在絕大多數(shù)情況下，生活中最重要的問題實際上只是一個概率問題。

-皮埃爾·西蒙·拉普拉斯

首先，講一個真實的故事。

我的幾個朋友生了第二個孩子。隨著妻子年齡的增長，醫(yī)生警告說你的孩子可能患有唐氏綜合癥。

朋友們很緊張，所以我該怎么辦？

醫(yī)生說羊膜穿刺術(shù)可以用來確認這是不是真的。

朋友們都很開心。

然而，醫(yī)生補充說羊膜穿刺術(shù)也可能失敗，你的孩子將會離開。

現(xiàn)在我的朋友們糾結(jié)在一起，一個是唐氏綜合癥，另一個是失去孩子。我怎樣才能做出決定？

醫(yī)生后來說，老年產(chǎn)婦患唐氏綜合征的概率約為2%，羊膜穿刺試驗失敗的概率約為1%。這很簡單，我們絕對不會這么做。

因此，我們發(fā)現(xiàn)一旦我們知道了某件事發(fā)生的確切概率，我們的決定就立刻變得簡單了。

但問題是，我們?nèi)绾沃肋@些概率？

許多人認為所謂的概率是經(jīng)過計算的。硬幣正面有50%，背面有50%。一個袋子里有100個球，30個黑色球和70個紅色球。挑出一個紅色球的概率是70%。

假設(shè)一個黑盒，你預(yù)先知道多少個黑球和紅球？事實上，在現(xiàn)實世界中，我們面臨的大多數(shù)情況都無法計算。它們都是黑匣子，需要根據(jù)概率來判斷。

頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派

傳統(tǒng)方法被稱為頻率派。許多人不熟悉頻率和概率的區(qū)別。

簡而言之，概率指的是未來某件事發(fā)生的可能性，而頻率指的是某件事被觀察或測試的次數(shù)與總次數(shù)之比。

概率是事物本身的固有屬性和固定值，頻率是變化的。樣本越大，頻率越接近概率。

根據(jù)大數(shù)定律，當樣本無限時，頻率等于概率。

你扔硬幣10次，不一定是正面5次，背面5次，但你扔了10，000次，基本上是正面50%，背面50%。例如，在黑盒中，你不斷地從里面隨機取出球，并計算黑球和紅球的比例。當次數(shù)“足夠”時，你得到的頻率接近真實概率。

這種方法已經(jīng)使用了數(shù)百年，并且仍然被廣泛使用。例如，某些疾病的發(fā)病率、飛機和火車的事故概率等。都是基于大樣本統(tǒng)計來近似真實概率的。

然而，如果我們深入思考，我們會發(fā)現(xiàn)這種方法有兩個局限性:

首先，只有當你積累了一定數(shù)量的樣本，你才能對概率有一個初步的判斷。你只扔5次球，只拿10個球?；谛颖镜母怕屎芸赡苁清e誤的。

第二，如果黑盒足夠黑，你甚至不知道里面有多少個球，甚至不知道里面的球總數(shù)在變化，那么你就不能說什么是“足夠”。

在現(xiàn)實世界中，我們遇到了大量的問題，卻找不到這么多現(xiàn)成的數(shù)據(jù)。有許多新事物，根本沒有先例，新發(fā)現(xiàn)的疾病，新產(chǎn)品，新的市場策略，如何判斷概率？失明？

也對，也錯。

這需要貝葉斯學(xué)派。

貝葉斯學(xué)派的觀點是概率是一個主觀價值，這完全是我們自己的判斷。我可以先估計初始概率，然后根據(jù)新情況和新信息修改初始概率。隨著信息的增加，我將慢慢接近真實的概率。

這種方法很好地解決了頻率學(xué)派的兩個問題。我不必等到樣本積累到一定程度，我先猜一個，因為我有校正方法，我不在乎它是否“足夠”。不管怎樣，我已經(jīng)上路了。

貝葉斯學(xué)派自誕生以來已經(jīng)有200多年的爭議。甚至聯(lián)合創(chuàng)始人拉普拉斯也放棄了，因為每個人都認為這種摸石頭過河的方法太荒謬和不科學(xué)。

直到最近幾十年，隨著計算機技術(shù)的進步，它才光彩照人。現(xiàn)在人工智能、圖像識別、機器翻譯等都采用貝葉斯方法。

然后我們需要看看貝葉斯方法實際上是如何尋找石頭過河的。

托馬斯·貝葉斯

這部分涉及一些數(shù)學(xué)公式和計算，但只要求小學(xué)算術(shù)水平。

貝葉斯定理如下：

A是你要考察的目標事件，P(A) 是這個目標事件的先驗概率，又叫初始概率，或者基礎(chǔ)概率。

B是新出現(xiàn)的一個新事件。P(A|B) 的意思是當B出現(xiàn)時A的概率，在這里就是我們需要的后驗概率。

P(B|A) 是當A出現(xiàn)時B的概率。

P(B) 是B出現(xiàn)的概率，在這里具體計算稍微復(fù)雜一些，指當A出現(xiàn)時B的概率和當A不出時（用A_來表示）時B的概率的總和，用公式表達就是 P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A_) * P(A_)。P(B|A) / P(B) 可以看作一個修正因子。

上述解釋你可以忽略，簡化的理解為：

后驗概率 = 先驗概率 x 修正因子

舉個例子。

比如你新進入一家公司，你不確定這里MBA學(xué)歷對員工升遷的作用，而這個對你的個人發(fā)展很重要，因為你要決定接下來是不是去讀一個MBA學(xué)位。由于新來，壓根沒有樣本，這時候你可以采用貝葉斯定理。

P(A) 是你根據(jù)過往經(jīng)驗事先估計的，MBA對升遷有多大好處？

比如你先預(yù)估一個30%。這時候，出現(xiàn)了一個新信息B，小王升遷了，而且小王是MBA。

那么，P(B|A) 是說當MBA管用時，小王升遷的概率，比如你現(xiàn)在的判斷是80%。小王可能本身就有能力且業(yè)績突出，就算沒有MBA也可能會升遷啊，所以P(B|A_) = 50%。（發(fā)現(xiàn)了嗎，這個公式自動的幫助我們避免走極端）

套入貝葉斯公式，P(A|B) = 30% * 80% / (80% * 30% + 50% * 70%) = 41%。從30%提高到了41%。那么當小王升遷這個新情況出現(xiàn)以后，你對MBA作用的概率判斷從30%提高到了41%。

但是，過了段時間，你發(fā)現(xiàn)同樣是MBA的小李，熬了很多年也沒有升遷，最后辭職了?，F(xiàn)在你對小李因為MBA有效而升遷的概率判斷降為20%了。

套入公式，新的P(A|B) = 41% * 20% / (20%*41% + 50%*59%) = 22%。從剛才的41%跌了近一半。

這樣幾次下來，你就能對這個這家公司對MBA的看法有個相對靠譜的判斷了。

或許你會說，搞這么復(fù)雜干嘛，有了新情況，我原來的看法會改變，新情況和自己的預(yù)期一致就強化原來的看法，否則就弱化，這不就是常識嗎，還用得著什么數(shù)學(xué)定理嗎？

很好，的確一針見血。

拉普拉斯說過，所謂的概率就是把人們的常識用數(shù)學(xué)表達出來。也有人說，人腦就是采用貝葉斯方法來工作的。

但是我們?nèi)四X有偏差啊，有誤區(qū)啊，會犯渾啊，這個公式讓我們忽然獲得了一個上帝視角，來審視我們自己究竟是怎么做判斷，做決定的，計算機又是怎么模仿并超越我們的，這豈不是很美妙的一件事情 。