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繼續(xù)與數學有關的內容。今天我們聊聊拓撲。這個話題曾經有很多朋友都跟我說過，十分想聽聽，到底啥叫拓撲，這事確實是挺有意思，但是不太容易講。為啥不好講，有這么三方面的原因，一是，從大的方面來說拓撲這也算是幾何學范疇的話題，所以，咱們做為一檔純音頻的節(jié)目做幾何學的內容很吃虧，不像回到2049，人家不只有音頻，在B站，微信上，還有視頻，還能露個臉，劉老板也是靠著自己的逆天的顏值吸引眾多審美風格詭異的觀眾。

第二方面，雖然拓撲也算是一種幾何，但是，它與我們平時接觸的幾何學有著顯著的不同，完全顛覆我們的傳統認知，在從小學到高中，以及大學中非數學專業(yè)，我們幾乎不會用拓撲的思想來看待問題，可以說，以于大多數人來說，拓撲這絕對是一個全新的學科。沒有什么基礎知識可以利用.

還有最重要的第三方面，為啥叫拓撲這事難講呢，因為，我不會唄。不過，這沒關系，老子做了這么多期節(jié)目，還沒有哪一期是我真正明白的呢，雖然不會，但是我可以編呀,而且,我還有這么強大的文案組做為后盾.

拓撲這個詞，一聽你就知道,這是一個音譯，英文名叫Topology，最早是由高斯的學生李斯亭給起的名，想用來表示“位置的幾何”。這個詞的詞源前半部分是古希臘詞Topo，意思是“地方、方位”。后綴部分logy，也來自古希臘文，原意是“詞語的聚集”，很多表示學科的單詞都是以logy結尾的，生物學biology考古學archeology， 宇宙學, cosmology.

19世紀60年代，日本開始明治維新，全盤西化，大量的翻譯了西方典籍，將Topology翻譯成【方位學】，我國很多近現代的科技類詞匯都是由日本引入了，Topology這個詞也是如此。當初，我們也試著翻譯成“形勢幾何學”或者是“連續(xù)幾何學”，甚至是“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學”，但是，顯然這幾種譯名都不大好理解，有點讓人摸不著頭腦，所以，最后就干脆翻譯成拓撲吧，讓大家完全聽不懂算了。

額外說幾句,雖然，對我們普通人來說，從字面上來看,完全無法理解拓撲的含義，感覺只是簡單的音譯，但是，不得不說，這是一個音義兼顧，形神俱備的絕佳翻譯的典范。從發(fā)音上來說，Topology，諧音拓撲。在語意上，“拓”者，乃是對土地之開發(fā)拓展也，“撲”者，乃全面覆蓋之意，這即包含了Topology原意上地志學，地理學的意思，也有位置幾何，連續(xù)幾何全面覆蓋的思想，這就是大師級別的翻譯。

我對于翻譯這事，有過一段專門時間的研究，嚴復先生曾提出過，翻譯工作，最基本的要求叫信達雅，“信”，就是譯文要準確， ；“達”就是 譯文通順明白；“雅”就是指譯文時選用的詞語要得體，優(yōu)雅。咱看看，上世紀前半葉，那些博古通今，學貫中西的大家的翻譯，簡直是拍案叫絕 ，neon霓虹 、（engine）引擎、（totem）圖騰，paracetamol撲熱息痛,幽默Humor，就連bandage，翻譯成繃帶，足以看出大師的智慧與通達,音意俱佳,形神兼?zhèn)?。再看現在翻譯的這叫什么玩意， BP機，VCD、 DVD、mp3、SUV，就沒人把這些東西好好翻譯一下呢，整一堆字母，真是一點內涵都沒有，說是知識爆炸，真不知道把知識都崩到哪里去了。

