任何一個(gè)數(shù)，都能在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系上找到相應(yīng)的點(diǎn)。對(duì)數(shù)進(jìn)行不同的定義、命名、進(jìn)制轉(zhuǎn)換等，數(shù)所在的集合確實(shí)可能會(huì)有所改變。但無(wú)論人為如何操作，都不會(huì)改變這個(gè)數(shù)的存在。

無(wú)理數(shù)的概念和集合

我們把實(shí)數(shù)集合范圍內(nèi)所有含無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)，反之為有理數(shù)。相對(duì)于有理數(shù)，無(wú)理數(shù)無(wú)法表示成分?jǐn)?shù)a/b(a、b均為整數(shù))的形式?！?、√3、π、e等都是常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)。

無(wú)理數(shù)是人為定義的十進(jìn)制下一個(gè)數(shù)的集合。這個(gè)集合存在與否，不會(huì)增加或減少集合內(nèi)元素的數(shù)量。同樣的，如果改變進(jìn)位計(jì)數(shù)制度，也不會(huì)影響原集合內(nèi)元素的數(shù)量。

但是，在改變了進(jìn)位計(jì)數(shù)制度之后，該數(shù)是否還具有原集合的特性，以及該進(jìn)位計(jì)數(shù)制度下元集合的定義是否仍繼續(xù)適用，這將可能有很大變化。

舉例：如π，在十進(jìn)制下π為無(wú)理數(shù)。假設(shè)人為定義π進(jìn)制，且在π進(jìn)制下“無(wú)理數(shù)”和“有理數(shù)”概念仍然適用，那么π還是那個(gè)π，但從集合看它已屬于“有理數(shù)”。

問(wèn)題在于：π進(jìn)制下，當(dāng)前十進(jìn)制的“無(wú)理數(shù)”和“有理數(shù)”概念是否適用呢？答案不得而知，還要看人為如何定義。

二進(jìn)制的基礎(chǔ)普及

二進(jìn)制大家并不陌生，我們使用的手機(jī)、電腦、電視機(jī)都一切科技產(chǎn)品，都與二進(jìn)制息息相關(guān)。不過(guò)日常生活中我們更習(xí)慣十進(jìn)制，為了更好的相互理解和溝通，二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換顯得有必要基礎(chǔ)普及。

在十進(jìn)制中，當(dāng)數(shù)到達(dá)9之后我們不在創(chuàng)造新的字符，而是通過(guò)進(jìn)位的方式重復(fù)使用0~9的十個(gè)字符。

二進(jìn)制也是一樣，只使用0和1兩個(gè)字符。當(dāng)數(shù)達(dá)到1之后，我們通過(guò)進(jìn)位的方式重復(fù)使用這兩個(gè)字符。

那么我們有如下等式：

十進(jìn)制與二進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換 通用公式：

[十進(jìn)制]abcd.efg=(d*2^0+c*2^1+b*2^2+a*2^3)+(e*2^-1+f*2^-2+g*2^-3)[二進(jìn)制]

二進(jìn)制下的π轉(zhuǎn)換

在十進(jìn)制下，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候?yàn)榱巳〉靡粋€(gè)簡(jiǎn)潔的結(jié)果，往往會(huì)取一個(gè)有限位的小數(shù)代替這個(gè)無(wú)理數(shù)的大小。而所取的有限位的位數(shù)，也影響了我們計(jì)算結(jié)果的精度。

如無(wú)理數(shù)π，根據(jù)最近報(bào)道已計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后31萬(wàn)億位了。通常對(duì)結(jié)果精度要求不高的初步估算情況下，會(huì)取3.14代替π進(jìn)行運(yùn)算；希望結(jié)果稍微準(zhǔn)確一點(diǎn)的話，會(huì)取3.1415926/7代替π；而在火箭發(fā)射、宇宙計(jì)算都方面，通常要取小數(shù)點(diǎn)后35位甚至更多位數(shù)來(lái)計(jì)算。

而由上進(jìn)制轉(zhuǎn)換可見(jiàn)，無(wú)論是十進(jìn)制還是二進(jìn)制，原始的數(shù)據(jù)大小(位數(shù))也決定了轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)大小(位數(shù))。所以對(duì)于十進(jìn)制的π轉(zhuǎn)換乘二進(jìn)制，關(guān)鍵還要看小數(shù)點(diǎn)后的取位。

那么我們有如下結(jié)果：

(D)3=11(B)

(D)3.1=11.000110011001100110011001100110011001100110011001101(B)

(D)3.14=11.001000111101011100001010001111010111000010100011111(B)

(D)3.14159=11.00100100001111110011111000000011011100001100110111(B)

(D)3.14159265358979=11.001001000011111101101010100010001000010110100010001(B)

......

特別說(shuō)明：以上π的有限取位中，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)也是有限位，沒(méi)有做近似省略處理。

假設(shè)有/無(wú)理數(shù)的概念在二進(jìn)制中仍然適用，事實(shí)上十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換中，不會(huì)改變?cè)紨?shù)據(jù)的有/無(wú)理數(shù)特性。

綜上，圓周率π的二進(jìn)制表達(dá)，并沒(méi)有將π變成無(wú)限循環(huán)小數(shù)，即π仍然是個(gè)無(wú)理數(shù)。