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說明： 1.《圖解精析中考數(shù)學(xué)壓軸題》試讀版(共56頁） 2.2019年中考數(shù)學(xué)答題需提前訓(xùn)練與適應(yīng)的幾點(diǎn)建議(同樣適用于平時(shí)的期中期末月考等考試） 3.如果你想學(xué)幾何畫板，請關(guān)注本公眾號,進(jìn)入后,輸入'1',即可獲得本人錄制的622分鐘免費(fèi)視頻教程觀看地址. 4.本人主編或編著的書的購買途徑：掃描文章末尾的“微店”二維碼，即可進(jìn)店購買，如有團(tuán)購可直接聯(lián)系或留言“客服”！ 5.輸入'搜索文章'可得到如何快速查找本公眾號的文章（如同百度搜索，方便快捷?。?/strong> 矩形與動(dòng)態(tài)問題（2） ——中考備考系列 【試題5】如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，下列結(jié)論正確的是______（寫出所有正確結(jié)論的序號）. ①當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AF∥CE; ②當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AF=9/5; ③當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，AE= AE=(13 – 2√13)/3 ; ④當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，△CEF≌△AEF. 【圖文簡析】 ①、②當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，連接BE，根據(jù)折疊的性質(zhì)，BF垂直平分CE，如下圖示： 根據(jù)三角形的中位線定理，不難得到AF∥CE.所以①正確. 同時(shí)還可得到AF＝2EM，分別在Rt△BCE和Rt△BEM中，有： 所以EM＝BE2/CE＝…＝9/10. 因此AF＝2EM＝…＝9/5，故②正確. ③與④：當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，不難得到AC＝√13，同時(shí)有：（如下圖示） 在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理，得： (√13－2)2+(3-x)2=x2， 解得x=(13 –2√13)/3. 因此③正確. 因AF≠CF，所以△CEF與△AEF顯然不全等，故④不正確. 綜上所述，結(jié)論正確有①②③. 【拓展】在原有的條件下，當(dāng)AE為何值時(shí)，B、F、D三點(diǎn)在同一直線上？ 答案：AE＝5/3. 【試題6】在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、連結(jié)OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F，連結(jié)EF．已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒． （1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長． （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值． （3）連結(jié)AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，求相應(yīng)的t的值． 圖文解析： （1）簡析：如下圖示： （2）本題多種解法，僅提供兩種解法. 法一：如下圖示： 不難證明，A、E、E、F四點(diǎn)均在以EF的中點(diǎn)M為圓心的圓上，所以∠DEF＝∠CAO＝定角，同時(shí)tan∠DEF＝tan∠CAO＝6/8＝3/4. 法二：如下圖示： 不難證明△DME≌△DNF，得DE：DF＝DN：DM＝3/4.又因DE⊥DF，從而∠DEF為定值，同時(shí)tan∠DEF＝3/4. （3）分兩種情況： 當(dāng)S△DGE：S△DFG＝1：2時(shí)，如下圖示： 則EG:FG＝1:2，得FG:EF=2:3. 下圖示 進(jìn)一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=2:3，從而GH＝2t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝8t/9.所以： 再把G點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AC的解析式可求出t的值為：t=75/41. 當(dāng)S△DFG:S△DGE＝1:2時(shí)，如下圖示： 則EG:FG＝1:2，得FG:EF=1:3.進(jìn)一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=1:3，從而GH＝t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝4t/9.所以：
再把G點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AC的解析式可求出t的值為：t=75/17. 綜上所述，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，t的值為t=75/41或t=75/17. （當(dāng)然本題有相似的判定和性質(zhì)來解，或者相結(jié)合，解法也類似，下面提供思路）
反思：本題是在矩形背景下，融入了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形函數(shù)（相似三角形的判定與性質(zhì)）、平行線分線段成比例定理、一次函數(shù)等知識；綜合性強(qiáng)，難度較大． 下面是本人主編或編著的書 (點(diǎn)擊書名，可閱讀相關(guān)書籍的編寫說明、目錄與樣章) 《優(yōu)學(xué)中考總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)》 【試題7】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF，BF，EF，過點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G，設(shè)AD：AE=n． （1）求證：AE=GE； （2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示AD：AB的值； （3）若AD=4AB，且以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值．
【圖文解析】 （1）如下圖示：
由對稱知，AF=FE，得∠1=∠2，由GF⊥AF，得∠1+∠4=∠2+∠3=90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠3=∠4，進(jìn)一步得到EG=EF，所以AE=EG. （2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，如下圖示：
分別在Rt△ABE和Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得： tan∠1＝a:x=x:na=tan∠2.
（當(dāng)然，本題也可以利用相似和勾股定理來解）. （3）（注：因本題的圖因試題本身?xiàng)l件影響，整體圖形的長寬比值很大，在微信文中很難以正常比例完整顯示，所以作了縮放處理） 題目中有一個(gè)條件是：點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部.而當(dāng)F點(diǎn)落在BC邊上時(shí)，如下圖示： 進(jìn)一步得到：4a/n=a，n=4，所以當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，n＞4，同時(shí)∠FCG＜∠BCD＝90°，因此只有∠CFG=90°或∠CGF=90°兩種可能. ①當(dāng)∠CFG=90°時(shí)，如下圖示，則點(diǎn)F落在AC上，由（2）得， 分別在Rt△ABE和Rt△CDG中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得：
反思 注意此題中的第3小題中有一個(gè)“直角”的基本模型和常見的解題思路，同時(shí)本小題所涉及到的分類討論和方程思想，是解決綜合性問題的常用思路和技巧。 |
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