介紹完了拓撲這個詞，下面來說說拓撲學究竟是研究啥的呢。

剛才說了，拓撲學也屬于幾何學，但是，他并不是什么正經的幾何學，我們從初中到高中，學校里邊學的知識，一提到幾何學，必然就是長寬高，面積，周長，體積，研究的是具體圖形的數值關系，但是，在拓撲學的世界當中，雖然，他也注重于幾何圖形的相對關系，但是，與研究對象具體的長短、大小、面積、體積這些方面的性質卻沒有一毛錢關系。

我給你舉一個例子，比如在26個字母當中，從拓撲學的角度來看，大寫字母，A,D,R,O,P，他們都是一樣的，因為，把他們拉抻變形之后，都會變成一個圈，大寫字母B和數字8，還有沒有眼鏡片眼鏡，它們都是一樣的，因為拉抻變形之后，他們都包含兩個圈，而大寫字母，L,N,V,W,M這些都一樣，拉抻之后，都是一條線。也就是說,在拓撲世界里，你可以隨便的捏一捏，揉一揉、壓一壓、按一按，只不要捅出一個洞，那就沒有事，你就不用負責，因為，對于原圖形來說，他的性質沒有任何改變。所以拓撲學也被稱為橡皮泥幾何。就是說它研究物體在連續(xù)變形下不變的性質,所以,在拓撲的世界里,所有的多邊形和圓形在拓撲意義下是一樣的，因為多邊形可以通過連續(xù)變形變成圓，

而線段和圓在拓撲意義下就不一樣了，因為如果想把圓變成線段,那就要把他切段才行,它就不連續(xù)了.也可以這樣理解,幾何的東西有某種“剛性”，很硬,而拓撲則相對“軟”一點。

再比如，我們從拓撲學的角度來看，可以把乒乓球，高爾夫球，足球，籃球看成是同樣的東西，因為他們都是球，同樣，在拓撲學家的眼里，你向他借了一個金戒指，那么你還他一個呼拉圈，或者是救生圈，甚至還他一個煙斗，都行，因為他會覺得，這都是一個環(huán)，在拓撲學上，他們都是等價的。

這種都是一個球，都是一個環(huán)的東西，用高逼格的說講就叫同胚，這個胚是胚胎的胚，也就是說，可以把這些東西看做是由同樣的原始東西發(fā)育而來，一個胚子出來的。

可以簡單粗暴的理解，拓撲學，就是研究洞， 當然了，這么說顯得檔次有點LOW，所以，人家管這叫虧格，若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n，其實就是有N個洞。乒乓球的虧格就是零，沒有洞，鉆戒的虧格就是1，大奔的標志虧格是3，蜂窩峰的虧格，那你就數他有幾個洞吧。

說到這，似乎，我們可以領略到一些拓撲學要研究的重點所在，就是一個圖形或者是物體，他的形態(tài)可以做很多的改變，但是，一些性質卻沒有變化，這就是他要研究的東西，但是，這玩意有什么實際作用呢。

哥尼斯堡七橋

在18世紀之初，哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋把【普雷格爾】河中兩個島及島與河岸連接起來?？梢钥匆幌鹿?jié)目下方的圖片，市民們經常沿著河岸和小島散步，于是很自然地就提出這么一個問題，說：有沒可能找到一條路線，能夠沿它行走，經過全部7座橋卻又不會重復的進入其中任何一座橋？就像我們現在旅游一樣，不想錯過任何一個景點，還不想走重復的路，于是，很多人在嘗試各種各樣的走法，結果是誰也沒能做到。

既然普通人不行， 哥尼斯堡大學的學生們就躍躍欲試，結果還是以失敗告終，所以，他們就寫信給當時著名大數學家歐拉， 希望他能幫助解決這個問題。

歐拉看完信后，說，歐拉，這有何難，待老夫夫慢慢算來，既然兩個島和兩岸陸地是橋梁的連接地點，那就不妨把這四個地方縮小成四個點，并且把這七座橋表示成七條線。這樣，原來的七橋問題就變成了一個一筆畫圖的問題， 就是能否筆不離紙，不重復地一筆畫完整個圖形?，F在許多小游戲里都是利用的這個原理。最后，歐拉不旦解決了這個問題，還總結出了這個圖畫問題的規(guī)律。給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。

