考綱原文

（1）理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.

（2）會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)講解

一、函數(shù)的單調(diào)性

1．函數(shù)單調(diào)性的定義

2．單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

注意：

（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．

（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．

3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

（1）若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；

（2）若k>0，則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反；

（5）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；

（6）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：

4．函數(shù)的最值

注意：

（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；

（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.

二、函數(shù)的奇偶性

1．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，-x也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．

2．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．

（2）f(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

（3）若奇函數(shù)的定義域包括0，則f(0)=0．

（4）若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)=f(|x|)．

（5）定義在(-∞，+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．

（6）若函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)+f(-x)為偶函數(shù)，f(x)-f(-x)為奇函數(shù)，f(x)f(-x)為偶函數(shù)．

（7）掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)：

三、函數(shù)的周期性

1．周期函數(shù)

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．

2．最小正周期

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期（若不特別說明，T一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.

3．函數(shù)周期性的常用結(jié)論

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈R，a>0.

①若f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)的周期為2a；

②若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)的周期為2a；

⑤函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b-a| ；

⑥若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期是2|b-a|；

⑦若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期是4|b-a|；

⑧若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則其周期為2a；

⑨若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則其周期為4a.

考向分析

考向一 判斷函數(shù)的單調(diào)性

1．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：

（2）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱“同增異減”．

（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減．

（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

（5）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2．在利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

考向二 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有：

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值．

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，此時(shí)應(yīng)將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．

（4）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．

考向三 函數(shù)最值的求解

1．利用單調(diào)性求最值．應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值．若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a,b]上的最小值為f(a)，最大值為f(b)；若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a,b]上的最小值為f(b)，最大值為f(a).

2．求函數(shù)的最值實(shí)質(zhì)上是求函數(shù)的值域，因此求函數(shù)值域的方法也用來求函數(shù)最值.

3．由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對(duì)應(yīng)不同的解析式，因此應(yīng)先求出分段函數(shù)在每一個(gè)子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最小值.

4．求函數(shù)最值的方法還有數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法.

【名師點(diǎn)睛】求二次函數(shù)的最大（?。┲涤袃煞N類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大（?。┲?；二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大（?。┲涤伤膯握{(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置（在區(qū)間上，在區(qū)間左側(cè)，還是在區(qū)間右側(cè)）來決定，若含有參數(shù)，則要根據(jù)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合.

考向四 判斷函數(shù)的奇偶性

判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：

（1）定義法：

（2）圖象法：

（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來判斷.

注意：

①分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍相應(yīng)地化簡(jiǎn)解析式，判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷．

②性質(zhì)法中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．

③性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過程.

考向五 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

1．與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解決方法：

（1）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的值．

將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．

（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式.

已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式,求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

（3）已知帶有參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù).

在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù) ? f(x)=f(-x)，f(x)為偶函數(shù)? f(-x)=f(x)，列式求解，也可以利用特殊值法求解.對(duì)于在x=0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列式f(0)=0求解.

（4）已知函數(shù)的奇偶性畫圖象判斷單調(diào)性或求解不等式.

利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.

2．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論：

（1）若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，即f(a-x)=f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

（2）若對(duì)于R上的任意x都有f(2a-x）=f(x)或f(-x)=f(2a+x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

（3）若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，即f(-x+b)+f(x+b)=0，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．

考向六 函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用

（1）判斷函數(shù)的周期，只需證明f(x+T)=f(x)，便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．

（2）根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期.

（3）利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題，進(jìn)而求解.

考向七 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度：

（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．

（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．

（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.