一個(gè)4歲的孩子的數(shù)學(xué)能力怎么樣？我們來(lái)給他出道題：“你剛才有5個(gè)棒棒糖，給了我1個(gè)，還剩幾個(gè)？”孩子低頭看看棒棒糖：“4個(gè)！”你又問(wèn)：“那我再還給你1個(gè)，你還剩幾個(gè)？”他大聲回答道：“3個(gè)！”“不對(duì)！看清楚了！你現(xiàn)在有4個(gè)，我又給了你1個(gè)，還有幾個(gè)？”

他低頭看了看，想了想，小聲答道：5個(gè)！答對(duì)了！但是……很遺憾，這個(gè)小小的算術(shù)測(cè)試暴露了孩子有一個(gè)小“缺陷”，即他的大腦在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，調(diào)用的依然是語(yǔ)言系統(tǒng)和視覺系統(tǒng)，這導(dǎo)致他的答案是“看著數(shù)出來(lái)”的，而不是“算”出來(lái)的。

換句話說(shuō)，給他出數(shù)量更大的題目（超過(guò)他的棒棒糖或手指頭的個(gè)數(shù)），那么他的感受就跟成年后依然數(shù)學(xué)不靈光的人一樣：每個(gè)字都聽得懂，但連一起就死活不明白什么意思！

這種現(xiàn)象很普遍，以至于有“法蘭西的莎士比亞”之稱的維克多·雨果曾把數(shù)學(xué)面前的自己比作無(wú)辜的鳥。他哀嘆：“在令人生厭的X軸和Y軸搭成的絞刑架上，他們（數(shù)學(xué)）折磨著我，從我的翅膀到我的喙”^[1]。

雨果寫出了《巴黎圣母院》、《九三年》、《悲慘世界》，但對(duì)圓錐曲線和微積分很頭痛。在數(shù)學(xué)上，他的表現(xiàn)頗“對(duì)不住”自己的名言：“A great artist is a great man in a great child”。

首先，他并沒有真正理解加法和減法的概念。這是因?yàn)橛淄摹皵?shù)學(xué)腦區(qū)”尚在發(fā)育中，尚不成熟。當(dāng)他能熟練地對(duì)數(shù)字進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，這些腦區(qū)就基本成熟了。他長(zhǎng)大以后再學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所調(diào)用的，也仍然是這些腦區(qū)^[2,3]。

2016年，法國(guó)巴黎-薩克雷大學(xué)的研究人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被試者大腦在處理高等數(shù)學(xué)命題（如拓?fù)鋵W(xué)或幾何學(xué)）時(shí)，那些數(shù)學(xué)好的人被激活的是3塊邊緣系統(tǒng)腦區(qū)，它們是雙側(cè)頂內(nèi)溝區(qū)域（IPS）、雙側(cè)顳下回區(qū)域（IT）、前額葉皮層區(qū)域；而數(shù)學(xué)不好的人（他們?cè)诜菙?shù)學(xué)領(lǐng)域同樣成就非凡）被激活的，主要是語(yǔ)言功能腦區(qū)^[2]。

數(shù)學(xué)相關(guān)腦區(qū)：綠色是阿拉伯?dāng)?shù)字概念相關(guān)腦區(qū)，藍(lán)色是數(shù)字運(yùn)算相關(guān)腦區(qū)，紅色是聽到高等數(shù)學(xué)命題時(shí)的“數(shù)學(xué)家相關(guān)腦區(qū)”，它與前兩者高度重疊（黃色區(qū)域）。（圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[2]）

這意思就是，數(shù)學(xué)好的人真的是在用專門腦區(qū)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，而其他領(lǐng)域的人縱然同樣是精英（如大作家維克多·雨果），也只是像聽天書一樣在聽題看題。只不過(guò)與普通人相比，天才或經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)家很擅長(zhǎng)在處理高等數(shù)學(xué)命題時(shí)調(diào)用“數(shù)學(xué)腦區(qū)”，而文學(xué)家卻可能語(yǔ)義處理的腦區(qū)更發(fā)達(dá)，對(duì)數(shù)字等反倒不敏感了。所以，孩子為什么在該用加法的地方錯(cuò)用了減法？很可能就是題干中的“還剩幾個(gè)”誤導(dǎo)了他。這是很多成年人做數(shù)學(xué)題的困擾吧：很容易在題干中鉆牛角眼，為此痛苦不堪~~

其次，孩子的工作記憶、短時(shí)記憶功能尚欠佳。

做數(shù)學(xué)題時(shí)，人類要調(diào)用工作記憶功能（working memory）暫時(shí)存儲(chǔ)工作狀態(tài)，也就是知道他在做什么題、適用加法或減法的場(chǎng)景條件^[2,3]；短時(shí)記憶（short-term memory）呢，則是幫助孩子暫時(shí)存儲(chǔ)一下數(shù)字信息^[2,3,4]，對(duì)方還給我?guī)讉€(gè)？我手里本來(lái)有幾個(gè)？加法或減法符號(hào)的兩邊分別是什么數(shù)字？諸如此類。如果工作記憶功能欠佳，那他就會(huì)拿起一個(gè)數(shù)字，不知道該干什么；而短時(shí)記憶欠佳，那他就會(huì)迷惑：應(yīng)該誰(shuí)加誰(shuí)呢？1個(gè)還是2個(gè)？