因為，在這個問題當中，橋的長短并不重要，島的大小也不重要，河的寬窄也不重要，重要的是，要考慮橋與島的相對位置關系。這就是拓撲學要研究的重點所在。

我們現在也總用一個詞，叫拓撲結構圖，看起來很高深的樣子，特別是在網絡布局方面,用來描述網絡節(jié)點設備和通信介質的分布情況。其實這和七橋問題一個道理，各種設備、數據終端就可以看成是七橋問題中的小島,中間的鏈路,包括物理鏈路邏輯鏈路都可以看成是橋，核心思想都是把一個實際問題抽象成一個簡單的，更為根本的表示相對位置關系的圖型而已。

還有類似的布線問題， 就是在一個復雜的網絡能否布在平面上而不自相交叉，我想大家和機箱后邊都是一團亂麻，各種電線，網線，音頻線，視頻線，數據線，亂七八糟的。當然了，對于我們來說，這并不算什么大事，但是，這在電線布線的時候就是一個十分重要的問題了，怎么才能充分的利用空間，又不互相影響，還能節(jié)省材料，最主要的是同一層的連線不相交，這就涉及到復雜的算法，這里也涉及拓撲的思想。

太陽系的示意圖

咱們上初中的時候，你也一定接觸過拓撲圖，就是電路圖，電阻，電池，開頭，燈泡的，然后，并連，串連，算電流電壓的，這就是拓撲圖，因為，你畫出來的這個圖只表示相對的位置關系，為了更加的直接，形象，但是并不代表實際比例的縮放。

再比如，我們看的太陽系示意圖，中間是太陽，然后是，水金地，火木土，天海冥，八大行星加上冥王星一字排開，我們從小到大的，看的這個示意圖都差不多，可是，我們一直都被偏了，這也并不是按照實際比例縮放的，這樣做只是為了讓你更容易理解行星與太陽的相對位置而已，也就是說，這和我們看到的地圖不一樣，地圖是按照比例尺制成的，圖上5厘米，實際5公里，圖上10厘米，實際就10公里，地圖不僅表示了相對的位置關系，還表示了距離長短的比例。但是，太陽系的示意圖，只表示了他們的相對位置關系，并不代表實際距離。如果真的按照比例尺制成太陽系模型的話，那么把地球畫成玻璃球這么大的話。那么，整個太陽系差不多就有舊金山這么大了，當然了，這里說的太陽系，是很不嚴謹的說法，只是說從太陽到海王星這么點區(qū)域，如果要是按照科依博帶，或者是按照太陽引力作用范圍來計算的話，那么這個圖，根本就沒個畫了，如果想把太陽系集中在一張紙上，那么地球根本就看不到了，所以，我們只能選擇用一種拓撲圖的方式來表達相對的位置關系。

還有我們平時乘坐的地鐵公交車的示意圖，就是各個站點的先后順序，哪個站點可以換乘其它的車，實際上，這也是用來表示相對位置，因為，我們更關心的站點的相對關系。

在金庸的小說當中，有很多的謎題一直在困擾著我們，比如說神雕俠侶中。楊過斷臂多年，他是怎么剪指甲的呢，梅超風，修煉九陰白骨爪時，拉完屎是怎么擦屁股的呢，倚天屠龍記中，小昭帶了多年的腳鏈，他是怎么換內褲的呢。

前兩個問題有很多奇葩的答案，我們可以有時間詳細說說，但是，從拓撲學的角度來說，小昭換內褲這個問題還真有強大的理論依據在背后支持，大家可以參考一下，節(jié)目下方的圖片，我這也是從網上下載來了，大家一看圖示就能明白了。這個操作的重點就是內褲他是有彈性的，可以通過腳鏈與腳踝之間的縫隙，然后，經過拉伸再繞過腳掌，這樣就進行相對位置的變換，這就是拓撲學的思想，

