1.雞兔同籠。今有雞兔同籠，上有35個(gè)頭，下有94只腳。雞兔各幾只？

想：假設(shè)把35只全看作雞，每只雞2只腳，共有70只腳。比已知的總腳數(shù)94只少了24只，少的原因是把每只兔的腳少算了2只?？纯?4只里面少算了多少個(gè)2只，便可求出兔的只數(shù)，進(jìn)而求出雞的只數(shù)。

   解決這樣的問(wèn)題，我國(guó)古代有人想出更特殊的假設(shè)方法。假設(shè)一聲令下，籠子里的雞都表演“金雞獨(dú)立”，兔子都表演“雙腿拱月”。那么雞和兔著地的腳數(shù)就是總腳數(shù)的一半，而頭數(shù)仍是35。這時(shí)雞著地的腳數(shù)與頭數(shù)相等，每只兔著地的腳數(shù)比頭數(shù)多1，那么雞兔著地的腳數(shù)與總頭數(shù)的差等于兔的頭數(shù)。我國(guó)古代名著《孫子算經(jīng)》對(duì)這種解法就有記載：“上署頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得?！本唧w解法：兔的只數(shù)是94÷2-35=12（只），雞的只數(shù)是35-12= 23（只）。

2.物不知數(shù)。

今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何。

   這是我國(guó)古代名著《孫子算經(jīng)》中的一道題。意思是：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小自然數(shù)。

想：此題可用枚舉法進(jìn)行推算。先順序排出適合其中兩個(gè)條件的數(shù)，再在其中選擇適合另一個(gè)條件的數(shù)。

3.三階幻方。把1—9這九個(gè)自然數(shù)填在九空格里，使橫、豎和對(duì)角在線三個(gè)數(shù)的和都等于15。

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對(duì)數(shù)的和再加上5都等于15，可確定中心格應(yīng)填5，這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫、豎和對(duì)角線的位置上。先填四個(gè)角，若填兩對(duì)奇數(shù)，那么因三個(gè)奇數(shù)的和才可能得奇數(shù)，四邊上的格里已不可再填奇數(shù)，不行。若四個(gè)角分別填一對(duì)偶數(shù)，一對(duì)奇數(shù)，也行不通。因此，判定四個(gè)角上必須填兩對(duì)偶數(shù)。對(duì)角在線的數(shù)填好后，其余格里再填奇數(shù)就很容易了。

6.三女歸家。今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸。問(wèn)三女何日相會(huì)？這道題也是我國(guó)古代名著《孫子算經(jīng)》中為計(jì)算最小公倍數(shù)而設(shè)計(jì)的題目。意思是：一家有三個(gè)女兒都已出嫁。大女兒五天回一次娘家，二女兒四天回一次娘家，小女兒三天回一次娘家。三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相會(huì)？
想：從剛相會(huì)到最近的再一次相會(huì)的天數(shù)，是三個(gè)女兒間隔回家天數(shù)的最小公倍數(shù)。

7.有女善織。有一位善于織布的婦女，每天織的布都比上一天翻一番。五天共織了5丈（50尺）布，她每天各織布多少尺？
想：若把第一天織的布看作1份，可知她第二、三、四、五織的布分別是2、4、8、16份。根據(jù)織布的總尺數(shù)和總份數(shù)，能先求出第一天織的尺數(shù)，再求出以后幾天織布的尺數(shù)。

8.蝸牛爬井問(wèn)題。德國(guó)數(shù)學(xué)家里斯曾出過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：井深20尺，蝸牛在井底，白天爬7尺，夜里降2尺，幾天可以到達(dá)井頂？
想：解這道題的關(guān)鍵是把最后一天爬行的情況與前面幾天爬行的情況區(qū)別考慮。

9.巧分銀子。10個(gè)兄弟分100兩銀子，從小到大，每?jī)扇讼嗖畹臄?shù)量都一樣。又知第八個(gè)兄弟分到6兩銀子，每?jī)蓚€(gè)人相差的銀子是多少？
想：因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)人相差的數(shù)量相等，第一與第十、第二與第九、第三與第八，……每?jī)蓚€(gè)兄弟分到銀子的數(shù)量和都是20兩，這樣可求出第三個(gè)兄弟分到銀子的數(shù)量。又可推想出，從第三個(gè)兄弟到第八個(gè)兄弟包含5個(gè)兩人的差。由此便可求出兩人相差的銀子是多少。

10.泊松問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松少年時(shí)被一道數(shù)學(xué)題深深地吸引住了，從此便迷上了數(shù)學(xué)。這道題是：某人有8公升酒，想把一半贈(zèng)給別人，但沒(méi)有4公升的容器，只有一個(gè)3公升和一個(gè)5公升的容器。利用這兩個(gè)容器，怎樣才能用最少的次數(shù)把8公升酒分成相等的兩份？
想：利用兩次小容器盛酒比大容器多1公升，和本身盛3公升的關(guān)系，可以湊出4公升的酒。

11.牛頓問(wèn)題。英國(guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？
想：這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把25頭牛分成兩部分來(lái)研究，用5頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。

14，國(guó)王賞麥

 印度傳說(shuō)：舍罕王打算獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明人—本國(guó)宰相，宰相就對(duì)國(guó)王說(shuō)：“陛下，請(qǐng)您在這張棋盤的第一個(gè)小格里賞給我一粒麥子，第二個(gè)小格里兩粒麥子，第三個(gè)格里四粒麥子，以后每小格賞給的比前一格多一倍，六十四格放滿了，也就是我要的獎(jiǎng)賞了”。國(guó)王以為很簡(jiǎn)單，可結(jié)果發(fā)現(xiàn)把全印度，甚至全世界的麥子拿來(lái)也供應(yīng)不了宰相的要求。

