先跟大家普及一些知識：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形必須具備三個條件：（1）兩個圖形相似；（2）對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；（3）對應(yīng)邊互相平行或在同一直線上。今天我們將跟大家講講如何巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題。

類型一：三角形的內(nèi)接正三角形問題

例1：如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問題．

畫法：

①在△AOB內(nèi)畫等邊△CDE使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；

②連結(jié)OE并延長，交AB于點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；

③連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．

【分析】根據(jù)作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可證得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根據(jù)相似可證得對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，即可根據(jù)對應(yīng)邊的比成比例且夾角相等的三角形相似，可證得△CDE∽△C′D′E′，即可得結(jié)果．

【解答】證明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，

∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，

∴CE：C′E′＝OE：OE′，DE：D′E′＝OE：OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，

∴CE：C′E′＝DE：D′E′，∠CED＝∠C′E′D′，

∴△CDE∽△C′D′E′，

∵△CDE是等邊三角形，

∴△C′D′E′是等邊三角形．

【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及位似圖形的性質(zhì)，利用相似圖形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．

類型二：三角形的內(nèi)接矩形問題

例2：如圖，求作內(nèi)接于已知三角形ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，且DE：EF＝1：2．

【分析】先確定位似中心，再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．

【解答】解：如圖，先任意作MN∥BC，再作矩形MNPQ，使MQ：MN＝1：2，分別連接AQ、AP，它們的延長線交BC于E、F，再分別作DE⊥BC交AD于D，GF⊥BC交AC于G，則可得矩形DEFG．

故矩形DEFG即為所作．

【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣位似變化以及矩形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題時注意：畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，而對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．

類型三：三角形的內(nèi)接正方形問題

例3：如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10．四邊形BDEF是△ABC的內(nèi)接正方形（點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上）．則此正方形的面積是多少？

【分析】由已知可得到△AFE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的邊對應(yīng)成比例即可求得EF的長，進(jìn)而根據(jù)正方形的面積公式即可求得．

【點(diǎn)評】主要考查了正方形基本性質(zhì)和比例線段的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到相似三角形并根據(jù)其相似比列方程求解．

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解決問題．