導(dǎo)數(shù)的定義是曲線切線的斜率，它的定義的幾何描述和代數(shù)描述都具有極限的概念，極限思想是微積分中的一種重要思維觀念，我們可以通過(guò)極限思想來(lái)理解很多深刻的定理，也為很現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供了一種解決思路，下面我們盡可能簡(jiǎn)單形象的來(lái)描述極限。（有關(guān)導(dǎo)數(shù)的定義可以閱讀極簡(jiǎn)微積分——導(dǎo)數(shù)出場(chǎng)）

極限的直觀認(rèn)識(shí)

我們?cè)O(shè)想一個(gè)函數(shù)f(x),它在一個(gè)a點(diǎn)附近是有意義的，當(dāng)a附近的x不斷的向a靠近時(shí)，f(x)不斷的向L靠近，在這種情況下我們就說(shuō)L是f(x)當(dāng)x靠近a時(shí)的極限。

上面那句話說(shuō)的是有條件的：當(dāng)x靠近a時(shí)，才稱L是f(x)在此情況下的極限。所以當(dāng)我們一談起極限，不能只談f(x)，還要關(guān)注自變量的變化趨勢(shì)才有意義。更重要的是我們關(guān)注的是a附近的x，一點(diǎn)都不關(guān)心x是否在a有定義，因?yàn)闃O限是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，和最終的x是否在被趨近點(diǎn)a有定義沒(méi)有半毛錢(qián)關(guān)系。極限的代數(shù)表述如下：

極限的嚴(yán)格定義

上面的描述是我們憑借印象獲得的，那么更加嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述也是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)：ε-δ定義：

也就是說(shuō)如果給定ε>0,那么就一定能找到一個(gè)正數(shù)δ，當(dāng)f(x)靠近L的精度在[-ε，ε]之間時(shí)，x靠近a的精度在[-δ，δ]之間，這個(gè)ε和δ是有一定的關(guān)聯(lián)關(guān)系的，我們從下面的集合描述中能夠看到：

上面的坐標(biāo)系中，當(dāng)f(x)靠近L的精度在[-ε，ε]之間時(shí)它是一個(gè)寬度為2ε的水平條帶，和它相對(duì)應(yīng)的就能確定出一個(gè)寬度為2δ（但是x不等于a）的一個(gè)垂直條帶，這個(gè)不等于a也正好可以解釋我們?yōu)槭裁粗魂P(guān)心a附近的x，而不關(guān)心x是否等于a。由于ε是任意給定的，所以上面的集合描述可以解釋為：

對(duì)于任何一個(gè)水平條帶，不管它多么窄，我們都能找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的垂直條帶（其中x不等于a），這樣這個(gè)水平條帶的寬度可以看做被對(duì)應(yīng)的垂直條帶寬度的狹窄程度所限制。

更進(jìn)一步——理解三角函數(shù)極限的幾何意義

有了普通函數(shù)關(guān)于極限的代數(shù)定義和相應(yīng)的幾何描述，我們來(lái)想一個(gè)更有趣的問(wèn)題，一個(gè)很重要的關(guān)于三角函數(shù)的極限：

這個(gè)根據(jù)定義理解當(dāng)θ→0的時(shí)候sinθ也→0，下面的分母也是如此，最后成了0/0這么一個(gè)沒(méi)有意義的式子，看似很不好得出結(jié)果，怎么會(huì)等于1呢？

我們要記住，微積分是一個(gè)解決問(wèn)題的藝術(shù)工具而不是邏輯理論，我們更關(guān)心的是怎么理解微積分所蘊(yùn)含的思想并應(yīng)用微積分的思想工具去解決問(wèn)題，而不是沉溺于證明各種微積分的定理和推論，這容易讓我們?cè)诜比叩淖C明細(xì)節(jié)中失去對(duì)微積分整體思想的把控，導(dǎo)致學(xué)完微積分只會(huì)做證明題，而沒(méi)有把握住看問(wèn)題和分析問(wèn)題時(shí)所應(yīng)具備的動(dòng)態(tài)的、極限的、微分的、累加的以及微積分和幾何對(duì)應(yīng)的主要觀念。

那么上面的那個(gè)三角函數(shù)的極限我們可以用它的幾何圖形來(lái)表述：

這是一個(gè)半徑為1的單位圓（之所以這樣設(shè)定半徑是因?yàn)樵谶@面的推斷中更讓我們能夠增加感性認(rèn)識(shí)，摒棄數(shù)學(xué)推導(dǎo)的細(xì)節(jié)），P、Q是這個(gè)圓上的兩個(gè)點(diǎn)，PQ是弦的長(zhǎng)度，L是PQ弧線的長(zhǎng)度，很明顯：

而

也就是說(shuō)這個(gè)三角函數(shù)的極限就是2θ對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)L和弦PQ長(zhǎng)度的比值，在θ不斷趨于0的時(shí)的極限值。當(dāng)θ不斷縮小，弧長(zhǎng)L和弦PQ長(zhǎng)度也都不斷縮小，弧長(zhǎng)和直線在長(zhǎng)度上的差距越來(lái)越小，最終差異趨近于0。我們也可以理解為sinθ和θ在自變量θ的變化過(guò)程中變化速度最終趨于一致，導(dǎo)致了極限值為1。