導(dǎo)語(yǔ)

期末考試結(jié)束之后，各位初二學(xué)生也將迎來(lái)初三生活，大家要提前準(zhǔn)備起來(lái)哦~今天的【數(shù)隨我行】系列周淑蘭老師為大家準(zhǔn)備了新初三必備的數(shù)學(xué)能力——由直角引發(fā)的聯(lián)想，一起學(xué)起來(lái)吧！

題目呈現(xiàn)

“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無(wú)處不在。如圖1已知∠AOB。請(qǐng)仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）。

圖1

小麗的方法：

圖2

如圖2，在OA，OB上分別取點(diǎn)C，D，以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。若OE=OD，則∠AOB=90°。

題目解讀

本題是判斷一個(gè)角是直角的尺規(guī)作圖題，題目簡(jiǎn)潔，便于學(xué)生審題。題中小麗的做法是基于等腰直角三角形的“三線合一“的性質(zhì)。利用尺規(guī)構(gòu)造等腰直角三角形并進(jìn)行說(shuō)明。

題目要求按照小麗的方式，再用兩種不同的方式判斷已知角為直角。即在數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)深入思考的基礎(chǔ)上運(yùn)用尺規(guī)作圖構(gòu)造圖形并進(jìn)行說(shuō)明。要求學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法構(gòu)造圖形，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述構(gòu)圖過(guò)程，說(shuō)明∠AOB為直角。

本題既考查了尺規(guī)作圖的基本要求，又考察了學(xué)生的推理論證能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的能力，題目創(chuàng)新，新穎靈活，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單。

題目解析

只要能產(chǎn)生直角的都可以用尺規(guī)作圖。例如等腰直角三角形三線合一、直角三角形一個(gè)角是直角、矩形的內(nèi)角是直角、正方形的內(nèi)角是直角、菱形的對(duì)角線互相垂直、箏形的對(duì)角線互相垂直、圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角、圓的垂徑定理等。下面一起來(lái)看看吧↓↓↓

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類型一：構(gòu)造直角三角形

圖3

如圖3所示，分別在OB，OA上截取OD=3，OC=4，連接CD，若CD=5，則可根據(jù)勾股定理逆定理判定∠AOB=90°。

圖4

如圖4所示，分別在OB，OA上取點(diǎn)D，C，連接CD。分別以C、D為圓心，大于CD為半徑畫弧來(lái)構(gòu)造CD的垂直平分線得到CD的中點(diǎn)E，連接OE。若OE=DE=CE則∠AOB=90°。

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類型二：構(gòu)造矩形

以上兩種方法都是通過(guò)構(gòu)造矩形，利用矩形對(duì)角線相等來(lái)判定直角。

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類型三：構(gòu)造菱形或者箏形

圖5

如圖5，以O(shè)為圓心任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交直線OA，和直線OB于CDEF四個(gè)點(diǎn)。若OC=OD=OE=OF，則四邊形CDEF為菱形。這樣就可以判斷∠AOB=90°。

圖6

如圖6，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線OB于D，E兩點(diǎn)。在直線OA上任意取兩點(diǎn)C，F(xiàn),連接CE、CD、FD、FE。若FE=FD，CE=CD,則∠AOB=90°。

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類型四：構(gòu)造圓

圖7

圖7是根據(jù)垂直平分線判定定理構(gòu)造CD的中點(diǎn)，再以CD為直徑構(gòu)造圓，若圓經(jīng)過(guò)O，則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，可以判斷出∠AOB=90°。

圖8

如圖8，在OA上任意取一點(diǎn)C，以C為圓心大于CO為半徑做圓，與直線OB交于D，E兩點(diǎn)。若OE=OD，則，∠AOB=90°。

圖9

如圖9，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑構(gòu)造圓。若DF=PF，則∠AOB=90°。根據(jù)同圓或者等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等。

圖10

如圖10，在OB上任意取一點(diǎn)T，以T為圓心，OT長(zhǎng)為半徑畫圓。在圓上取一于O的點(diǎn)，連接這點(diǎn)和T，再做這條線段的垂線，交AO于S。若SO=SU，則∠AOB=90°。利用切線長(zhǎng)定理。

結(jié)語(yǔ)

本題還有很多做法，同學(xué)們可以仔細(xì)想想還有什么與直角有關(guān)，大膽嘗試新做法。歡迎大家加微信咨詢問(wèn)題。

溫馨提示：