九連環(huán)

 咱們民間有很多益智的玩具，比如九連環(huán)，魔方，華容道，這比現在的各種手游好玩100倍，其實這都涉及深刻的數學原理在里邊，而九連環(huán)就與拓撲有關。即使你沒玩過，也一定看過，這就和小昭換內褲的原理差不多，幾個環(huán)看上去套在一起，似乎不可能分開，但是只要你有信心，反復嘗試幾次，還是不會，那就是因為你沒掌握技巧,一旦有了拓撲的思想，眼界一下子就打開了，當然，九連環(huán)這并不是嚴格的拓撲學問題，因為，九連環(huán)可以看作是一種沒有彈性的絕對的剛性結構，這與拓撲學有著本質的區(qū)別，在拓撲學家的眼里，九連環(huán)他本身就是分開的幾個環(huán)。

四色定理

拓撲學中最為經典的一次應用應該就是著名的“四色定理”的證明過程了，這個咱們之前的節(jié)目專門花了一期的時間說過，四色定理，這也曾經的世界近代三大數學難題之一，與費馬定理，哥德巴赫猜想齊名的，大概的故事就是，一位負責地圖著色的人員，發(fā)現了一種有趣的現象：“ 每幅地圖只用四種顏色著色，就能使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。就能夠區(qū)分開了”這個看似簡單的問題折磨了無數的數學家，人們反復嘗試，畫了各種各種的地圖，都是成立，但是又不能從數學上加以嚴格的證明。進入到了20世紀，電子計算機出現，演算速度迅速提高，再到后來人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家【阿佩爾】與【哈肯】利用兩臺計算機，花了1200個小時，作了100億個判斷，終于完成了四色定理的證明。

具體怎么證明的，這并不重要，重要的是一種思維方式的轉換，同樣也是利用了拓撲學的思想。我們可以看一下世界地圖，每個國家都不是規(guī)則的幾何圖案，國與國之間的界線也沒有筆直的一條線，而且這還只是地球上有限的200多個國家，而四色問題提出的是針對于所有的地圖，任意狀態(tài)的國家，所以，這也就意味著有無數種的可能。雖然我們有計算機這個利器，但是在無窮面前，還是太弱小了。所以，這個問題的核心思想，還是把各種各樣的地圖通過拓撲的思想，也就不是不必在意國家的形狀、面積的，周長，只是關心國與國之間是否相鄰，兩個國家共同的邊界線是1米還是1千米，在四色問題上，是等價的，所以，這就直擊問題的核心，把復雜的問題簡單化，把國與國的相對位置，分為幾大類，把無窮多的可能性，變?yōu)橛邢薅鄠€，而一旦問題變成了有限，那么接下來的工作就交給計算機和時間就行了。

耳機線打結也是拓撲學？

關于拓撲學，有不少著名的理論，定理之類，大多數都會讓我們聽了之后感覺一臉蒙蔽，咱們挑幾個聽起來像是人話的，聊聊。

第一，毛球定理，就是永遠不能理順椰子上的毛。

椰子這是南方很常見的水果，我們印象中椰子的外面有一層很厚很干燥的外殼，感覺這層外殼像是一塊整體的皮似的，實際上它是由無數的毛緊密地交織而成的。

問題是，如果將椰子的毛全都散開，那么椰子就會變成一個毛茸茸的球體。那么用什么方法能把這個球體上的毛全部梳理平整，不留下任何豎起來的毛，也不存在像人的頭發(fā)那樣的旋呢？答案是，從科學的角度來看，這是一件不可能完成的任務。

