在 19 世紀(jì)之前，解方程一直是代數(shù)學(xué)的中心問(wèn)題，早在古巴比倫時(shí)代，人們就會(huì)解二次方程，但是自覺(jué)地、系統(tǒng)地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世紀(jì)的事。公元 9 世紀(jì)的時(shí)候，代數(shù)之父阿爾·花剌子模發(fā)表專著《代數(shù)學(xué)》，是第一本解決一次方程及一元二次方程的系統(tǒng)著作，他因而被稱為代數(shù)的創(chuàng)造者。

然而直到 16 世紀(jì)，人們對(duì)于三次方程的研究才取得了突破，意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅找到了能解一種三次方程的方法，就是形如{\displaystyle x^{3}+mx=n\,}的方程。事實(shí)上，如果我們?cè)试S{\displaystyle m\,},{\displaystyle n\,}是復(fù)數(shù)，所有的三次方程都能變成這種形式，但在那個(gè)時(shí)候人們還不知道復(fù)數(shù)。

1553 年尼科洛·塔爾塔利亞在一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中解出所有三次方程式的問(wèn)題，最早得出三次方程式一般解。后來(lái)塔爾塔利亞將這個(gè)方程式告訴了卡爾達(dá)諾，卡爾達(dá)諾在經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究之后，給予了其幾何證明，并且發(fā)表在自己的著作《大術(shù)》中，被稱為卡爾達(dá)諾公式。

卡爾達(dá)諾公式的解法如下：

運(yùn)用卡爾達(dá)諾公式可解任意復(fù)系數(shù)的三次方程，不過(guò)這個(gè)解法還是有一些不完善的地方，因?yàn)樗鼤?huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)的平方根，卡爾達(dá)諾既承認(rèn)負(fù)數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為詭變量，虛數(shù)就此從卡爾達(dá)諾這里誕生，糾纏了數(shù)學(xué)界數(shù)百年。

卡爾達(dá)諾

而三次方程成功地解出之后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里受到啟發(fā)，很快解出了四次方程，解法也發(fā)表在卡爾達(dá)諾《大術(shù)》中：

后來(lái)另外一位在代數(shù)發(fā)展史上具有重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)界韋達(dá)對(duì)二次方程、三次方程、四次方程進(jìn)行了梳理簡(jiǎn)化，變得更加完善。

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系數(shù)的代數(shù)式 (即只含有限項(xiàng)的加、減、乘、除和開(kāi)方五種代數(shù)運(yùn)算的表達(dá)式)來(lái)表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個(gè)問(wèn)題吸引了眾多的著名數(shù)學(xué)家，一開(kāi)始大家信心滿滿地向五次方程發(fā)起沖擊，但是卻遇到了各種挫折。

到了 1770 年，拉格朗日詳細(xì)考察了人們求解 2、3、4 次方程的方法，首次意識(shí)到 5 次及其以上方程求根公式可能不存在，他將自己的思考發(fā)表在了《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，不過(guò)，他還是設(shè)想了一種理論上的關(guān)于“利用根的置換理論來(lái)解方程式”的理論來(lái)試圖為解決這個(gè)問(wèn)題提供一種可能性。

雖然他并沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，但他提出的根的置換理論揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，也是這個(gè)問(wèn)題最后解決所出現(xiàn)的曙光。

歐拉為尋找五次方程的求解提供了一種新思路。他通過(guò)一個(gè)巧妙的變換把任何一個(gè)全系數(shù)的五次方程轉(zhuǎn)化為具有“x^5+ax+b=0”的形式。這一優(yōu)美的表達(dá)反應(yīng)出歐拉傾向于可以找出五次方程的通解表達(dá)式。（事實(shí)上歐拉的想法是錯(cuò)的）

到了 1801 年，高斯證明分圓多項(xiàng)式 -1+xp（p為素?cái)?shù)）可以用根式求解，這使得人們意識(shí)到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

這個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)史上的天才少年阿貝爾出現(xiàn)了，阿貝爾13歲就展露數(shù)學(xué)才華，他學(xué)習(xí)如牛頓、歐拉等數(shù)學(xué)大家的理論，甚至能從中找出他們的小漏洞。

1824年,阿貝爾的工作揭示了高次方程與低次方程的根本不同，證明了五次或五次以上的代數(shù)方程沒(méi)有一般的用根式求解的公式，然而仍然存在一些特殊的高次多項(xiàng)式能夠用根式求解，如何區(qū)分能夠求解的和不能求解的多項(xiàng)式仍然是一個(gè)未決的問(wèn)題。

