在數學中，沒有研究人員是在真正孤立的環(huán)境中工作研究。即使是那些獨自研究的人，也會利用同事和前輩的理論和方法來發(fā)展新思想。但是，當一種已知的技術在實踐中太難使用時，數學家可能會忽略一些重要的（或者可以解決的）問題。最近，我和幾位數學家一起參與了一個項目，使這種技術更容易使用。我們制作了一個計算機程序包來解決一個叫做“s -單位方程”的問題，希望所有種類的數論家都能更容易地解決數學中各種各樣尚未解決的問題（下圖1所示為中國超級計算機天河二號）。

丟番圖方程

在他著作的《算術》中，數學家Diophantus研究了代數方程，這些方程的解必須是整數。碰巧，這些問題與數論和幾何都有很大關系，數學家們從那時起就一直在研究它們。為什么只添加整數解的限制？有時，原因是實際的，養(yǎng)13.7只羊或買-1.66輛車是沒有意義的。此外，數學家被這些問題吸引，現(xiàn)在稱為丟番圖方程。這種吸引力來自于他們驚人的困難，以及他們揭示數學本質基本真理的能力。事實上，數學家往往對丟番圖問題的具體解不感興趣。但是當數學家們開發(fā)新技術時，他們的力量可以通過解決以前未解的丟番圖方程來證明。安德魯·懷爾斯對費馬最后定理的證明就是一個著名例子。

在《算術》中，數學家Diophantus研究了代數方程，這些方程的解必須是整數，圖示是《算術》的一小段。圖片：Diophantus

皮埃爾·德·費馬聲稱在1637年的一份“速算比賽”，已經解決了丟番圖方程x?+ y?= z?，但沒有理由。當懷爾斯在300多年后證明這一點時，數學家們立刻注意到了。如果懷爾斯提出了一個可以解決費馬問題的新想法，那么這個想法還能做什么呢？數論家們爭先恐后地去理解懷爾斯的方法，對其進行概括，并發(fā)現(xiàn)新的結果。沒有一種方法可以解出所有丟番圖方程。相反，數學家們開發(fā)了各種各樣的技術，每一種都適用于特定類型的丟番圖問題，而不是其他問題。因此，數學家根據這些問題的特征或復雜性來分類，就像生物學家根據分類法來分類物種一樣。

更細分類

這種分類產生了專家，因為不同的數論家專門研究與丟番圖問題不同系列有關的技術，如橢圓曲線、二元形式或圖埃-馬勒方程。在每個大分類中，都可以定制更精細的分類。數學家發(fā)展出不變量（方程中出現(xiàn)的系數的某些組合）來區(qū)分同一族中的不同方程。計算一個特定方程的這些不變量很容易。然而，與數學其他領域更深層次的聯(lián)系涉及到更有挑戰(zhàn)性的問題，例如：是否存在具有不變量13的橢圓曲線？或“有多少二進制形式具有不變量27？s單位方程可以用來解決許多更大的問題。S表示與特定問題相關的素數列表，如{2,3,7}。s單位是一個分數，它的分子和分母只由列表中的數字相乘而成。

安德魯·懷爾斯(右)因其對費馬最后定理的解答而獲得沃爾夫斯基爾獎。圖片：Peter Mueller/REUTERS

在這種情況下，3/7和14/9是s單位，但6/5不是。s -單位方程的表述看似簡單：找出所有加1的s -單位對。找一些解，比如(3/ 7,4 /7)，可以用筆和紙來做。但關鍵字是“全部”，這使得問題在理論上和計算上都很困難，怎么能確定所有的解決方案都找到了呢？理論上，數學家們已經知道如何解s -單位方程好幾年了。然而，這個過程是如此錯綜復雜，以至于沒有人能真正用手解出這個方程，而且很少有案例得到了解決。這令人沮喪，因為許多有趣的問題已經被簡化為“僅僅”求解某個特定的s單位方程。

計算機-解算器工作

然而，情況正在發(fā)生變化。自2017年以來，包括我在內的六名北美數論專家一直在為開源數學軟件SageMath構建一個S-unit方程求解器。2019年3月3日，我們宣布項目完成。為了說明它的應用，使用該軟件解決了一些開放丟番圖問題。s -單位方程的主要困難在于，雖然只有少數解存在，但有無窮多個s -單位可能是一個解的一部分。通過結合著名的Alan Baker定理和Benne de Weger精細算法技術，該求解器從考慮中消除了大多數s單位。即使在這一點上，可能還有數十億個s -單位（或者更多）需要檢查。

求解s -單位方程的過程非常復雜，幾乎沒有人嘗試過手工求解。

程序現(xiàn)在試圖使最后的搜索盡可能有效，這種計算s -單位方程的方法已有20多年的歷史，但由于計算過程復雜且耗時，使用的很少。以前，如果一個數學家遇到一個她想解的s單位方程，沒有自動解的方法。她必須小心地完成貝克、德韋格等人的工作，然后編寫自己的計算機程序來進行計算。運行該程序可能需要數小時、數天甚至數周才能完成計算。最后我們希望這個軟件能幫助數學家們解決數論中的重要問題，增進他們對數學的本質、美和有效性的理解。