1 泊松分布

指數(shù)分布和泊松分布息息相關(guān)，所以先簡(jiǎn)單回憶下之前介紹過(guò)的泊松分布。公司樓下有家饅頭店，每天早上六點(diǎn)到十點(diǎn)營(yíng)業(yè)：

老板統(tǒng)計(jì)了一周每日賣出的饅頭（為了方便計(jì)算和講解，縮小了數(shù)據(jù)），想從中找到一些規(guī)律：

從中可以得到最簡(jiǎn)單的規(guī)律，均值：

這個(gè)規(guī)律顯然不夠好，如果把營(yíng)業(yè)時(shí)間抽象為一根線段，把這段時(shí)間用   來(lái)表示：

然后把賣出的饅頭數(shù)畫在這根線段上（節(jié)約篇幅，只畫出周一周二作為示意），可以看到每天賣出的饅頭起伏還是很大的：

經(jīng)過(guò)老板一系列的騷操作（更具體的推導(dǎo)請(qǐng)看如何理解泊松分布），最后得到每日賣出的饅頭數(shù)  服從泊松分布：

泊松分布的具體表達(dá)式為：

據(jù)此可以畫出每日賣出饅頭數(shù)的概率分布，這個(gè)規(guī)律就比均值要精細(xì)很多了：

下面來(lái)討論另外一個(gè)問(wèn)題，饅頭賣出之間的時(shí)間間隔：

可以看出也是隨機(jī)變量（也就是圖中的 ），不過(guò)相對(duì)饅頭賣出個(gè)數(shù)而言，時(shí)間間隔肯定是連續(xù)的隨機(jī)變量。

如果知道這個(gè)時(shí)間間隔，老板也好調(diào)整自己的服務(wù)員人數(shù)（時(shí)間間隔短，那么需要的服務(wù)人員就多，反之需要的就少），優(yōu)化成本結(jié)構(gòu)。那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)時(shí)間間隔服從什么分布？

既然都是賣饅頭的問(wèn)題，那么還是讓我們從已知的泊松分布上想想辦法。之前得到的泊松分布讓我們知道了每天賣出的饅頭數(shù)，所以下面按天來(lái)分析看看。

假如某一天沒(méi)有賣出饅頭，比如說(shuō)周三吧，這意味著，周二最后賣出的饅頭，和周四最早賣出的饅頭中間至少間隔了一天：

當(dāng)然也可能運(yùn)氣不好，周二也沒(méi)有賣出饅頭。那么賣出兩個(gè)饅頭的時(shí)間間隔就隔了兩天，但無(wú)論如何時(shí)間間隔都是大于一天的：

而某一天沒(méi)有賣出饅頭的概率可以由泊松分布得出：

根據(jù)上面的分析，賣出兩個(gè)饅頭之間的時(shí)間間隔要大于一天，那么必然要包含沒(méi)有賣出饅頭的這天，所以兩者的概率是相等的。如果假設(shè)隨機(jī)變量為：

那么就有：

之前求出的泊松分布實(shí)在限制太大，只告訴了我們每天賣出的饅頭數(shù)。不過(guò)沒(méi)有關(guān)系，稍微擴(kuò)展下可以得到新的函數(shù)：

通過(guò)新的這個(gè)函數(shù)就可知不同的時(shí)間段內(nèi)賣出的饅頭數(shù)的分布了（  時(shí)就是泊松分布）：

擴(kuò)展后得到的函數(shù)稱為 泊松分布 ，這里涉及到比較復(fù)雜的知識(shí)，就不做推導(dǎo)了，感興趣的同學(xué)可以自行根據(jù)關(guān)鍵字?jǐn)U展學(xué)習(xí)。

兩次賣出饅頭之間的時(shí)間間隔大于  的概率，根據(jù)之前的分析，等同于  時(shí)間內(nèi)沒(méi)有賣出一個(gè)饅頭的概率，而后者的概率可以由泊松過(guò)程給出。至此所需的條件都齊備了，那么開(kāi)始解題吧，假設(shè)隨機(jī)變量：

這個(gè)隨機(jī)變量的概率可以如下計(jì)算：

進(jìn)而有：

這其實(shí)已經(jīng)得到了  的累積分布函數(shù)了：

對(duì)其求導(dǎo)就可以得到概率密度函數(shù)：

這就是賣出饅頭的時(shí)間間隔  的概率密度函數(shù)，也稱為 指數(shù)分布 。

指數(shù)分布中的  是每日平均賣出的饅頭數(shù)，如果  越大，也就是說(shuō)每日賣出的饅頭越多，那么兩個(gè)饅頭之間的時(shí)間間隔必然越短，這點(diǎn)從圖像上也可以看出。

當(dāng)  較小的時(shí)候，比如說(shuō)  吧，也就是說(shuō)一天只賣出一個(gè)饅頭，那么饅頭賣出間隔時(shí)間大于 1 的可能性就很大（下圖是指數(shù)分布的概率密度函數(shù)的圖像，對(duì)應(yīng)的概率是曲線下面積）：

而如果  較大的時(shí)候，比如說(shuō)  吧，也就是說(shuō)一天賣出三個(gè)饅頭，那么饅頭賣出間隔時(shí)間大于1的可能性已經(jīng)變得很小了：

每日賣出饅頭的數(shù)目  服從泊松分布，賣出饅頭的時(shí)間間隔   服從指數(shù)分布：

他們的期望分別為：

根據(jù)之前的分析就比較好理解了，  的含義是平均每日賣出的饅頭數(shù)，而  是每個(gè)饅頭之間賣出的平均時(shí)間間隔，所以兩者是倒數(shù)關(guān)系：每日賣出的越多自然間隔時(shí)間越短，每日賣出的越少自然間隔時(shí)間越長(zhǎng)。

還有未盡的一些解釋，比如：

• 為什么指數(shù)分布常常用來(lái)描述電器壽命？

• 為什么指數(shù)分布和幾何分布一樣具有無(wú)記憶性？

這里就不一一解釋了，感興趣可以參加我們的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程，其中有更多更詳盡的解釋。