誠(chéng)請(qǐng)數(shù)學(xué)教師、教研員和熱愛數(shù)學(xué)的朋友不吝賜稿

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作者介紹：金曉江，男，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：初等數(shù)學(xué)，紹興魯迅中學(xué)任教，柯橋區(qū)百名優(yōu)秀青年教師，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》《數(shù)學(xué)通訊》等期刊發(fā)表多篇論文。

高中數(shù)學(xué)最大的魅力在于其抽象性，而數(shù)學(xué)符號(hào)語言更是其抽象性的重要體現(xiàn)，故數(shù)學(xué)符號(hào)語言的重要性不言而喻。縱觀近幾年高考，max{ a，b} 與 min{ a，b} 這一數(shù)學(xué)符號(hào)頻繁出現(xiàn)，但學(xué)生的得分率屢創(chuàng)新低，一些學(xué)生甚至無從下手，本文就 max{ f( x) ，g( x) } 與 min{ f( x) ，g( x) } 型函數(shù)進(jìn)行分類解析，并給出一般求解策。

關(guān)鍵字：分類討論；數(shù)形結(jié)合；絕對(duì)值不等式

所謂 max{ f( x) ，g( x) } 與 min{ f( x) ，g( x) } 型函數(shù)，是指在定義域內(nèi)的不同部分，取兩個(gè)或者兩個(gè)以上函數(shù)值最大的函數(shù)式或者函數(shù)值最小的函數(shù)式。符號(hào)記作 max{ f( x) ，g( x) } 與 { f( x) ，g( x) } 。

常見解決max{ f( x)，g( x) }，min{ f( x)，g( x) } 型函數(shù)的方法有分類討論，數(shù)形結(jié)合以及利用文中重要性質(zhì)結(jié)合不等式知識(shí)進(jìn)行放縮。

如下分別介紹六種載體所對(duì)應(yīng)題型的常見處理方法。

方法總結(jié)：解決max{ f( x) ，g( x) } ，min{ f( x) ，g( x) } 的問題分兩步走：第一步，畫圖象；第二步，求交點(diǎn)坐標(biāo)．

解析：本題雖然沒有以 min{ x，y} ，max{ x，y}的形式呈現(xiàn)問題，但是可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù) max{ x，y}的最值，從而順利找到問題的突破口。

解法1：由于此題中帶有二元參數(shù)，考慮到 b 又是無拘束的自由變量，故在利用函數(shù)圖象處理時(shí)，可把 b 看成主元，暫把 a 看成參數(shù)，畫出整個(gè)帶參函數(shù)，如圖 5 加粗部分。

方法總結(jié)：處 理 max{ f( x) ，g( x) } 與 min{ f( x) ，g( x) } 型函數(shù)圖象時(shí)，碰到一元或者多元參數(shù)函數(shù)時(shí)，要正確識(shí)別主元和含參字母的作用，牢記“降維”的思想。

方法總結(jié)：利用max{ f( x) ，g( x) } 與min{ f( x) ，g( x) } 的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為不等式問題，進(jìn)一步進(jìn)行放縮求解，亦是一種較好的處理方式。

方法總結(jié)：利用max{ f( x) ，g( x) } 與min{ f( x) ，g( x) } 的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式一步到位求解，亦是一種較好的處理方式。

方法總結(jié)：解決max{ f( x) ，g( x) }與min{ f( x) ，g( x) } 型問題可以采用分類討論，求出每一部分的范圍，最后取并集即可。

方法總結(jié)：此題以 min{ f( x) ，g( x) } 型函數(shù)為背景，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，加上線性規(guī)劃區(qū)域的知識(shí)，巧妙求解。

方法總結(jié)：此題以Cn=（an bn）/2 |an - bn|/2為基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)列，實(shí)質(zhì)還是取大函數(shù)，但由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，這種特殊性體現(xiàn)在其離散型，故處理過程中又增添了其復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性。解法1準(zhǔn)確把握兩數(shù)列的圖象，抓住核心，一招制勝。而解法2巧妙避開了取大函數(shù)的背景，在{ cn } 數(shù)列上直接處理，開門見山，最終轉(zhuǎn)化為求解絕對(duì)值不等式問題。

max{ f( x) ，g( x) } 與 min{ f( x) ，g( x) } 型函數(shù)問題，是近來各地模擬和高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一，而且這類問題也常常作為壓軸題型出現(xiàn)。 所以要成功解決這類問題，除了對(duì)其知識(shí)載體的關(guān)注外，更要準(zhǔn)確掌握此類題型的求解對(duì)策，如數(shù)形結(jié)合，往往能起到事半功倍的效果，當(dāng)然有時(shí)也要注意簡(jiǎn)單的含參分類討論，還可以考慮不等式直接放縮，甚至考慮繞道而行進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理等等，只有提高思維的靈活性，方能在解題時(shí)寵辱不驚。