有關(guān)線段和之最值，我們常常會(huì)想到將軍飲馬，那么有關(guān)于單條

線段的最值可能較多的還是圓。

我們先來看看圓

圓的定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，到定點(diǎn)等于定長的點(diǎn)的集合就是圓。

【有圖有真相】

那么既然圓最大的特點(diǎn)就是半徑相等，那么點(diǎn)與圓上各點(diǎn)間距離比較就顯而易見了。

情形一：P為圓O外一定點(diǎn)，則點(diǎn)P與圓心O距離為定值，那么P點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的連接線段中，最小值為圖1中PA，最大值為圖2中PA.

情形二：P為圓O內(nèi)一定點(diǎn)，則點(diǎn)P與圓上各點(diǎn)的連接線段中，最小值為圖4中PA，最大值為圖5中PA.

情形三：P為圓上一定點(diǎn)，其到圓上其它各點(diǎn)的連接線段中，最大值為直徑，最小值為0.

總結(jié)：一箭穿心（所在的直線必經(jīng)圓心）

例1【2016·安徽第10題】如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC.則線段CP長的最小值為(　　)

分析：問題是線段CP的最小值，那么線段CP的兩個(gè)端點(diǎn)分別有什么特點(diǎn)呢？【C點(diǎn)為定點(diǎn)，P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)】既然P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，那么它運(yùn)動(dòng)有什么具有怎么規(guī)律？【？】不錯(cuò)找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是理解本題的關(guān)鍵，我們再審一遍題目【北曰：題讀三遍，其意自現(xiàn)】

條件：“直角三角形”&“∠PAB＝∠PBC”

由角之間數(shù)量關(guān)系可以得出∠APB的大小。（∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°）

∠APB是90°,那么P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是什么呢？

又因?yàn)锳B的長是定值，那么根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等斜邊的一半，可以得到無論P(yáng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置，一定有AD=BD=PD

所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律現(xiàn)形了，即點(diǎn)P為以AB的中點(diǎn)D為圓心，以DP長為半徑的圓弧上。

C為圓D外一定點(diǎn)，P為圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，求CP的最小值，你會(huì)想到哪四個(gè)字？

【一箭穿心】

例2、如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△CEF以EF為軸進(jìn)行對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C’，則AC’的最小值為______.

【分析】問題是AC’的最小值，那么線段AC’的兩個(gè)端點(diǎn)各具有怎樣的特點(diǎn)呢？（點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)C’為動(dòng)點(diǎn)），那么點(diǎn)C’又有怎樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？

因?yàn)镋C為邊長的一半為定長，而又因?qū)φ?，所以EC’=EC=2，這樣我們就找到了點(diǎn)C’的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即以點(diǎn)E為圓心，以EC長為半徑的圓上。

現(xiàn)在我們把圓畫上，如下圖

現(xiàn)在再來求AC’的最小值，就是“一箭穿心”了。

變式：已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=4, 點(diǎn)D為BA邊上一點(diǎn)，且AD=1, 點(diǎn)E為斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△DEA以DE為軸進(jìn)行對(duì)折，如圖所示，則CA’的最小值為_____.

【分析】還是先看看動(dòng)圖吧

【小結(jié)】對(duì)折+動(dòng)點(diǎn)+最值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的圓，再由對(duì)折的性質(zhì)找到定長線段，即圓的半徑，然后【一箭穿心】.

那么旋轉(zhuǎn)呢

例2：已知菱形ABCD中，∠BAC=60°，AB=4,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，如圖，現(xiàn)將△ACD以點(diǎn)C為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，求BE的最大值和最小值。

【分析】我們先看旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度的圖形，如下圖，我們?nèi)匀豢梢灶惐葘?duì)折時(shí)求最值的思路，先確定要求線段的兩端點(diǎn)中，哪個(gè)是動(dòng)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)所在軌跡是否是圓，再由旋轉(zhuǎn)找到定長，即圓的半徑。

當(dāng)圓作出來時(shí)，最大值和最小值就都迎刃而解了。

變式：Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=6,∠ACB=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ABC以點(diǎn)A為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖所示，E為B’C’的中點(diǎn)，求DE的最大值和最小值.

【解析】E為動(dòng)點(diǎn)，其為B’C’的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知AE是定值，即E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖：

那么此時(shí)，DE的最大值和最小值利用一箭穿心就可以解決了（屬于一箭穿心的第二種情形，即定點(diǎn)在圓內(nèi)）

如下圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E,F分別在邊CD,BC上，且BF=CE.連接AF和BE,（1）求CG的最小值。（2）求EF的最小值。