(dāng)然，NP問題可以很容易的檢查，但是不一定容易去計(jì)算，就比如計(jì)算機(jī)科學(xué)里典型的“TravelingSalesman Problem”（旅行推銷員問題）。這個(gè)問題是這樣的，假設(shè)有n個(gè)城市，每個(gè)城市都與其他城市直接相連，現(xiàn)在有一個(gè)推銷員需要去每個(gè)城市去推銷，但要求這個(gè)人總共的旅程不能多余m公里，求這樣的解。當(dāng)然，你可以給我一個(gè)解，我可以很快的檢查這個(gè)推銷員是否走過了所有城市，以及總旅程是否少于m公里。但是，如果你只是給我這樣一個(gè)問題讓我自己去找解，這會(huì)非常難，因?yàn)檫@個(gè)問題中有非常多可能的解，而這里并沒有一個(gè)一般辦法去找到符合條件的解。大家公認(rèn)的理解是現(xiàn)在沒有辦法去快速的找到旅行推銷員問題的解，通俗些講，最好的辦法就是嘗試每一條路線并一個(gè)一個(gè)測(cè)試，直到找到符合條件的路為止。

既然大家公認(rèn)NP問題的集合會(huì)比P問題的集合更大，這就說明兩個(gè)集合是不等價(jià)的。不過，這種看法也可能是錯(cuò)的：也許存在這樣一個(gè)方法，它可以同時(shí)解決NP問題和P問題?？傊?，大部分計(jì)算復(fù)雜性理論的研究者還是相信前者是對(duì)的，但是還沒有人能夠證明它，甚至沒有辦法去思考這樣的問題。

83.“NP-complete problems in physical reality,” S. Aaronson, ACM SIGACT News 36(1), 30–52 (2005).在Aaronson的這篇文章中，他討論了計(jì)算復(fù)雜度理論的應(yīng)用，特別是以“NPCompleteness”（NP完全）為基礎(chǔ)的問題，例如蛋白質(zhì)折疊、量子計(jì)算以及相對(duì)論等，他在介紹這些內(nèi)容時(shí)引入了許多計(jì)算復(fù)雜度的概念。

84.The Nature of Computation, C. Moore and S. Mertens (Ox- ford University Press,Oxford, 2011).這是一本由兩個(gè)頂尖的復(fù)雜系統(tǒng)研究者撰寫的計(jì)算復(fù)雜度入門書籍，它可讀性非常高且信息量豐富。這本書強(qiáng)調(diào)了一個(gè)重要的想法——計(jì)算機(jī)并不是唯一可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算的東西，各種生物系統(tǒng)和人造世界也在時(shí)時(shí)刻刻做著各種各樣的計(jì)算，因此計(jì)算理論也可以嫁接在這些系統(tǒng)中。

85.Introduction to the Theory of Computation, M. Sipser (Thomson, Boston, MA,2006), 2nd edition.這是一本計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中常用的計(jì)算復(fù)雜度書籍。

H. 基于Agent建模

研究復(fù)雜系統(tǒng)理論有多種計(jì)算機(jī)模型可以選擇，比較標(biāo)準(zhǔn)且廣泛適用的模型有數(shù)值分析（積分、線性代數(shù)、光譜以及蒙特卡羅方法等）。但是，有一個(gè)方法是特別針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)研究的，也基本是由復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)家開發(fā)的，它被稱為基于Agent建模。

基于Agent建模的目標(biāo)是分別而獨(dú)立地模擬主體，將其放入復(fù)雜系統(tǒng)中并研究主體間的互動(dòng)關(guān)系。這樣做可以讓復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)效果自然的體現(xiàn)出來，而不是硬性地編碼出來。這里前兩篇文章通過非常不同的角度介紹了基于Agent建模的方法；而第三個(gè)參考資料則是一整個(gè)討論基于Agent建模的篇章系列，同時(shí)也包括了幾篇介紹性的文章。 

86.“Agent-basedmodels,” S. E. Page, in L. Blume and S. Durlauf (editors), “The New PalgraveEncyclopedia of Economics,” (Pal- grave Macmillan, Basingstoke, 2008), 2ndedition. (E)

87.“From factors to actors: Computational sociology and agent- based modeling,” M.W. Macy and R. Willer, Annual Review of So- ciology 28, 143–166 (2002). (E)這本由Miller和Page寫的書也介紹了很多很有用的方法。

88.Adaptive agents, intelligence, and emergent human organization: Capturing complexity through agent-based modeling, B. J. L. Berry, L. D. Kiel, and E.Elliott (editors), volume 99, Suppl. 3 of Proc. Natl. Acad. Sci. USA (2002).(E)

還有幾本書介紹了基于Agent建模在一些具體科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。例如：

89.Individual-based Modeling and Ecology, V. Grimm and S. F. Railsback (PrincetonUniversity Press, Princeton, NJ, 2005). An introduction to agent-based modelingin ecology. (I)

90.Agent-Based Models, N. Gilbert (Sage Publications, London, 2007). A very shortintroduction to social science applications of agent-based models. (I)

還有幾本經(jīng)典的書籍這里也列出來了：

91.“Dynamic models of segregation,” T. Schelling, J. Math. Soc. 1, 143–186 (1971).

