本文作者：劉玉穎

20世紀(jì)中葉，物理學(xué)從研究簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)走向復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。復(fù)雜性科學(xué)作為一門新興的學(xué)科已經(jīng)涉足宇宙天體物理、地球科學(xué)、生命科學(xué)、人類社會(huì)等自然界出現(xiàn)的種種復(fù)雜現(xiàn)象?；煦缯摬粌H適用于大到宇宙天體，小到微觀粒子，而且適用于我們看得見、摸得著的世界，適用于與人本身同一尺度的研究對(duì)象，因而是應(yīng)用范圍更廣的理論。自20世紀(jì)60年代洛倫茲(E．N．Lorenz)首先采用計(jì)算機(jī)數(shù)值法研究氣象學(xué)的混沌(chaos)問(wèn)題以來(lái)，對(duì)混沌的研究不斷深入，混沌在學(xué)科上屬于非線性動(dòng)力學(xué)，是指在決定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種對(duì)初始條件極其敏感的隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)[1]。這種對(duì)初值的極端敏感性又稱為“蝴蝶效應(yīng)”。大學(xué)基礎(chǔ)物理教學(xué)內(nèi)容不包括“混沌”的內(nèi)容，但是，如今“混沌”的研究已完全超出數(shù)學(xué)和物理學(xué)的范圍，它在自然科學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，甚至應(yīng)用于許多社會(huì)學(xué)科。自然界有3種基本運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，混沌是其中之一，其余兩種是大家熟悉的，即確定性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文結(jié)合“相圖”這一非線性動(dòng)力學(xué)最基本的方法和洛倫茲方程組，簡(jiǎn)單地介紹混沌這一重要概念和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以豐富讀者對(duì)“混沌”的理解和認(rèn)識(shí)。

1 牛頓力學(xué)與決定論

在長(zhǎng)達(dá)兩千多年的科學(xué)史詩(shī)中，最華麗的篇章是牛頓力學(xué)的降臨，他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的主體就是討論萬(wàn)有引力定律，這是牛頓一生在物理學(xué)上最大的貢獻(xiàn)。通過(guò)萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)規(guī)律決定了整個(gè)宇宙的運(yùn)行，后可預(yù)測(cè)未來(lái)，前可反演過(guò)去[2]。在牛頓力學(xué)中，如果已知初始條件，對(duì)于有序系統(tǒng)我們可以預(yù)測(cè)其未來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。牛頓力學(xué)在天文學(xué)上的處理是最成功的，科學(xué)家可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)宇宙飛船的著陸、行星運(yùn)行的位置、日食月食何時(shí)發(fā)生等。牛頓力學(xué)的方法導(dǎo)致17、18世紀(jì)的科學(xué)家和哲學(xué)家采用決定論觀點(diǎn)：認(rèn)為宇宙是一個(gè)巨大的時(shí)鐘，由初始的位置和動(dòng)量可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)宏觀物體和微觀物體的將來(lái)。類似的，在量子的微觀世界，我們可以預(yù)測(cè)電子在原子中某位置出現(xiàn)的概率以及放射性元素的半衰期。在有序系統(tǒng)中，不管是牛頓力學(xué)的宏觀世界還是微觀的量子世界，可預(yù)測(cè)性取決于初始條件[3]。

2 預(yù)測(cè)性的局限性

20世紀(jì)科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，人們看到盡管牛頓的方法可以預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為和復(fù)雜系統(tǒng)的短期行為，但在一些系統(tǒng)中仍存在著理論和實(shí)際的預(yù)測(cè)局限性。例如：人們不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為，其實(shí)際的局限性表現(xiàn)為人們不能準(zhǔn)確確定初始條件，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)的時(shí)間，初始條件的微小誤差也會(huì)引起計(jì)算結(jié)果的顯著變化[4]。另外，宇宙中的每一個(gè)物體都與其他所有物體存在相互作用。人們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用理想化模型，忽略非常微弱的作用力。但是，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，非常微小的作用力也會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。例如太陽(yáng)光的長(zhǎng)時(shí)間累積效果會(huì)對(duì)小行星的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。

