題：如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，延長AB到D，使BD＝AB，E是AB的中點．求證：CD＝2CE．

這是線段倍半關(guān)系的證明，它是幾何中常見的問題之一，如何解決這類問題呢？下面介紹四種常用的方法：

方法一：利用比例法

其思路是：欲證線段a＝nb（n為常數(shù)），只須證明a/b＝n即可．因此，問題解決的關(guān)鍵在于尋找發(fā)現(xiàn)與a、b有關(guān)的比例式．

在本題中，欲證CD＝2CE，只須證明CD/CE=2．因此，從一只條件出發(fā)，努力尋找與CD、CE相關(guān)的比例式，而要尋找線段比例式，就得先尋找平行線、相似三角形．但題目中顯然沒有這樣的條件，因此，需要從已知出發(fā)去挖掘和發(fā)現(xiàn)．

如圖1，在ΔACE與ΔADC中，由E是AB的中點，得：AE=AB/2，

又AB=AC，

所以AE/AC=（AB/2）/AC=1/2，

因為BD=AB，所以AD=2AB=2AC，

所以AC/AD=1/2，

所以AE/AC=AC/AD，

這表明ΔACE與ΔADC有兩邊對應成比例；

又∠A是它們的公共角，即∠A＝∠A，

ΔACE與ΔADC兩邊對應成比例，且夾角相等，

所以ΔACE∽ΔADC，

所以CE/CD=AC/AD=1/2，

所以CD＝2CE．

方法二：利用折半法

其思路是：欲證線段b＝2a，取較長線段b的中點，將較長的線段b分成相等的兩條線段，然后證明其中一條線段與較短的線段a相等．

在本題中，欲證CD=2CE，取CD的中點F，接下來只需要想辦法證明CF=CE（或DF=CE）即可．而要證明線段相等，最常用的方法是利用'全等三角形對應邊相等'，因此，先找出含有邊CE、CF（或DF）的三角形，再設法證明它們?nèi)龋?/p>

如圖2，連結(jié)BF．在ΔBFC與ΔBEC中，顯然有BC為公共邊，想辦法證明它們?nèi)龋?/p>

因為B是AD的中點，

所以BF∥AC，BF ＝AC/2，

所以∠FBC＝∠ACB，

因為AB＝AC，

所以∠EBC＝∠ACB，

所以∠FBC＝∠EBC，

因為E是AB的中點，所以BE＝AB/2，

所以BF＝BE，

又BC＝BC，

所以ΔBFC≌ΔBEC，

所以CF＝CE，

所以CD＝2CF=2CE．

方法三：利用加倍法

其思路是：欲證線段b＝2a，將較短的線段a延長一倍，再證延長后所得線段與較長的線段b相等．

在本題中，欲證CD=2CE，將CE延長到F，使EF＝CE（如圖3），則CF＝2CE．接下來只需要證明CF＝CD即可．而要證明CF=CD，仿照方法二去尋找全等三角形．

連結(jié)AF、BF．因為E是AB的中點，

所以四邊形AFBC是平行四邊形，

所以BF∥AC，

所以∠FBA＝∠BAC，

所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC

＝∠BAC＋∠ABC，

因為∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，

而AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，

所以∠FBC＝∠DBC，

又BF＝AC＝AB＝BD，BC＝BC，

所以ΔBCF≌ΔBCD，

所以CF＝CD，

所以CD＝2CE．

方法四：利用中位線法

其思路是：從'三角形的中位線等于第三邊的一半'入手，欲證線段b＝2a，構(gòu)造以較長的一條b為第三邊的三角形的中位線，再證明較短的一條a與中位線相等．當題目條件恰好有'中點'時，這種方法顯得尤為珍貴．

在本題中，如圖4，考慮到B是△ACD的邊AD的中點，取AC的中點F，連結(jié)BF．則BF是△ACD的中位線，從而BF＝CD/2，即CD=2BF，因此，欲證CD=2CE，只需要證明BF＝CE．

因為E是AB的中點，AB＝AC，

所以CE 和BF都是等腰△ABC腰上的中線，

所以BF＝CE，

所以CD=2CE．