工作記憶和短時(shí)記憶的容量都是有限的，它們合作讓孩子可以聚精會(huì)神，在短時(shí)間內(nèi)按步驟完成同一道習(xí)題。（圖片來(lái)源：https://www.）

我們還要注意一個(gè)細(xì)節(jié)：測(cè)試中的孩子最后回答上來(lái)了，但他是“低頭看了看”才答上來(lái)的，這又是一個(gè)很好的深刻理解數(shù)學(xué)認(rèn)知的線索。其實(shí)，包括人類在內(nèi)的許多物種都有識(shí)別數(shù)量的能力^[4]。只不過(guò)，人類嬰幼兒以及一些文化下的成年人類和其他物種（如鳥類、魚類、青蛙/蟾蜍、昆蟲等），是用基于視覺系統(tǒng)等的非符號(hào)化方式（without symbolic representation）來(lái)完成比較/識(shí)別數(shù)量任務(wù)的^[4]。

所以，初學(xué)算術(shù)的小孩子為什么那么依賴手指頭和腳指頭？因?yàn)橐翱础敝€(gè)數(shù)出來(lái).。這種本領(lǐng)并不需要復(fù)雜的大腦，至少蜜蜂的大腦就可以辦到^[3]。2018年，倫敦大學(xué)瑪麗女王學(xué)院（Queen Mary University of London） 的研究人員發(fā)現(xiàn)，雖然蜜蜂的大腦神經(jīng)元很少，只有可憐的100多萬(wàn)個(gè)（相比之下人類有860億個(gè)之多?。?，但它們依然有辦法完成計(jì)數(shù)任務(wù)（counting task）^[3]。

上：模型蜜蜂在不同的識(shí)別區(qū)域間飛行，同時(shí)檢測(cè)亮度變化，提取圖像密度等特征，以此來(lái)判斷數(shù)量的多少。下：蜜蜂大腦可建立起“0”的抽象概念。（圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[3]）

研究人員用計(jì)算機(jī)仿真的辦法，做出了一個(gè)只有4個(gè)神經(jīng)元的“微型蜜蜂腦”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它依然能很好完成區(qū)分?jǐn)?shù)量的多少。秘訣就是充分調(diào)動(dòng)視覺處理功能：仿真蜜蜂腦不像人腦一樣先掃描整體，再迅速算出最少的那一個(gè)，而是逐一掃描，把圓圈內(nèi)部黃色斑點(diǎn)的多少轉(zhuǎn)變?yōu)橐曈X輸入信號(hào)（如亮度）的差異，最后得到更多/更少的估算。這樣“解題算法”雖然比較耗時(shí)，但減輕了對(duì)大腦“算力”的要求^[3]。與這種算法相類似的，是人類在人工智能領(lǐng)域發(fā)明的“卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法（CNN）”。這也是一種主要依賴于視覺的算法。另一項(xiàng)研究還表明，蜜蜂靠這種天生的“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法”還能區(qū)分0的概念，“知道”0是一個(gè)比1“更小”的數(shù)字（蜜蜂是唯一一種被發(fā)現(xiàn)有抽象概念學(xué)習(xí)能力的昆蟲），了不起^[3,4]！

此外，蜜蜂大腦靠此算法，還具備了“鑒別”名畫的能力。

澳大利亞的研究人員為蜜蜂準(zhǔn)備了兩組繪畫作品，一組是印象派大師莫奈（Monet）的，一組是立體派大師畢加索（Picasso）的。在畢加索畫作的中央滴有蜜蜂愛的糖水，而在莫奈的畫中央滴有稀釋過(guò)的奎寧溶液。經(jīng)過(guò)一番嘗試過(guò)，蜜蜂知道只有在No?girr?a Marawili的畫作上才有“甜頭”吃。然后，研究人員又準(zhǔn)備了兩組兩個(gè)畫家的作品，都是蜜蜂訓(xùn)練中沒有見過(guò)的，但后者未經(jīng)隨機(jī)嘗試，就在掃描之后飛向了畢加索的畫中央找甜頭^[3]。

分析認(rèn)為，蜜蜂的大腦不但可以接收紫外光等視覺信號(hào)，進(jìn)而提取對(duì)象的亮度、顏色和空間頻率等等特征，還能對(duì)這些特征進(jìn)行概括，進(jìn)而在腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較為“低級(jí)”的情況下，通過(guò)“高級(jí)算法”獲得區(qū)分對(duì)象的“高級(jí)認(rèn)知”^[3]。顯然，常在花叢中飛來(lái)飛去的小蜜蜂太知道如何把一件工具打磨發(fā)揮到極致，它們不但能識(shí)別風(fēng)景、花卉、人臉，還能記住不同畫作的藝術(shù)風(fēng)格，高級(jí)^[3]！

