【2019合肥五十中東校三?！?/span>23. (1)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,

∠AOB=∠COD=50°，連接AC,BD交于點M.

①AC:BD的值為______②∠AMB的度數(shù)為_______;

(2) 如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點M，求AC:BD的值及∠AMB的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M,若OD=√3,OB=√21,

請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

【手拉手】

【解析】

（1）由△BOD和△AOC手拉手式的全等，得到AC=BD,所以其比值為1，而這一對全等三角形還可以得到∠CAO=∠DBO,所以∠AMB=∠AOB=50°

（2）類比第（1）問，由△ACO∽△BDO,得AC:BD=AO:BO=√3，同樣∠CAO=∠DBO,所以∠AMB=∠AOB=90°

（3）在第（2）問的條件，C點和M點重合時，求AC長。 關(guān)鍵是C點旋轉(zhuǎn)到什么位置時會M點重合呢。

在第（2）中，我們知道了∠AMB是90°，那么這個結(jié)論并不會因△CDO旋轉(zhuǎn)而改變，也就是直角△AMB始終存在，所以我們就先確定M點軌跡，即以AB的中點的圓心，以AB為直徑的一段弧。動點C的軌跡就簡單的多了，它是O點的圓心，OC長為半徑的圓。如下圖：

那么M點和C點重合時，就有兩個種情況了，如下圖

所以AC長為6或9.

我們再來感受一下，點C與點M的重合。