1. 凸優(yōu)化問題

對于一般的非線性規(guī)劃，若目標函數(shù)是凸函數(shù)，約束集合 $D$D 是凸集，則稱該非線性規(guī)劃是凸規(guī)劃。
若上述約束規(guī)劃中只含有不等式約束，又 $c_i(x)(i∈I)$ci?(x)(i∈I)是凸函數(shù)，則約束集 $D$D 是凸集。
對于混合約束問題，若 $c_i(x)(i∈E)$ci?(x)(i∈E)是線性函數(shù)，$c_i(x)(i∈I)$ci?(x)(i∈I) 是凸函數(shù)，則 $D$D 是凸集。

定理 4： 凸規(guī)劃的局部解必是全局解。
定理 5： 設目標函數(shù) $f(x)$f(x) 和約束函數(shù) $c_i(x)$ci?(x)一階連續(xù)可微，并且 $c_i(x)(i∈E)$ci?(x)(i∈E) 是線性函數(shù)， $c_i(x)(i∈I)$ci?(x)(i∈I) 是凸函數(shù)。若凸規(guī)劃的可行點 $x^*$x? 是K-T點，則 $x^*$x? 必是全局解。

2. 凸二次規(guī)劃問題

一般的約束規(guī)劃問題求解非常困難，從下面開始我們將僅討論凸二次規(guī)劃問題的求解方法?？紤]如下約束優(yōu)化問題：

其中 $G$G 為 $n×n$n×n 對稱矩陣，$r,α_i(i∈E∪I)$r,αi?(i∈E∪I) 為 $n$n維實向量， $b_i(i∈E∪I)$bi?(i∈E∪I) 為實數(shù)，稱上述問題為二次規(guī)劃（quadratic programming）問題。
如果$G$G 為（正定）半正定矩陣，則稱上述問題為（嚴格）凸二次規(guī)劃（convex quadratic programming）。（嚴格）凸二次規(guī)劃問題的局部解均是全局最優(yōu)解。

定理 6： $x^*$x? 是上述凸二次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解得充分必要條件是： $x^*$x?是K-T點，即存在 $λ^?=(λ^?_1,λ^?_2,…,λ^?_{l m})$λ?=(λ1??,λ2??,…,λl m??) 使得：

定理 7： 若 $x^*$x? 是上述凸二次規(guī)劃的全局最優(yōu)解，則 $x^*$x?是如下等式約束二次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解。

參考資料：約束規(guī)劃問題與凸二次規(guī)劃