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分析與解答

左圖是經(jīng)典老題放送，六種以上的解答，屬于幾何證明各類方法探討的范例。右圖應(yīng)該算是它的孿生兄弟。

類似的題：

P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求證：△PBC是正三角形.

方法1：∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∵∠PAD=∠PDA=15°，

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形內(nèi)做△DGC與△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°

∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，

∴△PDG為等邊三角形（有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，

∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，

在△DGC和△PGC中

DG＝PG，∠DGC＝∠PGC，GC＝GC

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，

同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°-15°-15°=60°，

∴△PBC是正三角形．

方法2：∠PAD＝∠PDA＝15°

在正方形ABCD之外以AD為底邊作正三角形ADQ, 連接PQ,

則∠PDQ=60°+15°=75°,

同樣∠PAQ=75°,

又AQ=DQ,PA=PD,

所以△PAQ≌△PDQ,

那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,

在△PQA中,

∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB,

于是PQ=AQ=AB,

顯然△PAQ≌△PAB,

得∠PBA=∠PQA=30°,

PB=PQ=AB=BC,

∠PBC=90°-30°=60°,

所以△ABC是正三角形.

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