阿貝爾曾經(jīng)自己的研究成果寄給高斯，但是高斯并不相信阿貝爾可以用六頁(yè)紙解決這樣的難題，所以棄之不理。

阿貝爾后來(lái)還沒(méi)有來(lái)得及徹底解決這個(gè)問(wèn)題，就去世了，年僅 27 歲。而這剩下的工作就交由另外一位天才少年伽羅瓦來(lái)完成了。

伽羅瓦 16 歲時(shí)候才接觸數(shù)學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)候中學(xué)到了二年級(jí)才可以去聽(tīng)初等數(shù)學(xué)課，當(dāng)時(shí)伽羅瓦一看到教科書(shū)，就覺(jué)得這東西壓根不值得看。他認(rèn)為這些教科書(shū)不談推理方法而只談技巧簡(jiǎn)直是誤人子弟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該透過(guò)現(xiàn)象去看本質(zhì)，還需要掌握明確而富有表達(dá)力的語(yǔ)言。

影視作品里的伽羅瓦

所以他在一年的時(shí)間里，自學(xué)了法國(guó)著名數(shù)學(xué)家勒讓德?tīng)柕摹稁缀卧怼?、那末拉克朗日的《論?shù)值方程解法》、《解析函數(shù)論》、《函數(shù)演算講義》，還逐漸熟悉了歐拉、高斯、雅科比的著作。

后來(lái)，他曾經(jīng)多次向科學(xué)院投稿，然后柯西遺漏了他的論文、傅立葉接到論文之后暴斃、泊松直接看不懂。

經(jīng)歷三次挫折的伽羅瓦投身政治，抗議國(guó)王的專制統(tǒng)治，以“企圖暗殺國(guó)王罪”不幸被捕在獄中，更加不幸的是，在監(jiān)獄里他還染上了霍亂。

電影中的伽羅瓦形象

結(jié)果剛出獄伽羅瓦想把自己的數(shù)學(xué)成果發(fā)表，又被人陷害入獄，在監(jiān)獄里度過(guò)了最后一年。

這個(gè)時(shí)候他好死不死在監(jiān)獄里愛(ài)上了一個(gè)煙花女子，偏偏這個(gè)煙花女子的情敵還是一個(gè)軍官，據(jù)說(shuō)槍法在全國(guó)都有名。這個(gè)愣頭青居然還答應(yīng)了和情敵比槍。。。

深知必死無(wú)疑的伽羅瓦打算在最后一夜將自己五年來(lái)所有的研究成果都給記錄下來(lái)，據(jù)說(shuō)遺稿空白處還寫(xiě)著“我沒(méi)有時(shí)間了，我沒(méi)有時(shí)間了。。?！?/p>

各位，你要知道，他這一夜記錄下的是他20多年人生僅存的研究成果。也就是他流世的所有東西也都是這一個(gè)晚上趕出來(lái)的。。。大家想想，這難度會(huì)有多高，不僅要保證每一筆計(jì)算不錯(cuò)，還不能遺漏每一個(gè)步驟。

伽羅瓦遺稿中的一頁(yè)

第二天，果然就如他所料，一槍被軍官干翻，直接被打穿了腸子。死之前，他對(duì)在他身邊哭泣的弟弟說(shuō)：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時(shí)候死去?！彼宦裨嵩诠沟钠胀ê緶蟽?nèi)，所以今天他的墳?zāi)挂褵o(wú)蹤跡可尋。

他的朋友 Chevalier 遵照伽羅瓦的遺愿，將他的數(shù)學(xué)論文寄給高斯與雅科比，但是都石沉大海。高斯曾經(jīng)因?yàn)榈糜霾畼?lè)成就輝煌人生，卻在最需要成為一名伯樂(lè)的時(shí)候看走了眼！

直到10年之后，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家劉維爾看到了伽羅瓦的手稿，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密計(jì)算，最終肯定伽羅瓦結(jié)果之正確、獨(dú)創(chuàng)與深邃，他還花了很久的時(shí)間對(duì)其進(jìn)行闡釋說(shuō)明，1846年最后將其發(fā)表在極具有影響力的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，并向數(shù)學(xué)界推薦。

