數(shù)和形都是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，它們之間存在著密切聯(lián)系。

學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，我們引進(jìn)了數(shù)軸這一概念，于是，有理數(shù)大小比較、相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，以及有理數(shù)的運(yùn)算法則，便能被直觀地感知和理解.

不僅如此，學(xué)習(xí)整式乘法、乘法公式，引進(jìn)無(wú)理數(shù)概念，揭示函數(shù)性質(zhì)等，無(wú)不受到圖形的啟發(fā)，利用“形”輔佐我們“數(shù)”的學(xué)習(xí)另一方面，我們開始學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，又利用“數(shù)”來(lái)刻畫形的一些基本關(guān)系，如余角和補(bǔ)角的意義、判別，就離不開數(shù)。

圖1中，兩個(gè)直角∠AOB與∠COD有公共頂點(diǎn)，判斷∠BOC與∠AOD的關(guān)系我們?cè)O(shè)∠BOC的度數(shù)為x，那么∠AOC的度數(shù)為90°－x，于是，∠AOD(90°－x)＋90°＝180°－x＝180°－∠BOC，立刻發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠AOD互為補(bǔ)角。

圖形的形狀、大小以及位置關(guān)系的判斷，也常常依賴于數(shù)與式的運(yùn)算和變形，平面直角坐標(biāo)系成為“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的工具，更密切了“形”與“數(shù)”的聯(lián)系。

正如華羅庚教授所說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，“數(shù)”與“形”

存在互補(bǔ)關(guān)系。

例1

如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E在AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠ECD的度數(shù)。

解：設(shè)∠ECD＝x，∠ACE＝α， ∠BCD＝β，則x＋α＋β＝90°.

由AD＝AC，BE＝BC，得∠ADC＝x＋α，∠BEC＝x＋β

在△CED中，x＋(x＋α)＋(x＋β)＝180°，

把①代入，得2x＝90°，x＝45°，即∠ECD＝45°.

反思：不用單個(gè)字母表示有關(guān)的角，利用“等邊對(duì)等角”后，∠ADC和∠BEC的等角就在頂點(diǎn)C處有部分重疊，增加觀察難度.因此，常用希臘字母表示相關(guān)的角，使等式清晰.

例2

如圖3，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)三等分BC，AE，AF與BD分別相交于點(diǎn)P，Q，求BP：PQ：QD.

思考：求線段的比，一般離不開平行線，注意到D是AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，把△ABC進(jìn)行中心對(duì)稱變換，就能在保持點(diǎn)E，F(xiàn)位置特點(diǎn)和不分割中線BD上各條線段的前提下獲得所需要的平行線。

解：以點(diǎn)D為對(duì)稱中心，對(duì)△ABC進(jìn)行中心對(duì)稱變換，得平行四邊形ABCB₁，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q，并設(shè)BP＝x，PQ＝y(tǒng)，QD＝z.

由AE∥CE₁，得，所以x＝y(tǒng)＋z. ①

由AF∥CF，得＝2，所以

x＋y＝4z. ②

把①代入②，y＋z＋y＝4z，y＝z，代入①，得x＝z.

所以BP：PQ：QD＝z：z：z＝5：3：2

反思：利用線段的中點(diǎn)，對(duì)圖形進(jìn)行中心對(duì)稱變換，產(chǎn)生平行四邊形和互相平行的對(duì)應(yīng)線段，使一個(gè)探究比例線段的不規(guī)則圖形化歸為規(guī)范圖形為我們添加平行輔助線開辟了新的思路.本題最后歸結(jié)為方程組變形問(wèn)題顯示了代數(shù)方法的優(yōu)勢(shì).

如圖4，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上的任意一點(diǎn)，連接AP.求證：AB²－AP²＝PB·PC.

思考：AB²，AP²可以通過(guò)底邊上的高線發(fā)生聯(lián)系，雖然點(diǎn)P是任意的，但底邊上的高線與中線重合，因此也能與底邊的長(zhǎng)發(fā)生聯(lián)系.

證明：作AD⊥BC于點(diǎn)D，由AB＝AC知D是BC的中點(diǎn)，則

AB²－AP²＝(BD²＋AD²)－( PD²＋AD²)

＝BD²－PD²＝(BD＋PD)(BD－PD)

＝PB·PC

反思：觀察所探究的對(duì)象之間的聯(lián)系，一般要通過(guò)“中介”，本題的中介是△ABC的高線AD.

例4

在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D是AB上任意一點(diǎn)，連接CD。求證：AD²＋BD²＝2CD²

證明：本題除了可以像例16.3那樣證明外，我們介紹坐標(biāo)法，這也是利用“數(shù)”解決“形”的問(wèn)題的一般方法。

以直角頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖5).

根據(jù)題設(shè)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，其中a＞0.

設(shè)AB所在直線的解析式為y＝kx＋a，因A在直線上，所以ka＋a＝0，k＝－1，所以直線AB的解析式為y＝－x＋a.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x₁，y₁)，則

AD²＋BD²＝(x₁－a)²＋y₁²＋(y₁－a)²＋x₁²

＝2(x₁²＋y₁²)＋2a²－2a(x₁＋y₁).

由點(diǎn)D在直線AB上，得y₁＝－x₁＋a，x₁＋y₁＝a，代入上式，得AD²＋BD²＝2(x₁²＋y₁²)，而CD²＝ x₁²＋y₁²，所以AD²＋BD²＝2CD².

說(shuō)明：用坐標(biāo)法解題，必須建立坐標(biāo)系.

雖然坐標(biāo)系可以隨意建立，但為了運(yùn)算方便，要盡可能利用已知圖形的特征，使盡可能多的點(diǎn)是特殊點(diǎn)，比如本題的坐標(biāo)系使點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C位于原點(diǎn).

此外，建立坐標(biāo)系，只要指出原點(diǎn)和x軸的位置，y軸自然被確定，也可以指出x，y軸的位置，原點(diǎn)自然被確定，比如本題也可以這樣說(shuō)：

分別以CA，CB所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)系建立后，要指出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)、已知直線的解析式，比如本題點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和直線AB的解析式，這是為代數(shù)式計(jì)算或變形做準(zhǔn)備本題證明中寫出的AD，BD2，CD2，可以根據(jù)坐標(biāo)的意義，利用勾股定理想到，不必記公式，坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)是借助坐標(biāo)系，立刻把幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題.