為什么要這樣呢？因為我希望大家能看到，并記住，每一個函數(shù)的使用，背后為我們?nèi)祟悗砹硕嗌俚姆奖悖鉀Q了多少讓人興奮的事情。這里面，太有趣了。

并且，我希望大家可以通過了解了幾種函數(shù)的背后的真相之后，用非常簡單的方法，就把函數(shù)的各種應用都能串聯(lián)起來，并在解題的時候得心應手！

在我們上一篇對數(shù)的科普之后，相信我們對于這個復雜難認的對數(shù)函數(shù)式，已經(jīng)有了很切實的認識。

而本篇文章，我們要與大家分享的，是對數(shù)的運算。

要做好對數(shù)的運算，只要一個招式。

而在講這個招式，我們需要用到上一篇的口訣：

在對數(shù)運算中，有兩個最為基礎的運算公式：

如果我們用上面的口訣來去理解這兩條公式，設logaM=m，logaN=n。

則a^m等于M；aⁿ等于N。a^m*aⁿ=M*N=a^m+n。

也就是說，a的(m+n)次方等于M*N。

用對數(shù)的表示方法，就可以得到：

同樣地，a^m/aⁿ=M/N=a^m-n

即有：

用同樣的方法（最重要就是我們前面說的那個口訣），我們一點點理清對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的互逆關系（也叫反函數(shù)關系），也就是把兩個變量之間的對應關系理清楚，就能把對數(shù)運算，全部都弄清楚。

從兩個變量的對應關系，我們正式推開，對【函數(shù)】的認識。

不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)，我們在學函數(shù)的時候，有三個基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，還有三角函數(shù)等，但是有一組長得很像函數(shù)的式子，我們卻不叫函數(shù)——圓錐曲線。

圓錐曲線，被單獨歸成一類，最為重要的原因，是它們并不符合函數(shù)的基礎定義：

對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。

這一個定義，是我們現(xiàn)代所使用的函數(shù)的定義。

偉大的數(shù)學家們，在研究物理運動的時候，發(fā)現(xiàn)了兩個數(shù)之間的依附關系，比如當行走的速度一定的時候，行走的路程與行走的時間有著依附關系，換句話來說就是：按一定的速度，走的時間超長，路程也就越長。

這看似一個常識性的問題，但是要用數(shù)學語言表達出來，在最早的時候并不是那樣簡單的一件事情。

這也是函數(shù)誕生的雛形。

而從這里開始，經(jīng)歷了：伽俐略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲等等這樣一批如雷貫耳的偉大名字，歷時一百多年，才由柏努力、歐拉等數(shù)學家，在前人的研究基礎之上，把函數(shù)的定義書寫了明白。

繼而在柯西（就是柯西不等式發(fā)明者）、傅里葉的改良，最后由狄利克雷作出了我們剛才所引用的定義。

從那個時候開始，時至今天，函數(shù)的定義依然在被改寫與優(yōu)化中。

而我們剛才說到，圓錐曲線并未被納入到函數(shù)的范疇中，是因為，我們所定義的函數(shù)是，對于定義域內(nèi)任何一個X的取值，有且只有一個Y值與之對應。

而在圓錐曲線中，X取一個值的時候，往往會有兩個Y值可以與它對應，這就超出了函數(shù)的定義。

但現(xiàn)在問題是：為什么這些偉大的數(shù)學家們，要如此絕決地要求，對于一個X值，只能有一個Y值與之對應呢？

這就延伸到了我們的數(shù)學家們，在做各種研究的時候（有時候是物理研究、有時候是化學、或是生物或天文學等），并非每次都從【因】推至【果】。

打一個比方，愛迪生發(fā)現(xiàn)鎢絲用作電燈，是經(jīng)歷了大量反復的實驗才得到的一個結(jié)果，在獲得了【鎢絲作為電燈燈芯可以持久耐用】的這一個結(jié)果之后，才推論出來鎢絲的性質(zhì)。

類似的研究舉不勝舉，往往科研的結(jié)果不是從因推到果，而是通過嘗試獲得結(jié)果之后，再推論到因。

再拿我們前面說的，時間與路程的問題來說，雖然我們會知道S=Vt，其中 t 可以被看成是自變量，S可以看成是因變量，但是在實際的過程中，我們并不是每次都先知道 t，才知道S。有很多時候，我們是通過我們行走了多少的路程，來反推我們使用了多少的時間。如果對于一個自變量，如 t ，會有兩個甚至多個S的取值可以與之對應的話，那么我們在多研究中就會容易限入困境，如我們知道了 t ，也還是不能確定S的取值。

所以數(shù)學家們，把可以一個自變量對應唯一一個因變量的關系，稱為函數(shù)關系。

從此，當我們說到函數(shù)的時候，我們就會知道，如果我們對自變量X取一個值，那么我們的因變量Y，就一定要被確定了；同時，當我們獲得了一個因變量Y的值，那么自變量X的可能值也同時被確定了。

我們把這種關系稱為函數(shù)關系，當我們說一對變量是函數(shù)關系的時候，說的正是這種關系。

那如果我們現(xiàn)在碰到的一對變量的關系不符合這個規(guī)律的話該怎么辦？

那就另起爐灶，為他們命名過另外的名字，比如圓錐曲線。

而我們從高中開始，數(shù)學學習中，就是要把這樣的函數(shù)思維，也就是它們的對應思維清晰掌握。

【函數(shù)思維】在很多的解釋當中，指的是：用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。

但今天，我希望同學們可以從另外的一個角度，更符合數(shù)學發(fā)展歷程、科學研究狀態(tài)的角度來去理解【函數(shù)思維】——因果關系。

在一對相互依附的變量中，一個變量的變化，決定了另外一個變量的變化。

有因，即有果；有果也必有因。

明確由因?qū)С龉倪^程，就是我們建立函數(shù)的過程。