為什么說無法完全梳理平整球體表面上的毛呢。這個事，最早由【布勞威爾】證明，所謂的理順，就是所有的毛都順著一個方向倒下去，我們可以在大腦中，幻想出許多種，自己帥氣的發(fā)型，由tony老師流暢的設計你的頭發(fā)梳理的方向，想怎么梳就怎么梳，可以做出任意的造型，更別說是理順自己的毛了，但是，首先，你的腦袋并不是一個球體，因為，下面連著你的大脖子呢，另外，我們平時說的理順和拓撲學說的理順并不一樣，總之，【布勞威爾】證明了，在一個球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場，也就是毛球定理。

結合兩個實際的例子，估計你就能聽明白了。

在氣象學上，因為地球表面上形成的風，它的速度和方向都是連續(xù)性的，所以，根據毛球定理，地球上總會有一個沒有風的地方。在這樣的零點附近，風會分布成螺旋形，只能是上升或下降，但永遠不會從水平吹入中心或從其中吹出，對應的毛球定理，也就是至少有一根毛會豎起來，就是這個沒有風的靜止點，可是設想一下，椰子上的毛都按照緯線的方向，由低緯到高緯地區(qū)，一圈一圈的有序排列，很整齊，但是，在兩極地區(qū)，確切的說，是極點的位置，總會有一顆豎起的毛，要么就只能像人的頭發(fā)那樣，出現旋的情況。一個旋橫,兩個旋愣,三個旋打架不要命,四個旋打架拿板凳!

  毛球定理還有一個意想不到的“應用”，是在電子游戲里！很多人在玩第一人稱射擊游戲的時候，也就是使命召喚，CS這類的游戲時，會發(fā)現一個問題：當你上移鼠標，讓你的角色抬頭看天，或者下移鼠標，低頭看地的時候，不小心，一個手抖就會發(fā)現自己的角色瞬間轉了一百八十度；這就是相當于毛球中的“旋”的位置。

為什么會出現這種情況，這就是游戲引擎中面對的數學問題，理論你，鼠標的活動相當于數據的輸入，這是一個連續(xù)的過程，畫面也是漸進式的變化。但是，在你指天或者是指地的時候，這就是一個特殊的點，導致畫面不能平滑的切換，鼠標極其微小的運動都會導致畫面大幅度的翻轉。

第二個定理叫博蘇克-烏拉姆定理，專業(yè)的定義就不說了，說了也白說。直接看幾個實際的例子就明白了，坐飛機出國旅行，如果是跨時區(qū)了，就要調整手機，手表的時間，如果是跨了國際日期變更線，就得調整日期了，加一天，或者是減一天。那么，在地球上，能不能設計出一種不需要國際日期變更線的時區(qū)體系呢，讓每個地方的時間都和附近的時間差一點，為什么轉了一圈之后，國際日期變更線兩邊緊挨著的地方要規(guī)定差一天呢，我們可以在笨理兒上理解這個問題，而，博蘇克-烏拉姆定理則是從數學專業(yè)的角度回答這個問題。國際日期變更線是不可或缺的。這是拓撲學中博蘇克-烏拉姆定理在一維情況下得到的推論。

根據這個定理，我們可以得出結論，在任一時刻，地球的赤道上總存在溫度相等的兩個點，當然，這里有一個前提條件就是溫度是漸變的，這是一個純數學上的思考，與地理知識無關，為什么會這樣呢，有人可能會自行開始腦補了，假設在赤道上，有一個地方是20攝氏度，那么，沿著一個方向，溫度不斷的升高，21度，22度，23度，24度，一點點往上長唄，可以長到50度，60度，怎么可能存在兩個同樣溫度的地點呢。別忘了，地球是圓的，你從一個地方出發(fā)，最后還會轉回到這個起點，這個起點是20攝氏度，所以，無論是怎么變化，最終還是要回歸到20攝氏度，所以，不管剛開始是怎么增長，最后保證有一個下降的過程。又因為溫度是漸變的，所以在溫度值不斷變化的各個地點當中，一定有一個“相交”的時刻，這兩個位置的溫度就相同了。