劉維爾

由此，伽羅瓦這份手稿上的“伽羅瓦理論”震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界?？胺Q是神級(jí)之作?！百ち_瓦理論”中最華彩的部分就是天才般地提出了“群論”這個(gè)概念。

一般說(shuō)來(lái)，群指的是滿足以下四個(gè)條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結(jié)合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。具體解釋如下：

伽羅瓦利用伽羅瓦理論證明了如何區(qū)分五次方程能夠求解的和不能求解的多項(xiàng)式。某個(gè)數(shù)域上一元n次多項(xiàng)式方程，它的根之間的某些置換所構(gòu)成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，一元 n次多項(xiàng)式方程能用根式求解的一個(gè)充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見(jiàn)有限群）。

設(shè)(x)是域F上一個(gè)不可約多項(xiàng)式，假定它是可分的。作為(x)的分裂域E，E對(duì)于F的伽羅瓦群實(shí)際上就是(x)=0的根集上的置換群，而E在F的中間域就對(duì)應(yīng)于解方程(x)=0的一些必要的中間方程。方程(x)=0可用根式解的充分必要條件是E對(duì)于F的伽羅瓦群是可解群。由于伽羅瓦證明了當(dāng)n≥5時(shí)n次交錯(cuò)群An是非交換的單群，當(dāng)然是不可解的，而且一般的n次方程的伽羅瓦群是n次對(duì)稱群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解。

設(shè)G為一個(gè)元素的集合，稱G內(nèi)的元素為元，*為針對(duì)G這個(gè)集合的元素的運(yùn)算。設(shè)G為有限集X上的置換的集合，若G滿足群的定義，則(G，?)被稱為一個(gè)置換群。（對(duì)置換群不理解的可以再去仔細(xì)看一下）

伽羅瓦的革命性在于其洞察到了多項(xiàng)式的解的對(duì)稱性可以由多項(xiàng)式本身觀察到而不必求解，而這一對(duì)稱性本身完全決定了其解是否存在根號(hào)表達(dá)式。所以為了描述對(duì)稱性，他引進(jìn)了群的想法。

可以說(shuō)伽羅瓦不僅證明一般高于四次的代數(shù)方程不能用根式求解，而且還建立了具體數(shù)字代數(shù)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則。

而且利用伽羅瓦理論更是一舉解決了 2000 多年懸而未決的幾何學(xué)三大難題。這三大難題分別是：

三等分角問(wèn)題：將任一個(gè)給定的角三等分。

倍立方體問(wèn)題：求作一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)，使這個(gè)正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

化圓為方問(wèn)題：求作一個(gè)正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。

伽羅瓦理論提出了解決這一類問(wèn)題的系統(tǒng)理論和方法，后來(lái)，可以說(shuō)，伽羅瓦理論中的群論是近世抽象代數(shù)的基礎(chǔ)，它是許多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，群論完全影響了后來(lái)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等多門(mén)學(xué)科的發(fā)展。

在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運(yùn)算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其它分支有重要影響之外，還生成了幾何群論這一新的數(shù)學(xué)分支。

群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因?yàn)樵S多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來(lái)進(jìn)行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。

另外，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論、量子力學(xué)都應(yīng)用到了群論的相關(guān)知識(shí)，懷爾斯為了解決費(fèi)馬大定理更是耗費(fèi)了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)熟悉群論。被視為可以實(shí)現(xiàn)宇宙大一統(tǒng)的規(guī)范場(chǎng)論即是用某些特殊的被稱為李群的群去描述物理上的對(duì)稱性。

在算術(shù)尤其是代數(shù)數(shù)論中，伽羅瓦群是最核心的對(duì)象，在算術(shù)和拓?fù)涞慕蝗谥?，伽羅瓦群在其中扮演著樞紐的角色，它與表示論的融合則是另一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的宏偉建筑朗蘭茲綱領(lǐng)的夢(mèng)想， 朗蘭茲綱領(lǐng)指出這三個(gè)相對(duì)獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支：數(shù)論、代數(shù)幾何和群表示論，實(shí)際上是密切相關(guān)的，朗蘭茲綱領(lǐng)便是旨在將它們連接融合。

朗蘭茲綱領(lǐng)

可以說(shuō)現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)的方方面面早已被群論所滲透，你翻遍科學(xué)世界的所有領(lǐng)域，都會(huì)有伽羅瓦理論存在的蹤影。而提出伽羅瓦理論時(shí)，伽羅瓦才 21 歲。