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為什么樣本方差（sample variance）的分母是 n

 taotao_2016 2019-05-06
先把問題完整的描述下。
如果已知隨機變量的期望為，那么可以如下計算方差：

上面的式子需要知道的具體分布是什么（在現(xiàn)實應用中往往不知道準確分布），計算起來也比較復雜。
所以實踐中常常采樣之后，用下面這個來近似：

其實現(xiàn)實中，往往連的期望也不清楚，只知道樣本的均值：

那么可以這么來計算：

那這里就有兩個問題了：
  • 為什么可以用來近似？
  • 為什么使用替代之后，分母是？
我們來仔細分析下細節(jié)，就可以弄清楚這兩個問題。
1 為什么可以用來近似？
舉個例子，假設服從這么一個正態(tài)分布：

即，，圖形如下：
當然，現(xiàn)實中往往并不清楚服從的分布是什么，具體參數(shù)又是什么？所以我用虛線來表明我們并不是真正知道的分布：
很幸運的，我們知道，因此對采樣，并通過：

來估計。某次采樣計算出來的：
看起來比要小。采樣具有隨機性，我們多采樣幾次，會圍繞上下波動：
用作為的一個估計量，算是可以接受的選擇。
很容易算出：

因此，根據(jù)中心極限定理，的采樣均值會服從的正態(tài)分布：
這也就是所謂的無偏估計量。從這個分布來看，選擇作為估計量確實可以接受。
2 為什么使用替代之后，分母是？
更多的情況，我們不知道是多少的，只能計算出。不同的采樣對應不同的：
對于某次采樣而言，當時，下式取得最小值：

我們也是比較容易從圖像中觀察出這一點，只要偏離，該值就會增大：
所以可知：

可推出：

進而推出：

如果用下面這個式子來估計：

那么采樣均值會服從一個偏離的正態(tài)分布：
可見，此分布傾向于低估。
具體小了多少，我們可以來算下：

其中：

所以我們接著算下去：

其中：

所以：

也就是說，低估了，進行一下調整：

因此使用下面這個式子進行估計，得到的就是無偏估計：

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