如果把博蘇克-烏拉姆定理上升到二維的尺度，還能得出一個推論，在地球上總存在對稱的兩點，它們的溫度和大氣壓的值正好都相同。道理與前面說的溫度一樣，只不過是上升到二維平面，我們可以把溫度值和大氣壓值所有可能的組合看成平面直角坐標系上的點來思考。

定理：布勞威爾不動點定理

這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：拿兩張一樣的白紙，平鋪在桌子上，他們是完全重合的，如果把紙看成是一個一個連續(xù)的點組成的話，那么，這些點是一一對應的，然后，我們把一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個紙團，注意但不能撕裂，再把紙團放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界，這時，我們就可以說，這個紙團上一定至少有一個點正好就在平鋪的這張紙的對應點的正上方。另外一種理解方式，就是把一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團，注意也是不能撕裂，放在原來白紙所在的地方，那么只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那么白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過，還是原來平鋪的位置。為什么要反復強調不能撕碎，這就保證了這些點的連續(xù)性，假設可以把紙撕碎的話，那么，我們不用撕的太碎，只要撕成兩半，對調一下，放在原來的位置，那就沒有任何一個點與原來的位置是相同的了。

再說一個相對好理解的，把一張當地的地圖平鋪在地上，則總能在地圖上找到一點，這個點下面的 地上的點正好就是它在地圖上所表示的位置。

再比如，在一些商場中，在地面上有一張整個商場的地圖，那么你總能在地圖上精確的找到一個“你在這里”的標記。

如果把布勞威爾不動點定理放在三維空間中，比我們用一個密封的鍋來燒水，那么總有一個水分子在煮開前的某一刻和煮開后的某一刻處于同樣的位置。假設有一杯咖啡，我們緩慢均勻地將它攪拌，然后令咖啡慢慢地靜止下來。我們可以斷言，至少有一個分子，它在攪動前的位置和它在靜止后的位置重合。

研究有這些有啥用呢，催眠唄。

歐拉，黎曼和龐加萊吳文俊。

我們都知道，萊布尼茲是微積分的主要奠基人，當時與牛頓打的是不可開交，萊布尼茲對抽象符號系統有著獨到的理解與特殊的偏好，所以，他創(chuàng)立的微積分符號系統，很快就把牛頓的符號系統給比下去了。同樣，對于試圖闡述幾何圖形的一些性質，他也想用抽象的符號來表示。

1679年的時候，萊布尼茨發(fā)表《幾何特性》，提出了關于位置分析或者說是位置幾何學的全新理念，因為，此時，笛卡爾的坐標系正是大紅大紫，把數學與幾何聯系在了一起，但是，萊布尼茨發(fā)并不滿足于此，他覺得，有一些幾何性質的東西，這是跟幾何體的具體大小無關的，自然地，也就不能通過坐標系中予以體現，實際這就是拓撲的思想，他自己想的倒是挺好，但是，這個理念有點太新了，太超前了，所以，同時代的人根本不知道他在說些什么，甚至也包括惠更斯這樣的大神，完全不知道他想表達什么。畢竟，萊布尼茲的這種思想要到300年后，才成為數學的一個分支流派，叫代數拓撲，這中間經歷了歐拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比烏斯，克萊因，黎曼，龐卡萊等諸多大神的共同努力才最終確立的。

這么多的大神，咱就挑幾個有代表性的人物，比如有代表性的法器說一說。一個是莫比烏斯帶，一個是克萊因瓶

莫比烏斯，這是一位德國人，他在數學上有很多貢獻，但是，最出名的還是以他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯帶，也有叫莫比烏斯環(huán)的，上學的時候，老師帶咱們做過實驗，自己用紙，用脫水，做莫比烏斯環(huán)，然后從一面往上涂色，或者是沿中間剪開，可以看出他非常詭異的表現，它的重要特性就是，雖然在每個局部都可以說有正面和反面，但整體上去不能分隔成正面和反面。他只有一個面。