另一種預(yù)測(cè)的局限性表現(xiàn)為對(duì)初始條件的極端敏感性，初始條件的微小差異導(dǎo)致物體運(yùn)動(dòng)行為結(jié)果的巨大變化，近些年科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始條件發(fā)生極其微小的變化時(shí)，導(dǎo)致結(jié)果失去可預(yù)測(cè)性。系統(tǒng)內(nèi)對(duì)兩種可能出現(xiàn)的結(jié)果，它們之間的差異隨著時(shí)間的增大呈指數(shù)變化，具有固有的不可預(yù)知性，這樣的系統(tǒng)被稱為“混沌系統(tǒng)”(chaotic system)。

3 混沌

“混沌”一詞在中外文化中有著淵源悠久的歷史。在古希臘，它的原意是事物生成前宇宙的原始空虛狀態(tài)，在有序宇宙之前曾存在過(guò)的無(wú)序無(wú)形物質(zhì)，即首先是混沌，然后才有大地和欲念；在我國(guó)，古人想象中的世界生成前的狀態(tài)，“夫太極之初，混沌未分”。如今，“混沌”有了科學(xué)的定義，“混沌”是確定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的隨機(jī)行為的總稱，它的根源在于系統(tǒng)內(nèi)非線性相互作用。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)敏感地依賴于初始條件，從而系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為具有不可預(yù)測(cè)性，即有“蝴蝶效應(yīng)”。

為了對(duì)非線性運(yùn)動(dòng)的特征做出定性描述，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊提出“相圖法”，相圖的描述方法是非線性力學(xué)中最基本的方法。相圖法可表述如下：將質(zhì)點(diǎn)的位置(或角位置)作為橫坐標(biāo)軸，將速度(或角速度)作為縱坐標(biāo)軸，橫縱坐標(biāo)軸構(gòu)成的平面為相平面。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)相平面上的一個(gè)點(diǎn)，為相點(diǎn)。相點(diǎn)在相平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，稱為相圖[5]。區(qū)別于位移-時(shí)間、速度-時(shí)間曲線來(lái)描述運(yùn)動(dòng)，在相圖里失去位移、速度隨時(shí)間變化的信息，但是可以得到動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局信息，給出其軌線形態(tài)類型及其穩(wěn)定性問(wèn)題。相圖自19世紀(jì)龐加萊提出以來(lái)，至今有著深遠(yuǎn)的影響[1]。

對(duì)于非線性振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)與驅(qū)動(dòng)力間不再有線性關(guān)系。例如對(duì)于單擺和倒擺，在給定能量時(shí)運(yùn)動(dòng)都是確定的，但都存在不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著相圖中的(雙曲點(diǎn)或鞍點(diǎn)，圖中曲線相交的點(diǎn))(圖1)。假定存在阻尼或驅(qū)動(dòng)力，擺做受迫振動(dòng)，圖1中雙曲點(diǎn)的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動(dòng)的可能[1]。在一定的參數(shù)下，在單擺和倒擺的受迫振動(dòng)中，會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)?；煦邕\(yùn)動(dòng)的相軌則趨于非常復(fù)雜的吸引子，叫奇怪吸引子或混沌吸引子。

1903年法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊從動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和拓?fù)鋵W(xué)出發(fā)，指出可能存在混沌特性，從而成為世界上最先了解存在混沌可能性的人。隨后有不少數(shù)學(xué)家開始研究混沌理論?；煦缢猿蔀榇蟊娭獣缘拿~，這與美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲(E.N.Loreng)的工作有很大的關(guān)系；靜止的黏性流體，當(dāng)溫度不均勻時(shí)它將如何運(yùn)動(dòng)？20世紀(jì)60年代洛倫茲研究的兩無(wú)限平面間流體的運(yùn)動(dòng)，提出一個(gè)簡(jiǎn)化到只有3個(gè)變量的描述大氣對(duì)流的非線性微分方程組上述方程組中不包含任何外加的隨機(jī)變量，其中，x變量與對(duì)流強(qiáng)弱有關(guān)；y變量與水平方向溫差有關(guān)；z變量與垂直方向溫差有關(guān)；σ、γ、b為3個(gè)參數(shù)，σ=10，b=-8/3，γ取值可變化。方程可具體表示為[6]

