我們知道，如果a^²+b^²=0，則a=b=0．這是實(shí)數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)，這個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)在初中數(shù)學(xué)解題中卻有著不簡(jiǎn)單的應(yīng)用，當(dāng)已知等式帶有平方關(guān)系時(shí)，設(shè)法將它化為平方和等于0的形式后，問(wèn)題便可以迎刃而解．請(qǐng)看：

例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足x^²+y^²＝2（x＋y-1），求證：x=y=1．

解析：一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，要想解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，一般方法是將這個(gè)方程化為兩個(gè)平方和等于0的形式．因此，從已知等式入手，先把右邊化為0，得：

x^²+y^²-2x-2y+2=0，

把常數(shù)項(xiàng)2拆分為1+1，將左邊分為兩組，得：

(x^²-2x+1)+(y^²-2y+1)=0，

分別配方，得：(x-1) ^²+(y-1) ^²=0，

所以x-1=0且y-1=0，

所以x=y=1.

例2 已知4x^²y^²+x^²+y^²+1=6xy，求(x-1)(y+1)的值．

解析：(x-1)(y+1)可化為xy+x-y-1，因此，設(shè)法從已知中求出x、y的值或xy、x-y的值．

已知等式只有一個(gè)，未知數(shù)卻有兩個(gè)，因此需要嘗試將已知等式配方化為平方和等于0的形式．注意左邊是四個(gè)數(shù)的平方和，它們可化為兩數(shù)和（差）的平方和，但缺少交叉項(xiàng)xy，將右邊的6xy移到左邊，也許可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)．

x^²y^²+4x^²+y^²+1-6xy=0，

將-6xy拆分為兩部分-4xy與-2xy，分別與4x^²y^²+1和x^²+y^²組合，得：

(4x^²y^²-4xy+1)+(x^²-2xy+y^²)=0，

分別配方，得(2xy-1) ^²+(x-y) ^²=0，

所以2xy-1=0，且x-y=0，

即xy=1/2，且x-y=0，

所以(x-1)(y+1)=xy+(x-y)-1

=1/2+0-1=-1/2．

例3已知x^²+y^²-6x+8y+25=0，求x、y的值．

解析：將已知等式化為：

(x^²-6x+9)+(y^²+8y+16)=0，

配方，得：(x-3) ^²+(y+4) ^²=0，

所以x-3=0且y+4=0，

所以x=3，y=-4．

例4已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a^²+b^² +c^²=ab+bc+ac，求證：a=b=c．

解析：設(shè)法將已知等式配方為(a-b) ^²+(b-c)²^ +(a-c) ^²=0.

把已知等式兩邊乘以2，并移項(xiàng)，得：

2a^²+2b^² +2c^²-2ab+2bc+2ac=0，

將2a^²+2b^² +2c^²拆分為a^²+b^² +c^²+ a^²+b^² +c^²，然后分組為：

(a^²-2ab+b^² )+(b^²-2bc+c^²)+(a^²-2ac+c^²)=0，

配方，得：(a-b) ^²+(b-c) ^² +(a-c) ^²=0，

所以a-b=0且b-c=0且a-c=0，

所以a=b=c．

例5已知a、b大于0，且a√(1-b^²)+b√(1-a^²)=1，求證：a^²+b^²=1．

解析：從求證的結(jié)論a^²+b^²=1可知，a=√(1-b^²)，b=√(1-a^²)，

因此，只需要證明[a-√(1-b^²)] ^²+[b-√(1-a^²)] ^²等于0即可．

因?yàn)閇a-√(1-b^²)] ^²+[b-√(1-a^²)] ^²

=a^²-2 a√(1-b^²)+1-b^²+b^²-2 b√(1-a^²) +1-a^²

=2-2[a√(1-b^²)+b√(1-a^²)]，

=2-2×1=0，

所以a-√(1-b^²)=0且b-√(1-a^²)=0，

所以a=√(1-b^²)且b=√(1-a^²)，

兩邊平方，整理，得a^²+b^²=1．

例6求方程√x+√(y-1)+√(z-2)=(x+y+z)/2的實(shí)數(shù)解．

解析：設(shè)法將配方為平方和等于0的形式．

方程去分母，化為：x+y+z-2√x-2√(y-1)-2√(z-2)=0，

整理為：[x-2√x+1]+[(y-1)-2√(y-1)+1]+[(z-2)-2√(z-2)]=0，

注意到x=(√x)^²，y-1=[√(y-1)]^² ，z-2=[√(z-2)]^²，

因此可分別配方，得：

(√x-1) ^²+[√(y-1)-1] ^²+[√(z-2)-1] ^²=0，

所以√x-1=0且√(y-1)-1=0且√(z-2)-1=0，

分別解之，得：x=1，y=2，z=3.

例7 已知四邊形的四邊a、b、c、d滿足a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd．求證：四邊形是菱形．

解析：首先，把已知等式的右邊化為0的形式，得：

a⁴^+b^⁴+c^⁴+d^⁴-4abcd=0，

既然要證明a=b=c=d，那就說(shuō)明這個(gè)等式可以化為關(guān)于a、b、c、d差的平方和等于0的形式．

根據(jù)完全平方公式，先把a(bǔ)^⁴+b^⁴和c^⁴+d^⁴分別化為：

a^⁴+b^⁴ =(a^²-b^²) ^²+2a^²b^²；

c^⁴+d^⁴=(c^²-d^²) ^²+2c^²d^²；

則已知等式可化為：

(a^²-b^²) ^²+2a^²b^²+(c^²-d^²) ^²+2c^²d^²-4abcd；

整理為：(a^²-b^²) ^²+ (c^²-d²^)^²+2(a^²b^²-2abcd+c^²d^²)=0，

顯然，a^²b^²-2abcd+c^²d^²=(ab-cd) ^²，

所以(a^²-b^²) ^²+ (c^²-d^²) ^²+2(ab-cd) ^²=0，

所以a^²-b^²=c^²-d^²=2(ab-cd)=0，

所以a^²=b^²，c^²=d^²，ab=cd，

因?yàn)閍、b、c、d都是正數(shù)，

所以a=b=c=d，

所以四邊形是菱形．