據說是，有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐睡不著覺。他就把黏蒼蠅的紙扭轉半圈﹐然后把兩端粘到一起﹐形成一個紙環(huán)。再把紙環(huán)掛在床頭上。他臨時制作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐睡的挺香。早晨醒來﹐他的目光落在那個紙環(huán)上﹐驚訝地發(fā)現這條紙只有一個面﹐只有一條棱。著名的莫比烏斯帶就誕生了，你就當真的聽。

要說這玩意有啥實際用途嗎，可以做成戒指唄，代表一心一意，無窮無盡的愛，你仔細看循環(huán)標志也是利用的莫比烏斯帶的想法，表示循環(huán)再造再利用。最實際的應用，要算是傳送帶了，你下次再有機會看到傳送帶的話，一定好好看一看，居然是做成了莫比烏斯環(huán)的形狀，有啥好處呢，這樣就可以分攤磨損，不至于只磨損一個面，延長使用壽命。

與莫比烏斯帶類似的就是克萊因瓶，沒有內外之分，雖然他叫瓶子，但是不能裝水，當然了，也可以說，他能裝下無窮無盡的水，也能把天裝下去，感覺這有點像西游記里的橋段，不知道當初克萊因是不是受到吳承恩的啟發(fā)，克萊因瓶，這是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，而我們是生活在三維空間中的人，所以，我們在網上看到的圖上，都是一種折衷的無奈的表現手法，只能是將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。實際上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。我知道，我這樣說，你也理解不了，當然了，我自己也不理解。就這么回事吧。

　龐加萊猜想

其實說到拓撲學，最應該講的是龐加萊猜想，應該花一期的時間來講都行，等我們團他招聘到數學方面的專家的，龐加萊猜想，這也是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題，后來被佩雷爾曼證明了。

龐加萊這個人，過多的介紹就不說了，直接說點與今天內容有關的，龐加萊意識到，描述一個幾何體抽象性質的關鍵在于這個幾何體本身有沒有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界，這就開始有點不像人話了，比如，一個圓盤和一個球面為什么不同，就是因為圓盤有邊界而球面沒有邊界；球面為什么跟輪胎面不同，因為球面上的任何一個圈都是球面某一部分的邊界，比如一條緯線就是一個邊界，而輪胎面上有的圈并不是輪胎面任何一部分的邊界。稍微解釋一下，這個邊界，可以理解為孫悟空用他的棒子在地上畫了一個圈，如果是在一個球面上，那么，你隨便在哪畫一個圈，不管多大，多小，里邊的人都出不去，外邊人的也進不來，而在一個輪胎面，有些情況，是里邊的人出不去，外邊人的進不來，而一些圈，雖然他也是圈，但是起不到保護保護唐僧的作用，這個很難形容，但是，我相信你一想就能想出來。

沿著這個思路思考，龐加萊就想到了，任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。這就是龐加萊猜想。這個定理，我是不打算給您各位講明白了，因為，這里邊每一個詞我都不懂。什么單連通，什么三維流形，什么三維的球面。這里邊都有著嚴格的數學上的定義。反正，我在網上查了一下，大概的意思，就是說，可以想象一個我們居住的房間。這個房子沒有窗戶、沒有門，房間里有一個氣球，氣球不斷的膨脹，假設氣球非常結實，氣球的“皮”是無限薄，而且不能被吹破。膨脹到最后會怎么樣呢？ 龐加萊猜想就說了，氣球吹到最后，一定是氣球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。換句話說，我們把一個等同球形房間大小的氣球，可以慢慢收縮成一個“點”。行了，就當你聽懂了。龐加萊猜想有一個神奇地方，就是其它高維部分的證明比低維度部分的證明反而要簡單。早在1961年，斯梅爾就證明了龐加萊猜想的五維空間和五維以上都是成立的。

