數(shù)學(xué)系里一般不叫離散數(shù)學(xué)，一般都稱為組合數(shù)學(xué)（Combinatorics）。這里注意一下，組合數(shù)學(xué)研究的對(duì)象不一定是離散的（比如graph limit theory中會(huì)研究一類連續(xù)函數(shù)的拓?fù)湫再|(zhì)），我更愿意把組合數(shù)學(xué)稱為具體數(shù)學(xué)（Concrete Math）。

我個(gè)人覺得，組合數(shù)學(xué)家里幾乎沒有專門為算法做理論設(shè)計(jì)的。算法的理論，一般屬于理論計(jì)算機(jī)科學(xué)（Theoretical Computer Science），隸屬于計(jì)算機(jī)系。

那組合數(shù)學(xué)家在做什么呢？美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)給組合數(shù)學(xué)分了五類：計(jì)數(shù)組合，編碼與設(shè)計(jì)理論，圖論，極值組合，代數(shù)組合。我個(gè)人認(rèn)為這個(gè)分類已經(jīng)過時(shí)了二十年了。我這里說一下我認(rèn)為組合數(shù)學(xué)里最常見最核心的幾個(gè)領(lǐng)域。因?yàn)樗剿?，肯定?huì)有不全或者錯(cuò)漏。

• 結(jié)構(gòu)圖論（Structural graph theory）與圖的染色（Graph coloring）

我沒有把圖論分作一類，因?yàn)槟壳皥D論領(lǐng)域里明顯有兩類風(fēng)格迥異的數(shù)學(xué)家。結(jié)構(gòu)圖論顧名思義，主要研究目標(biāo)是圖的結(jié)構(gòu)，包括graph minor; graph immersion; topological graph theory; perfect graph等等很多分支。圖的染色就是考慮確定圖的染色數(shù)，或者用染色數(shù)為圖分類。我把這兩個(gè)方向放到一起，因?yàn)槲矣X得大部分做其中一個(gè)方向的數(shù)學(xué)家也做另外一個(gè)方向。

• 極值組合（Extremal combinatorics）與極值圖論（Extremal graph theory）

極值組合研究的是滿足某種條件下的一種結(jié)構(gòu)的極限情況，極值圖論研究的就是圖了。這個(gè)方向也是組合目前最主流也是競(jìng)爭(zhēng)最激烈的方向之一，包括Turan問題，Ramsey問題等等臭名昭著的難題。

• 代數(shù)組合（Algebraic combinatorics）

這個(gè)方向我了解的不多，因?yàn)楹臀覀€(gè)人taste不是很相符。有的組合學(xué)家不承認(rèn)代數(shù)組合是組合的分支，因?yàn)橛行┐鷶?shù)組合的問題來源自抽象數(shù)學(xué)（Abstract Math），并不是具體數(shù)學(xué)。這里分支也有很多，比如組合交換代數(shù)，組合表示論等等。

• 算數(shù)組合（Arithmetic combinatorics）

這個(gè)領(lǐng)域比較廣，一般認(rèn)為包括加性組合（Additive Combinatorics）和乘性組合（Multiplicative Combinatorics）。很多我們耳熟能詳?shù)臄?shù)學(xué)家比如陶哲軒，Bourgain等，都在這個(gè)領(lǐng)域做了很多貢獻(xiàn)。狹義的說加性組合研究阿貝爾群上的組合結(jié)構(gòu)，乘性組合研究一般群的結(jié)構(gòu)。加性組合研究的問題比如Freiman type theorem；Pseudorandomness等；乘性組合的問題比如Approximate group；growth rate of group等。這個(gè)領(lǐng)域的用到的其他分支的數(shù)學(xué)比較多，包括圖論，極值組合，概率，代數(shù)，調(diào)和分析，代數(shù)幾何，離散幾何，邏輯等。

• 計(jì)數(shù)組合（Enumeration combinatorics）與解析組合（Analytic combinatorics）

這里顧名思義就是使用代數(shù)/復(fù)分析等工具來計(jì)數(shù)了。注意并不是所有的計(jì)數(shù)問題都在這里，比如數(shù)平面圖有多少個(gè)就屬于計(jì)數(shù)組合問題，但是數(shù)沒有三角形的最大的圖的個(gè)數(shù)就屬于極值組合。一般其他的數(shù)學(xué)分支，比如代數(shù)拓?fù)?，常?huì)用到的組合大多是這個(gè)分支。

• 離散幾何（Discrete geometry）

這個(gè)領(lǐng)域和算數(shù)組合有點(diǎn)像，使用其他分支的工具也很多。比較著名的問題比如sphere packing；kissing number；equiangular lines等等。其中四維和24維sphere packing問題就是用代數(shù)幾何解決的。這里還包含一個(gè)子分支重合幾何（incidence geometry），主要研究點(diǎn)線面的關(guān)系的幾何，這里面調(diào)和分析與極值組合用的會(huì)多一些，也是一個(gè)很新很熱門的分支。有的人也會(huì)把重合幾何叫代數(shù)組合幾何（Algebraic combinatorial geometry），因?yàn)橹睾蠋缀蔚囊粋€(gè)主要研究對(duì)象也是多項(xiàng)式或者代數(shù)/半代數(shù)曲線。

• 編碼理論（Coding theory）與設(shè)計(jì)（Design）

我對(duì)這個(gè)幾乎不了解。但是確實(shí)也是組合的一大主流分支。20世紀(jì)著名的科克曼女生問題就是這個(gè)領(lǐng)域的問題。