【題頭】

若一個(gè)系統(tǒng)不受外力或者所受外力之和為零時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。若整個(gè)系統(tǒng)所受的外力之和不為零，而在某一個(gè)方向上所受外力之和為零，雖然該系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，但是在此方向上動(dòng)量守恒。

【問(wèn)題】

如圖所示，在光滑的水平桿上套著一個(gè)質(zhì)量為m的滑環(huán)，滑環(huán)上通過(guò)一根不可伸縮的輕繩懸吊著質(zhì)量為M的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，繩長(zhǎng)為l. 將滑環(huán)固定時(shí)，給物塊一個(gè)水平?jīng)_量，物塊擺起后剛好碰到水平桿，若滑環(huán)不固定，仍給物塊以同樣的水平?jīng)_量，求物塊擺起的最大高度。

【解析】

當(dāng)滑環(huán)固定時(shí)，選取物塊為研究對(duì)象，物塊在上擺的過(guò)程中，只有重力做功，所以物塊的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得物塊的初速度v₀。

即：                                                                   (1)

當(dāng)滑環(huán)不固定時(shí)，在物塊上擺的過(guò)程中，滑環(huán)也會(huì)在光滑的水平桿上水平滑動(dòng)，這時(shí)繩子上的力也將對(duì)小物塊做功，單獨(dú)分析小滑塊，情況已變得復(fù)雜。若分析滑環(huán)和物塊兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，由于水平桿光滑，所以整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上不受外力，而豎直方向上由于小滑塊在上擺過(guò)程中有豎直方向上的動(dòng)量，所以系統(tǒng)在豎直方向上合外力不為零，即系統(tǒng)只在水平方向上動(dòng)量守恒。同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)除了物塊重力做功以外，無(wú)其他力做功，所以系統(tǒng)同時(shí)滿足機(jī)械能守恒定律。

當(dāng)物塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，物塊無(wú)豎直方向分速度，物塊和滑環(huán)具有相同的水平速度。若取水平向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒以及機(jī)械能守恒定律可得：

                                                                             (2)

                                 (3)

由式(1) (2) (3)聯(lián)立得：

所以物塊擺起的最大高度為

【拓展】

如圖所示，半徑為R、質(zhì)量為M、內(nèi)表面光滑的半球物體放在光滑的水平面上，左端緊靠著墻壁。一個(gè)質(zhì)量為m的小球從半球形物體的頂端的a點(diǎn)無(wú)初速釋放，圖中b點(diǎn)為半球的最低點(diǎn)，c點(diǎn)為半球另一側(cè)與a點(diǎn)等高的頂點(diǎn)，關(guān)于物塊M和m的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的有

A．m從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，m與M系統(tǒng)的機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒

B．m從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，m的機(jī)械能守恒

C．m釋放后運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)右側(cè)，m能到達(dá)最高點(diǎn)c

D．當(dāng)m首次從右向左到達(dá)最低點(diǎn)b時(shí)，M的速度達(dá)到最大

【解析】

A、小球從a到b過(guò)程中只有重力做功，所以兩物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但左側(cè)墻壁對(duì)半球有彈力，所以動(dòng)量不守恒，故A錯(cuò)誤。

B、小球從a到b過(guò)程中，M給m的支持力時(shí)刻與m的運(yùn)動(dòng)速度垂直，不做功，所以在這個(gè)過(guò)程中，只有重力對(duì)m做功，所以m的機(jī)械能守恒，故B正確。

C、m釋放到達(dá)b點(diǎn)右側(cè)后，M將離開(kāi)墻面，有水平向右的速度，此時(shí)m和M整個(gè)系統(tǒng)的水平方向上動(dòng)量守恒，最終m和M將達(dá)到共同速度，由機(jī)械能守恒知，m肯定不能到達(dá)最高點(diǎn)c，故C錯(cuò)誤。

D、選m與M組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在C選項(xiàng)中已經(jīng)分析，在m達(dá)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)二者具有共同的速度，之后返回的過(guò)程中，此系統(tǒng)依然滿足水平方向上動(dòng)量守恒條件，當(dāng)m從右向左到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，m具有向左的最大速度，這時(shí)M具有最大的向右速度，故D正確。故選BD

【品析】

上述兩類模型均符合某一方向上動(dòng)量守恒，類似情況還有處于在光滑水平面的斜面體，有一小物塊在斜面體上滑動(dòng)時(shí)；或者在光滑水平面上的自由小車（木板）上連接一個(gè)擺球，擺球下降或者上升過(guò)程中，此類系統(tǒng)在水平方向上均不受外力，則水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒。確定了在哪一方向上動(dòng)量守恒，再結(jié)合機(jī)械能守恒或能量守恒的觀點(diǎn)即可解決此類問(wèn)題。