Schelling在1971年提出了最早期且最真實(shí)的一個(gè)基于Agent的建模，這個(gè)模型是用于模擬種族隔離的。在當(dāng)時(shí)，Schelling還沒有電腦（或者對(duì)電腦并不感興趣），所以他就用硬幣和網(wǎng)格完成了模擬實(shí)驗(yàn)。Schelling也因此獲得了2005年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，這也是至今唯一一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)給傳統(tǒng)復(fù)雜系統(tǒng)研究的諾貝爾獎(jiǎng)。

92.Growing Artificial Societies: Social Science from the Bot- tom Up, J. M.Epstein and R. L. Axtell (MIT Press, Cambridge, MA, 1996).Epstein和Axtell介紹了一個(gè)十分精妙的涌現(xiàn)模型。這個(gè)模型通過模擬簡(jiǎn)單的主體和他們之間的關(guān)系得到了非常復(fù)雜的行為。想實(shí)驗(yàn)這個(gè)基于Agent的建模，可以從這個(gè)系列開始：這些規(guī)則簡(jiǎn)單易用，且最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以很好的得到可視化效果，這也讓這個(gè)模型變得很容易理解。有一些軟件其實(shí)已經(jīng)包含了部分寫好的模型，可以直接用。

93.“Artificial economic life: A simple model of a stockmarket,” R. G. Palmer, W.B. Arthur, J. H. Holland, B. LeBaron, and P. Tayler, Physica D 75, 264–274(1994).

還有一個(gè)很好的基于Agent的建模是人工股票市場(chǎng)，這個(gè)模型是Palmer在90年代初在SantaFe Institute寫的。在這個(gè)研究中，模型單獨(dú)的模擬了多個(gè)交易者的行為，每個(gè)交易者還擁有完全不同的交易策略以及市場(chǎng)認(rèn)知。他們觀察到，在模型運(yùn)轉(zhuǎn)至平衡態(tài)時(shí)，它顯示出新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的模式，而其它運(yùn)轉(zhuǎn)至混沌態(tài)的模型，行為則更像真實(shí)股票市場(chǎng)的行為。

94.“An approach to the synthesis of life,” T. S. Ray, in C. Langton, C. Taylor, J.D. Farmer, and S. Rasmussen (editors), “Artificial Life II,” volume XI of SantaFe Institute Studies in the Sciences of Com- plexity, pp. 371–408(Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1991).一個(gè)更具創(chuàng)新性以及影響力的基于Agent的建模是Ray做的Tierra進(jìn)化模型。在這個(gè)模型中，計(jì)算機(jī)程序?qū)⒆约簭?fù)制到新的內(nèi)存當(dāng)中，然后它們?cè)偻ㄟ^變異和競(jìng)爭(zhēng)來取得最多的電腦系統(tǒng)資源（CPU時(shí)間以及內(nèi)存）。雖然這個(gè)模型有點(diǎn)像之前幾章介紹的遺傳算法，但是Tierra還是有別與它，因?yàn)檫@里的Tierra沒有人工設(shè)計(jì)的適應(yīng)度函數(shù)。相反，這些程序會(huì)想辦法繁殖并存活下來，其他的程序則只能消亡，也就是說，這里的適應(yīng)度函數(shù)就像是生物進(jìn)化一樣，是自然涌現(xiàn)出來的。Tierra是第一個(gè)這樣的模型，近些年又出現(xiàn)了Avida系統(tǒng)。像這樣的系統(tǒng)大家統(tǒng)稱為“人工生命”模型?！叭斯ど背蔀榱?0年代復(fù)雜系統(tǒng)研究的主流。

最后介紹一下各種基于Agent建模的軟件，有些是已經(jīng)寫好的高級(jí)編程庫，這些非常適合前沿研究，例如Repast和Mason就比較常用。而其他一些則非常適合教學(xué)使用且不需要太多背景知識(shí)，NetLogo是一個(gè)很好的起點(diǎn)。

五、總結(jié)

復(fù)雜系統(tǒng)是一個(gè)廣泛的領(lǐng)域，包含了許多不同的方法并且擁有同樣寬廣的應(yīng)用范圍。這里所回顧的文獻(xiàn)僅僅涵蓋了這個(gè)豐富且頗具活力的研究領(lǐng)域中的一小部分。當(dāng)感興趣的讀者讀完這篇文章時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)仍然有需要進(jìn)一步追尋的大量研究資料，而對(duì)于那些被現(xiàn)存問題所激發(fā)的科學(xué)家們而言，則有足夠的機(jī)會(huì)做出貢獻(xiàn)?？茖W(xué)才剛剛開始探索復(fù)雜系統(tǒng)研究領(lǐng)域的問題，我們的未知遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出已知。對(duì)于科學(xué)家而言，復(fù)雜系統(tǒng)為持續(xù)探尋深?yuàn)W而重要的科學(xué)領(lǐng)域提供了廣闊而豐富的可能性。

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