(1)

(2)

上述方程組沒(méi)有解析解，洛倫茲利用計(jì)算機(jī)計(jì)算氣候的演變情況。他用兩組差別極小的初始值(第二組采用的初值僅比第一組少最后一位有效數(shù)字)，進(jìn)行兩次重復(fù)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)隨著計(jì)算的時(shí)間進(jìn)程的推進(jìn)，兩次計(jì)算結(jié)果的差別越來(lái)越大，最后導(dǎo)致完全沒(méi)有相似之處，洛倫茲用計(jì)算機(jī)求解這組方程算了3000步，在開始的1000 步，有點(diǎn)像周期解，隨后卻越來(lái)越看不出規(guī)律，在2000步以后，變?yōu)楹翢o(wú)規(guī)律的混沌。計(jì)算結(jié)果在相空間表現(xiàn)為圍繞兩個(gè)環(huán)來(lái)回轉(zhuǎn)圈。這種現(xiàn)象被后人稱為奇怪吸引子(圖2)。在洛倫茲之前，人們由于只了解平面上的運(yùn)動(dòng)，對(duì)吸引子的了解僅限于平衡點(diǎn)、極限環(huán)等少數(shù)類型。由于洛倫茲方程的引進(jìn)，使人們看到了以前沒(méi)有見過(guò)的吸引子，所以稱為奇怪吸引子[6]。這樣的結(jié)果大大出乎人們的預(yù)料，比想象的復(fù)雜得多。這個(gè)方程也由此而出名，被稱為洛倫茲方程。

洛倫茲奇怪吸引子是最早發(fā)現(xiàn)的一類向混沌轉(zhuǎn)化的例子。這種對(duì)初始條件的靈敏現(xiàn)象被形象地稱為“蝴蝶效應(yīng)”，它來(lái)自洛倫茲的一次演講，“在巴西熱帶雨林中的一只蝴蝶扇動(dòng)了一下翅膀，可能會(huì)在德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)”。反過(guò)來(lái)理解這句話，就是蝴蝶不扇動(dòng)翅膀就不會(huì)引起龍卷風(fēng)。蝴蝶扇不扇翅膀?qū)Υ髿鈱?duì)流來(lái)說(shuō)顯然是一個(gè)差別極小的初始條件，但導(dǎo)致的結(jié)果卻有著巨大的差別，正所謂“差之毫厘，失之千里”。今天人們談到“蝴蝶效應(yīng)”時(shí)通常指非常微小的條件差異會(huì)產(chǎn)生巨大的影響效果?！昂?yīng)”，這個(gè)名詞的起源可能與下面的故事不無(wú)關(guān)系。在洛倫茲即將成為一名氣象專業(yè)學(xué)生的那年圣誕節(jié)，他的姐姐送給他一本名為《風(fēng)暴》的書，書中敘述了一位在中國(guó)的老人打了一個(gè)噴嚏，在美國(guó)紐約就引發(fā)了一場(chǎng)大雪。