蜜蜂識(shí)別藝術(shù)風(fēng)格實(shí)驗(yàn)示意圖：上，整體示意圖；下：為蜜蜂提供訓(xùn)練的兩組莫奈和畢加索畫作。這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)表明，識(shí)別藝術(shù)風(fēng)格等抽象概念，并不是人腦才具備的高級(jí)功能，蜜蜂的大腦也具備從視覺圖像存儲(chǔ)、特征提取、高度概括的高級(jí)功能。（圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[3]）

一個(gè)很有意思的問(wèn)題來(lái)了：

小小蜜蜂固然可以像人類幼童一樣，利用視覺算法完成識(shí)數(shù)任務(wù)，但能像成年人類一樣，靠抽象邏輯概念來(lái)做算術(shù)嗎？換句話說(shuō)，4歲人類兒童不會(huì)的加減法，蜜蜂會(huì)嗎？就像前文所說(shuō)的，抽象的加減法似乎需要高級(jí)的數(shù)學(xué)腦區(qū)功能和工作記憶、短時(shí)記憶等功能。蜜蜂大腦只有區(qū)區(qū)100多萬(wàn)個(gè)神經(jīng)元，可以嗎？

答案是，可以的。最近，澳大利亞墨爾本皇家理工大學(xué)（ RMIT University in Melbourne）的研究人員進(jìn)行了一項(xiàng)研究，他們給蜜蜂設(shè)置了一套Y形的裝置。一開始，蜜蜂待在起點(diǎn)“讀題”，題板上有1-5個(gè)帶色的形狀，它們的總和代表一個(gè)數(shù)字。如果形狀是藍(lán)色，那么蜜蜂就要到分叉口 1，然后選出正確答案指示的通道；如果是黃色，那么就要到分叉口-1，然后選出正確答案指示的通道。答對(duì)了（Correct answer），就有糖水獎(jiǎng)勵(lì)一下；答錯(cuò)了（Incorrect answer），就只有稀釋過(guò)的奎寧溶液喝^[4]。

蜜蜂答題示意圖 （圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[4]）

要知道，蜜蜂不會(huì)說(shuō)人言，也聽不懂人話，所以無(wú)法從人類那里學(xué)來(lái)規(guī)則（這多像一些人工智能模型?。?。那么，蜜蜂就要靠自己去猜規(guī)則、學(xué)習(xí)規(guī)則，并完成運(yùn)算的高級(jí)任務(wù)。結(jié)果，在一番隨機(jī)嘗試之后，蜜蜂忽然之間開了竅，它們悟到了游戲背后的數(shù)學(xué)規(guī)則，接著老老實(shí)實(shí)做起了5以內(nèi)的加減法，正確率很高（100次嘗試之后，正確率在75-85%）^[4]。

這很棒！因?yàn)閷?shí)驗(yàn)證明了兩件事：1，正如前文所說(shuō)的，蜜蜂可以識(shí)別數(shù)量；2，蜜蜂可以進(jìn)行抽象的四則運(yùn)算，雖然它的大腦只有100多萬(wàn)個(gè)神經(jīng)元，腦力有限，但是通過(guò)自主學(xué)習(xí)（rapid self-learning），蜜蜂可以達(dá)到前額葉皮層等數(shù)字處理腦區(qū)基本發(fā)育成熟的學(xué)齡兒童水平^[2,4]。

經(jīng)過(guò)自主學(xué)習(xí)，“差生”小蜜蜂的數(shù)學(xué)成績(jī)從50分的隨機(jī)水平，上升到了80多分的“優(yōu)等生”水平。圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[4]。

這些結(jié)果對(duì)科學(xué)家特別是人工智能科學(xué)家是一個(gè)很大的鼓舞，原來(lái)完成復(fù)雜的視覺算法和高級(jí)認(rèn)知，并不非得需要860億個(gè)神經(jīng)元那么多，100多萬(wàn)或更少也是可以的！也許有一天，無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)下的人工智能算法也可以像蜜蜂的大腦那樣，在數(shù)學(xué)問(wèn)題上擁有強(qiáng)大的快速自主學(xué)習(xí)能力，這種能力可意譯成“無(wú)師自通（rapid self-learning）”。

最后，也許你也可以像開頭那樣，考一考學(xué)齡前兒童5以內(nèi)的加減法：給定一個(gè)數(shù)字，每次 1/-1后的選擇題，告訴他2個(gè)選項(xiàng)，看看他可以做多少分。如果只能得50分左右，那他就是在瞎猜；如果得75-85分（正確率80%左右），那恭喜，他的水平跟一只小蜜蜂一樣優(yōu)秀了！