今天，我們來聊聊數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)那些事。除了我個人一點經(jīng)驗外，主要是吸收和借鑒數(shù)學(xué)研究和教育專家的觀點。

數(shù)學(xué)很重要，思維更重要

劍橋大學(xué)的一位終身教授在Seminar上分享了這樣的觀點：未來社會是大數(shù)據(jù)的時代，也是人工智能時代，孩子只有勤奮苦學(xué)數(shù)學(xué)和軟件編程，才能適應(yīng)。

英國哲學(xué)家培根說過：讀史使人明智，讀詩使人聰慧，數(shù)學(xué)使人精微，哲理使人深刻。

從這句話就能看出，數(shù)學(xué)的基本特性，科學(xué)、抽象，是系統(tǒng)化的知識。但我們并不只是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

日本數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為，無論是數(shù)學(xué)教育工作者，還是科學(xué)工作者、技術(shù)人員，數(shù)學(xué)知識只是第二位的，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法。

當(dāng)代美國數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（Polya·George）也認(rèn)為，任何學(xué)問都包括知識和能力這兩個方面，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，比起單純具備一些知識而言，能力的形成更重要。

他們的觀點，無一例外都落在這個關(guān)鍵詞上——數(shù)學(xué)思維。

國際教育署和國際教育學(xué)會2009 年聯(lián)合頒發(fā)的指導(dǎo)性文件《有效的數(shù)學(xué)教學(xué)》中提出的10 條標(biāo)準(zhǔn)中，突出強調(diào)了“理解”(understanding)與“思維”（thinking）的重要性，以指導(dǎo)各國數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的“機械學(xué)習(xí)”問題。

聽起來有些晦澀，其實說白了：有些孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)完全是靠背誦的（當(dāng)然并不是說記憶不重要），沒有完全理解公式、技巧背后的道理，更別說深入思考，做到舉一反三了。孩子也許記住了數(shù)學(xué)知識，但是沒有養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維能力。

數(shù)學(xué)是“精微化的常識”

那怎么培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維？

這還要回到數(shù)學(xué)的精微上來。

一直以來，人們都認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“被精微化的常識”。換句話說，抽象的數(shù)學(xué)其實來源于普通的生活常識。

所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開始不能脫離實際生活。而對于孩子，小川的數(shù)學(xué)老師直接說：數(shù)學(xué)是玩出來的。我也深以為然。所以，陪孩子學(xué)數(shù)學(xué)時，除了看書、做練習(xí)外，就是各種各樣的玩。飛行棋、積木、大富翁，五花八門。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)齡前孩子主要是以具體形象思維來進(jìn)行思考，到了大班后期他們的抽象思維才會逐漸得到發(fā)展。

在玩數(shù)學(xué)的過程中，他們可見可摸，通過實際的動手操作，可以更積極地啟發(fā)思考、發(fā)展基本的思維能力，而不僅限于“知道”一些抽象概念。先型塑思維能力，也為隨后的提煉、過渡到精微打下更堅實的基礎(chǔ)。

舉個小例子，想要孩子理解2+3=5。應(yīng)該先給他建立一個游戲場景，讓他拿5個蘋果或香蕉、梨子等材料擺一擺。

然后，再用與5分合相關(guān)的、圖象表示的練習(xí)題，讓他去練一練。

最后，才能具體到抽象的數(shù)字練習(xí)。

缺少實物操作，這一從具象到抽象必不可少的紐帶，單純要孩子死記硬背乘法表，他們總是背錯、算錯也就不足為怪了。

但你還別說，小學(xué)二年級的數(shù)學(xué)錯題，博士生家長居然無法訂正。舉個例子。

第六題孩子做錯了，但孩子家長無能無力，他怎么看都是對的。

這是一個明顯的錯誤了，孩子用的是2X8=16米，這個是小學(xué)階段最為嚴(yán)重的錯誤之一。就是單位錯。2（次）X8=16(次)，這個在概念上是錯的，正確的應(yīng)該是8（米）X2=16（米），然后才是兩個相同單位數(shù)字的相加。

老師在這方面嚴(yán)格要求完全是正確的。別小看這個，很多笑話都是這樣造成的。

看下面一個例子：

1元=100分=10角X 10角=0.1元X 0.1元=0.01元=1分。結(jié)論：1元=1分

為何有如此荒謬的結(jié)論，答案非常簡單，單位用錯造成的后果。

第一道題相對簡單很多，唯一要注意的是數(shù)數(shù)要數(shù)清楚。魚是6根火柴，飛機是5根火柴，考的知識點是乘除法的應(yīng)用。顯然這小朋友完全沒有概念。這種情況在二年級孩子非常普遍，需要教會他們分步運算，而不是一步算出。這個非常非常重要。對于二年級的孩子來說，分步運算必須扎實，不然以后會非常麻煩。

第二道題目也是一樣的問題，孩子不會分步，這是把復(fù)雜問題簡單化的重要思考過程，減法和除法一定別在一個等式中列出來，分兩步，先做減法，再做除法。用這樣的方法教會孩子解決問題的步驟。

第四題是一道綜合題，考察的是加減乘除的混合運用能力?？吹贸鰜恚@個小朋友總是希望能用一個等式來解決問題。一般這種情況是兩個原因引起的。

一個是教孩子的人（多數(shù)是家長，老師不會這么教）總是教孩子用一個等式去解決問題，殊不知對于二年級的孩子來說，一般不具備這種能力。必須分步運算，分步來解決問題。另外一個可能是這孩子完全沒有復(fù)雜問題簡單化的思維能力，完全不知道如何處理這些問題，無論哪一種，都需要嚴(yán)格學(xué)會分步運算，只有這樣，才具備以后更復(fù)雜問題的解決能力。

對于二年級的孩子，基礎(chǔ)列式，分步思維是一個非常重要的過渡過程。家長如果在家里輔導(dǎo)孩子的作業(yè)，一定要注意訓(xùn)練孩子這方面的思維能力。這比多做幾道難題重要得多，也有用得多。