自然界有3種基本運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，混沌是其中之一，其余兩種是確定性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。自從牛頓以來(lái)，科學(xué)界形成一種任何復(fù)雜的自然現(xiàn)象都可以用一組確定的方程來(lái)描述，物體的運(yùn)動(dòng)完全包含在這組方程和初始條件中，只要知道初始條件，就可確定地預(yù)言物體的未來(lái)和追溯它的過(guò)去。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯是牛頓的崇拜者，是“決定論”思想的代表者，他曾宣稱：只要知道初始條件我就可以決定未來(lái)的一切，確定性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特點(diǎn)就是對(duì)初始條件不是很敏感的。自然界也存在著各種各樣的隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，例如骰子的滾動(dòng)、氣體分子的運(yùn)動(dòng)、山溪的奔流等。在山溪的奔流中，不管我們已知水面上漂浮的小物塊的初始條件多么精確，我們不能預(yù)測(cè)其運(yùn)動(dòng)到下游的準(zhǔn)確位置；這種不可預(yù)測(cè)的性質(zhì)表明不存在確定的因果關(guān)系，即具有隨機(jī)性的因素。19世紀(jì)玻爾茲曼奠定了氣體動(dòng)理論基礎(chǔ)，闡明了大量分子組成的體系行為的隨機(jī)性質(zhì)，顯然個(gè)別分子的行為難以預(yù)測(cè)，但大量分子組成的氣體行為在統(tǒng)計(jì)上是可以預(yù)測(cè)的。在20世紀(jì)初量子力學(xué)產(chǎn)生后，人們認(rèn)為在微觀世界里，確定論不適用，但是在宏觀力學(xué)中，確定論還是絕對(duì)正確的?；煦缦到y(tǒng)的特征在于初始條件的微小差別導(dǎo)致結(jié)果的巨大變化。由以上敘述可知，混沌打破了確定論和隨機(jī)論這兩套描述體系之間的鴻溝，在這兩套描述體系之間架起了一座橋梁?，F(xiàn)在人們開始認(rèn)識(shí)到在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)也可以出現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象的存在，意味著精確預(yù)測(cè)能力受到一種新的根本性限制，它徹底破除了拉普拉斯式的決定論觀念。所以人們把混沌的發(fā)現(xiàn)認(rèn)為是科學(xué)在20世紀(jì)的重大進(jìn)展[6]。

4 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合相圖和洛倫茲方程組簡(jiǎn)要介紹了混沌運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，混沌與確定性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)別。混沌現(xiàn)象的隨機(jī)性不是來(lái)源于系統(tǒng)中包含大量分子的那種隨機(jī)性，而是來(lái)源于非線性系統(tǒng)中微小差異的增長(zhǎng)量是按指數(shù)增加的方式進(jìn)行的，從而具有對(duì)初始值敏感的行為?；煦缪芯勘砻?，現(xiàn)實(shí)世界更多的是一個(gè)有序與無(wú)序相伴、確定性與隨機(jī)性統(tǒng)一、簡(jiǎn)單與復(fù)雜一致的世界。由于混沌的發(fā)現(xiàn)，使人類對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)有了一個(gè)飛躍。新的觀念正在把科學(xué)家的熱情引導(dǎo)到探索復(fù)雜的非線性領(lǐng)域，大大豐富了人們對(duì)于事物演化的認(rèn)識(shí)?；煦绗F(xiàn)象研究建立起來(lái)的新概念正在進(jìn)入物理學(xué)、天文學(xué)、生物、地學(xué)、醫(yī)學(xué)等自然科學(xué)和一些社會(huì)科學(xué)的領(lǐng)域。目前生命科學(xué)和醫(yī)學(xué)中已經(jīng)有很多方面應(yīng)用混沌理論進(jìn)行研究，例如，生態(tài)學(xué)中的混沌、神經(jīng)系統(tǒng)中的混沌、心臟節(jié)律的混沌、腦電信號(hào)混沌控制、激光誘導(dǎo)的DNA分子混沌態(tài)的量子模型簡(jiǎn)介、蛋白質(zhì)的混沌態(tài)等?；煦缋碚搼?yīng)用發(fā)展最快的領(lǐng)域還應(yīng)屬生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域[8]。

有趣的是，混沌不是毫無(wú)預(yù)測(cè)的，在混沌系統(tǒng)中，也具有規(guī)律性的模式。也就是說(shuō)，混沌不是純粹的無(wú)序，而是不具備周期性變化和其他明顯對(duì)稱特征的有序態(tài)[8]；在混沌中具有有序性?？茖W(xué)家們已經(jīng)能夠從數(shù)學(xué)上處理混沌系統(tǒng)并且發(fā)現(xiàn)其有序的部分?；煦绗F(xiàn)象和許多物理現(xiàn)象一樣，既存在有害的一面又存在有利的一面。所以如何避免混沌的弊端而利用它有益的一面，需要進(jìn)一步研究混沌理論，從而達(dá)到控制混沌的目的。總之，混沌為我們展示了廣闊的應(yīng)用前景。

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