拓撲學上有這樣一個段子，博士生導師都要給學生制定一個研究的課題，拓撲學的博士生導師非常好當，因為，他可以，讓今年的學生研究一個命題在三維下是成立的，明年讓下一屆學生證明在四維成立，這樣就可以帶無窮多個研究生了，根本不用像咱們做節(jié)目似的，天天還是考慮選題的事，但是，后來斯梅爾出來，直接證明了龐加萊猜想在五維以上都成立，因此，他也獲得了菲爾茨獎。

拓撲學到底是什么時候出現的，已經無法考證確切的時間，有說是萊布尼茨的思想已經是拓撲學的萌芽，也有的說，歐拉的七橋問題是拓撲學的先聲，這些都不重要了，總之，拓撲學這是由一代一代又數學家不斷完善而形成，發(fā)展的學科，比起其它數學分支，他絕對是一個晚輩了，直到，上世紀下半葉開始，他才有了更加蓬勃的發(fā)展，據統計有十余位獲得菲爾茲獎的數學家都是與拓撲學有關，這里邊就包括前一陣子號稱證明黎曼猜想的阿蒂亞，還有一位大神級人物，叫愛德華·威滕，當然，在這些獲獎人當中，許多都是玩跨界的，特別是關于拓撲學，從它誕生的那一天起，就不只是局限于數學當中。比如說愛德華·威滕，你可能沒聽過這個名字，但是一定聽過M理論，雖然不知道是啥，但是不名覺厲，這個M理論就是威滕提出來的。

2016年諾貝爾物理學獎解讀

2016年諾貝爾物理學獎授予三位在美國高校從事研究工作的科學家，分別是[戴維·索利斯]、[鄧肯·霍爾丹]和[邁克爾·科斯特利茨]，以表彰他們在物質的拓撲相變方面的理論發(fā)現。

從此就打開了一扇通向未知世界的大門，在那里，物質有著與我們的世界完全不同的奇異狀態(tài)。

啥叫拓撲相變呢，對于什么是拓撲，我們已經心里有點B數了，何為相變？就是物質從一種相轉變?yōu)榱硪环N相的過程。通常認為，物質分為固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)，甚至什么等離子態(tài)之類了，你就別跟我較真了，相變就是我們常見的固體冰融化成液體的水，液體的水又可以變成水蒸氣，這就是相變，宏觀上，我們所看到的相變，實際是分子在微觀層面上作出改變的結果。這中間的區(qū)別主要是因為分子間距的改變。

而在一些極端的條件下，比如極高的溫度或者極低的溫度，也會出現很多更為奇異的狀態(tài)。比如說給磁鐵加熱，溫度到了一個臨界點以后，磁性就會完全消失了，雖然你從外表看，還是那塊吸鐵石，但它在磁性上已經發(fā)生了改變，這也是一種相變。同樣的，還有一些材料在溫度變化的時候，會從不導電變?yōu)閷щ?，或者在極低溫下電阻就消失了。這也是相變。

好了，明白了拓撲，明顯了相變，那么把二者結合起來。當外界條件發(fā)生變化的時候，一組原子的排列，有些情況是從幾何學角度來看，發(fā)生了變化，但是它們仍然是拓撲等價的，可以想象把原來這一堆原子是圍成一圈，而現在變成了三角形。還有一些情況，連拓撲都不等價了，原來是圍成一圈，現在是變成了一條線，或者是變成兩個圈了，這個時候就發(fā)生了拓撲相變，得獎的這幫人，當時的研究是，在薄層的物質上有很多的“旋”，低溫的時候是兩個兩個成對出現，溫度一升高，一下子全都分開成一個個的了。此時，他的很多性質也就發(fā)生了變化。

這次，諾貝爾獎讓我們再次感受到了數學的重要性，也看到了數學與物理的聯姻，微積分是牛頓力學的基礎，黎曼幾何是廣義相對論的基礎，微分幾何是弦論的基礎，量子力學也是離不開什么復變函數，偏微分方程，而拓撲學的繁花，也讓它在物理學結出了豐碩的果實，但是，這僅僅是一個開始。