在初中數(shù)學(xué)我們經(jīng)常會(huì)碰到這樣的一類問(wèn)題，題目當(dāng)中明明沒(méi)有圓，但是解題中卻要用到圓的知識(shí)，甚至需要自己去構(gòu)造圓，來(lái)解決問(wèn)題。我們把這樣的問(wèn)題，歸納為隱形圓問(wèn)題。前面的文章我已經(jīng)總結(jié)過(guò)四類隱形圓模型，大家可以翻看我之前發(fā)表的文章進(jìn)行學(xué)習(xí)。

今天我們來(lái)學(xué)習(xí)另外一種，比較少見(jiàn)的隱形圓模型，叫做“定角對(duì)動(dòng)弦”類問(wèn)題。

相信大家對(duì)定弦定角問(wèn)題已經(jīng)非常熟悉了，因?yàn)樵诤芏囝}目當(dāng)中經(jīng)常會(huì)碰到，通過(guò)構(gòu)造圓，我們都能夠非常熟練的解決。但是如果定角所對(duì)的那條線是運(yùn)動(dòng)的，或者說(shuō)長(zhǎng)度是發(fā)生改變的，那么又該如何去解決呢？

首先，我們來(lái)看一道例題。

例1：如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為 ，最小值為 .

【分析】在這道題當(dāng)中，首先角bac的度數(shù)是一定的，由于點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)，所以AP的長(zhǎng)，是在不斷發(fā)生變化的，因此圓p的半徑在發(fā)生變化，從而DE的長(zhǎng)度也會(huì)發(fā)生改變。由于角BAC是圓p的圓周角，它的度數(shù)是60度，因此，根據(jù)圓周角定理，可以知道角DPE的度數(shù)始終是120度。從而弦DE的長(zhǎng)，始終等于圓p半徑的根號(hào)3倍。所以，當(dāng)圓p的半徑最大時(shí)，DE長(zhǎng)也最大，當(dāng)圓p的半徑最小時(shí)，DE長(zhǎng)也最小。

【簡(jiǎn)答】連接PE、PD，過(guò)P作PH⊥DE與H，則EH=DH，∠DPH=60°，

【總結(jié)】從這道題當(dāng)中我們可以學(xué)習(xí)到，定角所對(duì)的弦是運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，仍然可以利用隱形圓去解決。對(duì)比我們之前講過(guò)的定弦對(duì)定角的問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)題目中出現(xiàn)定角對(duì)定弦時(shí)，隱形圓的半徑是固定的，若定角所對(duì)的弦是動(dòng)弦，那么隱形圓的半徑是變化的，所得到的圓是一個(gè)動(dòng)態(tài)圓，但是我們?nèi)匀徊灰ε拢瑒?dòng)態(tài)問(wèn)題可以靜態(tài)的去分析，利用已知條件和圓的相關(guān)知識(shí)，找到所求與已知的等量關(guān)系去解決這樣的問(wèn)題。

下面我們來(lái)看一下例2。

例2：已知矩形ABCD中，AB=√3，BC=3，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，且∠ABE=∠BFE，則BF的最小值是 .

【分析】∵∠ABE=∠BFE，∴∠BFE+∠EBF=∠ABE+∠EBF=90°，∴∠BEF=90°，

B、E、F三點(diǎn)可看做在以BF為直徑的⊙O上，直徑BF是變化的，屬于定角動(dòng)弦類隱形圓模型。要使BF最小，只需OE最小，若O是定點(diǎn)，那么當(dāng)OE⊥AC時(shí)，OE最小，則BF也最小，但此題中，隨著E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的，從而O點(diǎn)也是運(yùn)動(dòng)的，就不能直接說(shuō)當(dāng)OE⊥AC時(shí)，OE最小.

【簡(jiǎn)答】我們可以這么做：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AC于H，則△OHC∽△ABC，

【總結(jié)】在這道題當(dāng)中，我們應(yīng)該很容易能夠做出這個(gè)隱形圓，再利用直角三角形當(dāng)中斜邊大于直角邊這樣的一個(gè)思想，巧妙的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q這道題。