1 正相關(guān)與負相關(guān)

1.1 相關(guān)性

事物之間可能會有關(guān)系，這可以通過數(shù)據(jù)看出。比如要買房的人越多（下圖的城鎮(zhèn)化率可以簡單理解為進城買房的人數(shù)），房價就越高，兩者的關(guān)系稱為 正相關(guān) ：

城鎮(zhèn)化有另外一個反作用，降低出生率。城鎮(zhèn)化和出生率之間的關(guān)系就是負相關(guān) ，也就是說城鎮(zhèn)化率越高、出生率會越低，所以說，“城鎮(zhèn)化是最好的避孕藥”：

1.2 股票組合

在現(xiàn)實生活中了解相關(guān)性是很有用處的，比如下面有三支股票，年度收益都是 10% ：

可以看到藍色、綠色這兩只股票走勢基本一致，也就是這兩者正相關(guān)；而藍色、紅色走勢相反，藍色上漲的時候紅色下跌，也就是這兩者負相關(guān)?；鸾?jīng)理會傾向于把負相關(guān)的兩支股票做成一個組合，這樣收益率也還是 10% ，但是整個組合波動會很小，整體看上去平穩(wěn)上升。

這種相關(guān)性可以通過下面要介紹的 協(xié)方差 和 相關(guān)系數(shù) 來表示和計算。

2.1 顏色

假設(shè)有兩個隨機變量，身高  和體重  ，很顯然這兩者應(yīng)該是正相關(guān)

，也就是說身高增加體重也會隨著增加。

但是怎么通過數(shù)學(xué)來表達呢？我們來看一個例子，下面是某班同學(xué)的身高體重：

這兩個隨機變量可以構(gòu)成二維平面上的點  ，可以把它們畫在直角坐標(biāo)系上。我們先畫出表中的前兩個點：

很顯然，相對于第一個點（152，45）而言，第二個點（160，54）橫坐標(biāo)增加了，同時縱坐標(biāo)也增加了；也就是說第二個點代表的同學(xué)，身高增加了的同時體重也增加了，這兩個點是正相關(guān)的，我們在兩者之間畫一個紅色的矩形表示這兩者是正相關(guān)的關(guān)系：

現(xiàn)在加入第三個點（172，44），這位同學(xué)可能比較瘦高，他和第一、第二位同學(xué)負相關(guān)，用藍色的矩形來表示：

接著增加第四個點（175，64），它和前面三個點都是正相關(guān)；最后增加第五個點（180，80），它和去前面四個點全是正相關(guān)。所以這些矩形全是紅色的：

畫完之后整體看上去是紅色的，這說明  、  這兩個隨機變量整體上是正相關(guān)的關(guān)系，雖然其中間雜著兩個藍色的矩形。

2.2 面積

從圖形上可以看出紅色有優(yōu)勢，說明是正相關(guān)。下面來看看如何通過代數(shù)計算出這個結(jié)果。從第一個紅色矩形開始：

可以算出這個紅色矩形的面積為正：

而某個藍色矩形：

它的“面積”為負：

所以把所有的矩形的“面積”加起來，如果為正那么說明就是紅色矩形占優(yōu)勢，也就是正相關(guān)；反之則是負相關(guān)；為0的話說明哪個都不占優(yōu)勢，則是不相關(guān)。就這里的具體問題而言，很顯然紅色更占優(yōu)勢，所以算出來為正（總共有  個矩形），是正相關(guān)。

2.3 一般化

如果有  個點的話，可以用：

來表示組成矩形的兩個頂點，那么所有矩形的面積的和就可以表示為：

那么：

可以看出要計算面積還是挺麻煩的，數(shù)學(xué)家給出了一個簡化的方案。

3.1 簡化

按照剛才的計算方法，比如說某一個點  ，需要和所有的  配對，然后計算出得到的矩形的面積和。數(shù)學(xué)家就想用  的均值也就是期望  來代替所有的  ，以及用  的均值也就是期望  來代替所有的  ：

這樣之前的面積計算公式就從：

變?yōu)榱耍?/span>

如此，計算就被大大簡化了。下面用這種方法重新算下剛才的例子。

3.2 具體的例子

首先以  為原點，構(gòu)建一個直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系，它會把平面分為4個象限：

容易知道，一、三象限的點和  正相關(guān)，而二、四象限的點和  負相關(guān)。所以在一、三象限中各選一個點，它們和  構(gòu)成的矩形是紅色的：

在第四個象限中有一個點，它和   構(gòu)成的矩形是藍色的：

把所有矩形都畫出來的話（總共只有5個矩形，按照上節(jié)給出的算法總共需要畫10個矩形，可見現(xiàn)有算法確實大大簡化了，點越多簡化的效果越好），可以看到還是紅色占優(yōu)，因此總體來看  、  依然是正相關(guān)的：

3.3 協(xié)方差

還要考慮一點，每個點的概率是不一樣的，因此各個矩形的面積并非是平等的，或者說權(quán)重是不一樣的，所以需要對面積和進行加權(quán)平均，也就是對面積和計算數(shù)學(xué)期望，這就得到了：

設(shè)  是一個二維隨機變量，若  存在，則稱此數(shù)學(xué)期望為  與  的 協(xié)方差（Covariant），記作：

特別地有  。

很顯然會有：

• 時，   、 正相關(guān)，即兩者有同時增加或者減少的傾向

•  時，   、  負相關(guān)，即兩者有反向增加或者減少的傾向 

•   時，  、  不相關(guān)

之前求出來的協(xié)方差是有單位的，比如身高  （單位：厘米）與體重   、  （單位：公斤）的協(xié)方差  的單位是：厘米 · 公斤。

假如又有一個隨機變量，同學(xué)的年齡  （單位：歲），它和體重的協(xié)方差  的單位為：歲 · 公斤。那么到底體重與身高更正相關(guān)，還是體重與歲數(shù)更正相關(guān)？，因為單位的原因?qū)е挛覀儧]有辦法進行比較，所以：

對于二維隨機變量  ，各自的方差為：

則：

稱為隨機變量  和  的 相關(guān)系數(shù) 。

之前介紹過標(biāo)準差是有單位的，比如剛才舉的例子身高  （單位：厘米）、體重  （單位：公斤）以及年齡  （單位：歲），相除之后：

單位就約掉了，變成沒有單位的數(shù)了，就可以進行比較了。比如剛才提到的身高  ，體重  以及年齡  ，假如說根據(jù)數(shù)據(jù)算出來：

馬上可以知道相對于年齡，身高與體重之間的正相關(guān)關(guān)系更強烈。

“正相關(guān)”或者“負相關(guān)”實際指的是  和  之間線性相關(guān)（此處證明省略了，對推導(dǎo)感興趣的可以參加我們的課程《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》）：

  和  除了“線性相關(guān)”之外，其實還可能是別的關(guān)系（下圖標(biāo)出了相關(guān)系數(shù)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)不為0時，也就是說“正相關(guān)”或“負相關(guān)”時，在圖中都或多或少地呈現(xiàn)線性關(guān)系；當(dāng)不具備線性關(guān)系時，比如說W形、圓圈形等，相關(guān)系數(shù)為0）：