|
知識點總結(jié) 1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形 2.平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形的對邊平行且相等； （2）平行四邊形的鄰角互補，對角相等； （3）平行四邊形的對角線互相平分； 3.平行四邊形的判定 平行四邊形是幾何中一個重要內(nèi)容，如何根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，判定一個四邊形是平行四邊形是個重點，下面就對平行四邊形的五種判定方法，進行劃分： 第一類：與四邊形的對邊有關(guān) （1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； （3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 第二類：與四邊形的對角有關(guān) （4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； 第三類：與四邊形的對角線有關(guān) （5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 常見考法 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)，求角度、線段長、周長；（2）求平行四邊形某邊的取值范圍；（3）考查一些綜合計算問題；（4）利用平行四邊形性質(zhì)證明角相等、線段相等和直線平行；（5）利用判定定理證明四邊形是平行四邊形。 誤區(qū)提醒 （1）平行四邊形的性質(zhì)較多，易把對角線互相平分，錯記成對角線相等；（2）“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”錯記成“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”后者不是平行四邊形的判定定理，它只是個等腰梯形。 知識點總結(jié) 一、特殊的平行四邊形 1.矩形： （1）定義：有一個角是直角的平行四邊形。 （2）性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相等。 （3）判定定理： ①有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。②對角線相等的平行四邊形是矩形。③有三個角是直角的四邊形是矩形。 直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半。 2.菱形： （1）定義 ：鄰邊相等的平行四邊形。 （2）性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。 （3）判定定理： ①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 ②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 ③四條邊相等的四邊形是菱形。 （4）面積： 3.正方形： （1）定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。 （2）性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角，對角線互相垂直平分。正方形既是矩形，又是菱形。 （3）正方形判定定理： ①對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形； ②一組鄰邊相等，一個角為直角的平行四邊形是正方形； ③對角線互相垂直的矩形是正方形； ④鄰邊相等的矩形是正方形 ⑤有一個角是直角的菱形是正方形； ⑥對角線相等的菱形是正方形。 二、矩形、菱形、正方形與平行四邊形、四邊形之間的聯(lián)系： 1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴充來的。矩形是由平行四邊形增加“一個角為90°”的條件得到的，它在角和對角線方面具有比平行四邊形更多的特性；菱形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”的條件得到的，它在邊和對角線方面具有比平行四邊形更多的特性；正方形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”和“一個角為90°”兩個條件得到的，它在邊、角和對角線方面都具有比平行四邊形更多的特性。 2.矩形、菱形的判定可以根據(jù)出發(fā)點不同而分成兩類：一類是以四邊形為出發(fā)點進行判定，另一類是以平行四邊形為出發(fā)點進行判定。而正方形除了上述兩個出發(fā)點外，還可以從矩形和菱形出發(fā)進行判定。 三、判定一個四邊形是特殊四邊形的步驟： 常見考法 （1）利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)進行邊、角以及面積等計算； （2）靈活運用判定定理證明一個四邊形（或平行四邊形）是菱形、矩形、正方形； （3）一些折疊問題； （4）矩形與直角三角形和等腰三角形有著密切聯(lián)系、正方形與等腰直角三角形也有著密切聯(lián)系。所以，以此為背景可以設(shè)置許多考題。 誤區(qū)提醒 （1）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性質(zhì)平行四邊形不一定具有，這點易出現(xiàn)混淆； （2）矩形、菱形具有的性質(zhì)正方形都具有，而正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，這點也易出現(xiàn)混淆； （3）不能正確的理解和運用判定定理進行證明，（如在證明菱形時，把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形）；（3）再利用對角線長度求菱形的面積時，忘記乘；（3）判定一個四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分。 【典型例題】（2010天門、潛江、仙桃）正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F. (1)當點P與點O重合時(如圖①)，猜測AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)當點P在線段DB上 (不與點D、O、B重合)時(如圖②)，探究(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由； (3)當點P在DB的長延長線上時，請將圖③補充完整，并判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論.
【解析】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 連接AC，則AC必過點O，延長FO交AB于M； ∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形OECF是正方形， ∴OM=OF=OE=AM， ∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°， ∴△AMO≌△FOE， ∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF. （2）題（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下： 延長AP交BC于N，延長FP交AB于M； ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°， ∴四邊形MBEP是正方形， ∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°； 又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE， ∴AM=PF， ∴△AMP≌△FPE， ∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF ∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF， ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF． （3）題（1）（2）的結(jié)論仍然成立； 如右圖，延長AB交PF于H，證法與（2）完全相同 來源：網(wǎng)絡(luò)。本文版權(quán)歸原創(chuàng)作者所有。若侵聯(lián)刪。
|
|
|
