1.引言

我們在介紹拉格朗日公式時，得到一個公式：

拉格朗日看到這個公式就想，我們令b=x,a=0 就可以得到

 f(x)-f(0)=f'(ε )(x-0)

移項，化簡：就得到

f(0)可以認為是一個常數(shù)，所以，就得到

f(x)=a+f'(ε )(x)

這個公式表明：任何一個函數(shù)，都可以寫成一個a加上函數(shù)一次求導(dǎo)形式。

而函數(shù)求導(dǎo)最大的好處就是：降低函數(shù)計算的復(fù)雜度。

例如：我們知道 sinx≈x, ln(1+x)≈1/(1+x)

所以，如果看到 sin0.001你就立刻知道他大約等于0.001， ln1.001大約等于1/1.001

求導(dǎo)能把復(fù)雜的正弦、對數(shù)運算轉(zhuǎn)換為加減乘除運算。

2.泰勒級數(shù)

拉格朗日看上面公式是好的，但是他感覺有點遺憾，sin0.001≈0.001 是沒錯，但是誤差到底是多少？因為在高科技上，精度99.9999%和 99.99999%還是有區(qū)別的。所以，要能解決f(x)的精度問題。

這個問題，拉格朗日到死都沒解決掉，但是后來被泰勒解決了。泰勒看了

這個公式后，突發(fā)奇想：如果函數(shù)f(x)可以寫成如下方式就好了：

這樣，如果以后再求sinX時，因為高級次冪可以忽略，就能知道sinX的精度了。

請別問我泰勒為什么會怎么想到用這個公式表示，因為人家是天才。

所以，我們現(xiàn)在就要求a,a1,a2，a3到底是多少。

也許沒有一個人知道泰勒是怎么想到的，但是，最終，泰勒給你一個結(jié)論：

a=f(x), a1=f'(x), a2=f''(x), a3=f'''(x)

這樣，泰勒級數(shù)就出來了：

如果a=0，也可以把這個級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。

3.常規(guī)函數(shù)泰勒展開式

下面介紹求sinx的展開式：

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家已經(jīng)把常用函數(shù)的泰勒展開式都給計算出來了。

4.泰勒級數(shù)有什么用

在本文開頭曾經(jīng)說過，求導(dǎo)無法確定精度，使用泰勒級數(shù)，最大的好處，就是知道了我要的精確到什么程度。

所以 sin0.1=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+0.1^9/9! ...

能很明顯看到后一項比前一項小，當小到一定程度，滿足我們的精度，我們就可以認為他是合適的。

就像圓周率π，普通計算取3.14就能滿足，高精度的取3.1415926可以滿足，超高精度的 3.14159 26535 89793 23846 大家都知道他是無限不循環(huán)小數(shù)，但是這并不影響他的正常使用。

總之，這個精度范圍你可以控制的。