這是《機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》系列的第8篇，也是微積分的第1篇。

提起微積分，你的第一印象是什么？復(fù)雜的公式？艱難的求導(dǎo)？今天我們拋開(kāi)這些統(tǒng)統(tǒng)不談，從最常見(jiàn)的圓的面積切入，讓你更直觀、更形象地理解微積分。

說(shuō)起圓的面積，大伙都知道，就是πr2。那這個(gè)是怎么來(lái)的呢？我們先畫(huà)個(gè)圓：

如上圖，這是一個(gè)圓，它的半徑是r。那怎么求它的面積呢？這里我們用分割法，把圓分割成一個(gè)個(gè)的小圓環(huán)，如下圖所示：

那么圓的面積，就等于這些圓環(huán)的面積之和。而且可以看出，越往里，圓環(huán)的周長(zhǎng)越小；越往外，圓環(huán)的周長(zhǎng)越大。我們單獨(dú)拿一個(gè)圓環(huán)出來(lái)，假設(shè)它是用紙做的，用剪刀剪開(kāi)，就得到下面這個(gè)梯形：

這個(gè)梯形的下底邊的長(zhǎng)度是2πr，也就是這個(gè)圓環(huán)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)，r就是這個(gè)圓環(huán)所對(duì)應(yīng)的半徑，梯形的高我們暫且就叫他dr吧。那么，我們分割的圓環(huán)越細(xì)，也就是說(shuō)dr越小，這個(gè)梯形的面積就越接近于長(zhǎng)方形的面積。其中，長(zhǎng)方形的底就是2πr，高就是dr。

好，現(xiàn)在我們要做一個(gè)游戲。把圓中所有的圓環(huán)都抽出來(lái)，并且都剪開(kāi)，就得到了一個(gè)又一個(gè)的長(zhǎng)方形（近似）。然后，把這些小長(zhǎng)方形都豎起來(lái)，按從小到大的順序排列好，就得到了下圖：

我們想要圓的面積，也就是上圖中綠色小長(zhǎng)方形的面積。觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)，我們把圓分割的越細(xì)，也就是每個(gè)長(zhǎng)方形越窄，那綠色長(zhǎng)方形的面積就越接近于三角形OAB的面積。那當(dāng)我們把圓分割的足夠細(xì)的時(shí)候，也就是說(shuō)當(dāng)長(zhǎng)方形的寬接近于0，但不等于0的時(shí)候，可以認(rèn)為，圓的面積就是三角形OAB的面積。

再來(lái)仔細(xì)看看這個(gè)△OAB，三角形的底OA是啥呢？OA就是由很多個(gè)小長(zhǎng)方形的寬組合而成的，那小長(zhǎng)方形的寬加起來(lái)，就是圓的半徑r。三角形的高AB呢？它就是最外面那個(gè)圓環(huán)的周長(zhǎng)，也就是2πr。所以，這個(gè)三角形的面積就是底乘高再除以2。也就是說(shuō)，圓的面積p=1/2*r*2πr=πr2。

OK，大功告成。