     20+21+22+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）

15奇怪的遺囑

 相傳一位老人臨終立下遺囑，規(guī)定3個(gè)兒子可分掉他17頭牛，但規(guī)定老大得總數(shù)的1/2，老二得總數(shù)的1/3，老三得總數(shù)的1/9，大家想半天仍未解決。

一天有個(gè)老農(nóng)牽頭牛經(jīng)過(guò)，聽(tīng)說(shuō)后，想了一會(huì)，說(shuō)道：“我把這頭牛借給你們，分完后再把這頭牛還給我就行了”。

結(jié)果，老大分到9頭牛，老二分到6頭牛，老三分到2頭牛，還剩一頭牛正好歸還。

16，民間有這樣一道題：三十六塊磚，三十六人搬，男搬四，女搬三，兩個(gè)小孩抬一塊磚。問(wèn)男人、女人、小孩各有幾人？

17百羊問(wèn)題”

一牧羊人趕羊，又一過(guò)路人牽一肥羊從后面跟了上來(lái)，問(wèn)道：“你趕來(lái)的這群羊大概有一百只吧”！牧羊人答：“如果這群羊加上一倍，再加上原來(lái)這群羊的一半，又加上原來(lái)這群羊的四分之一，連你牽的這只肥羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿一百只”。問(wèn)這群羊共幾只？

X+X+1/2X+1/4X+1=100

X=36

18勾股定理

 勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘、并，而開(kāi)方除之，即弦”。

即c=√a2+b2，又有a = √c2-b2、b=√c2-a2

19,余米推數(shù)”

 “問(wèn)：有米鋪訴被盜，去米一般三籮，皆適滿，不記細(xì)數(shù)。今左壁籮剩一合，中間籮剩一升四合，右壁籮剩一合。后獲賊，系甲、乙、丙三人，甲稱當(dāng)夜摸得馬勺，在左壁籮滿舀入布袋；乙稱踢得木履，在中籮舀入袋；丙稱摸得漆碗，在右壁籮舀入袋，將歸食用，日久不知數(shù)。索到三器，馬勺滿容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米數(shù)，計(jì)贓結(jié)斷，三盜各幾何？”

 列不定方程：

     2X+Y=M

     3Y+Z=M

4Z+W=M

5W+U=M

6U+X=M

20韓 信 點(diǎn) 兵

我國(guó)漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊(duì)，都要求部下報(bào)三次數(shù)，第一次按1～3報(bào)數(shù)，第二次按1～5報(bào)數(shù)，第三次按1～7報(bào)數(shù)，每次報(bào)數(shù)后都要求最后一個(gè)人報(bào)告他報(bào)的數(shù)是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為“鬼谷算”、“隔墻算”、“秦王暗點(diǎn)兵”等。

這種問(wèn)題在《孫子算經(jīng)》中也有記載：“今有物不知其數(shù)：三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問(wèn)物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個(gè)3個(gè)的數(shù)，最后剩2個(gè)；如果5個(gè)5個(gè)的數(shù)，最后剩3個(gè)；如果7個(gè)7個(gè)的數(shù)，最后剩2個(gè)；求這些物品一共有多少？這個(gè)問(wèn)題人們通常把它叫作“孫子問(wèn)題”， 西方數(shù)學(xué)家把它稱為“中國(guó)剩余定理”。到現(xiàn)在，這個(gè)問(wèn)題已成為世界數(shù)學(xué)史上聞名的問(wèn)題。

到了明代，數(shù)學(xué)家程大位把這個(gè)問(wèn)題的算法編成了四句歌訣：

三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝；七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。

用現(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)就是：一個(gè)數(shù)用3除，除得的余數(shù)乘70；用5除，除得的余數(shù)乘21；用7除，除得的余數(shù)乘15。最后把這些乘積加起來(lái)再減去105的倍數(shù)，就知道這個(gè)數(shù)是多少。

《孫子算經(jīng)》中這個(gè)問(wèn)題的算法是：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105－105＝23

所以這些物品最少有23個(gè)。

根據(jù)上面的算法，韓信點(diǎn)兵時(shí)，必須先知道部隊(duì)的大約人數(shù)，否則他也是無(wú)法準(zhǔn)確算出人數(shù)的。你知道這是怎么回事嗎？

這是因?yàn)?，?、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70。

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15；

所以，這三個(gè)數(shù)的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；

 被5、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70。 

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數(shù)是 15×2＝30；

被3、7整除，而被5除余3的最小正整數(shù)是 21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整數(shù)是 70×2＝140。

于是和數(shù)15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。但所得結(jié)果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質(zhì)的最小正整數(shù)，故從它中減去3、5、7的最小公倍數(shù)105的若干倍，直至差小于105為止，即 233－1o5－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數(shù)。

我國(guó)古算書(shū)中給出的上述四句歌訣，實(shí)際上是特殊情況下給出了一次同余式組解的定理。在1247年，秦九韶著《數(shù)書(shū)九章》，首創(chuàng)“大衍求一術(shù)”，給出了一次同余式組的一般求解方法。在歐洲，直到18世紀(jì)，歐拉、拉格朗日（lagrange，1736～1813，法國(guó)數(shù)學(xué)家）等，都曾對(duì)一次同余式問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究；德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，在1801年出版的《算術(shù)探究》中，才明確地寫(xiě)出了一次同余式組的求解定理。當(dāng)《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問(wèn)題解法于1852年經(jīng)英國(guó)傳教士偉烈亞力（wylie alexander，1815～1887）傳到歐洲后，1874年德國(guó)人馬提生（matthiessen，1830～1906）指出孫子的解法符合高斯的求解定理。從而在西方數(shù)學(xué)著作中就將一次同余式組的求解定理稱譽(yù)為“中國(guó)剩余定理”。