University of Waterloo/Faculty of Engineering

 翼型，流體力學(xué)

故事要從1738年說起，伯努力（Daniel Bernoulli，1700-1782）在這一年發(fā)現(xiàn)了著名的伯努力原理，并將其發(fā)表在自己的新書《水動力學(xué)（Hydrodynamics）》上。伯努力原理描述了流體中的動能和壓能之間存在著的巧妙平衡關(guān)系，即動能越小，壓能越大。當(dāng)我們對一枚桌上的硬幣吹氣時，硬幣有時會跳起來，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生就是由于氣流上下流速不同產(chǎn)生了硬幣上下表面的壓力差，這一壓差驅(qū)動了硬幣的運動。從某種程度上說，這個原理已經(jīng)可以用來解釋當(dāng)時的風(fēng)帆和風(fēng)車的動力，甚至解析翼型動力的來源問題。

但是伯努力并沒有找到這個原理的定量表述，于是他把自己的想法寫信寄給了在柏林科學(xué)院工作的自己的好朋（基）友歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）。歐拉和伯努力是瑞士巴塞爾（Basel）大學(xué)的同學(xué)。同時伯努力的父親（Johann Bernoulli）是歐拉的大學(xué)老師，并曾經(jīng)勸說歐拉從神學(xué)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)研究。值得一提的是，從1726年開始，歐拉和伯努力保持著長達(dá)42年的通信，通信內(nèi)容涉及了數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中的各種難題。讀完伯努力的信之后，歐拉腦中想到解決這一問題的思路是將牛頓第二定律應(yīng)用到流體分析當(dāng)中，這在當(dāng)時是很超前的想法。

終于到了1752年，歐拉推導(dǎo)出了伯努力原理的一般表達(dá)式，并將其命名為伯努力方程式（Bernoulli’s Equation）。伯努力方程式成功地定量地描述了伯努力原理，但是它的缺點也是顯而易見的，即這個方程式只能描述流體沿著流線的變化規(guī)律，而復(fù)雜幾何體周圍的流線也是異常復(fù)雜的，所以很難通過這一方程求解一般幾何體的受力問題。

但是歐拉很快就發(fā)現(xiàn)了這一問題，并于1757年獲得了伯努力方程的更廣義的形式，即歐拉方程組（Euler Equations），而這個通信中誕生的方程組，竟在無意中打開了理想流體力學(xué)（Idealfluid Mechanics）的大門。嚴(yán)格來說，歐拉方程組只包含兩個方程，一個動量守恒方程和一個質(zhì)量守恒方程，寫在紙上不過是四五英寸長（張量形式）。而就是這個四五英寸長的公式，卻包含了從阿基米德（Archimedes）到當(dāng)時（1757）近兩千年人類的流體力學(xué)的所有知識，充分地體現(xiàn)了物理學(xué)的簡潔美。而遺憾的是，歐拉方程組在提出之時是沒有辦法求解的，即使是歐拉自己也沒有獲得這個方程組的一般解。1783年，歐拉病逝在俄羅斯圣·彼得堡（Saint Petersburg）的家中，去世那一刻，他的案頭還放著關(guān)于熱氣球升空計算的手稿——也是一道流體力學(xué)問題。就像那首歌里唱的，他不知疲倦地翻越一座座山丘，未能如愿見到不朽，而自己卻先成了不朽。

在十八世紀(jì)末期的研究當(dāng)中，人們漸漸發(fā)現(xiàn)歐拉方程組可以拆分成兩個更簡潔的方程式進(jìn)而分別求解，即上文提到的著名的伯努力方程（Bernoulli’s Equation）和大名鼎鼎的拉普拉斯方程（Laplace’s Equation, 1799）。人們對伯努力方程的研究已經(jīng)很清楚了，所以求解歐拉方程的關(guān)鍵就指向了拉普拉斯方程的求解。

幸運的是，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace，1749-1827）在提出這組方程的時候已經(jīng)指出了方程的解是一種特殊的函數(shù)，即調(diào)和函數(shù)（Harmonic Function）。同時他還指出所有拉普拉斯方程的看似復(fù)雜的解空間其實是由幾種調(diào)和函數(shù)線性疊加而成的，這就像我們可以用簡單的幾個音符去構(gòu)造豐富多彩的大型樂章。根據(jù)這一思想，科學(xué)家們通過復(fù)變函數(shù)理論（Complexfunction Theory）作為工具求解了拉普拉斯方程，從而順利地將關(guān)于圓柱繞流的歐拉方程解決了。這里插一句，拉普拉斯有句名言說：“讀懂歐拉，讀懂歐拉，他是我們所有人的老師”，而歐拉方程的求解又將兩個人的名字暗暗的緊緊地聯(lián)系到了一起。根據(jù)這一方法，人們又進(jìn)一步求解了關(guān)于球體和橢球體的受力，但是此時對任意復(fù)雜的封閉幾何體的求解，依然缺乏行之有效的方法。

轉(zhuǎn)折點發(fā)生在近一個世紀(jì)后，還是在沉睡著歐拉的俄羅斯土地，數(shù)學(xué)家茹科夫斯基（Nikolay Yegorovich Zhukovsky，1847-1921）在復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了保角變換（Conformal Mapping）的概念，這一變換可以將復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)換成為另一空間里面的圓柱體。這就像兩個平行世界，兩個世界中的所有元素是一一對應(yīng)的，但是形態(tài)卻是完全不同的。而經(jīng)過保角變換，物理空間內(nèi)的復(fù)雜的幾何體都可以被簡化成為另一空間上的偏心圓柱，而人們對圓柱繞流的研究工作在上個世紀(jì)剛好已經(jīng)完成了。依據(jù)這一方法，他進(jìn)一步推導(dǎo)出了著名的茹科夫斯基升力定理（Joukowsky Theorem），定理描述了任意幾何體受的流體作用力和來流速度矢量與物面速度環(huán)量（速度沿著物面的線積分）之間的外積成正比，從伯努力開始，歷經(jīng)兩個世紀(jì)，這一定量表達(dá)式終于被發(fā)現(xiàn)了。令人驚嘆的是這一公式的證明是如此優(yōu)雅，而結(jié)論又是如此簡潔！接下來只要確定速度環(huán)量，人們就可以方便的計算出翼型的受力，從而設(shè)計翼型，我們?nèi)钡氖且粋€定解條件。

到了1910年，這個定解條件被茹科夫斯基和德國數(shù)學(xué)家?guī)焖∕artin Kutta，1864-1944）分別獨立地發(fā)現(xiàn)了（總有一個人和你遙遠(yuǎn)的心心相印）。而后第一批真正意義上的現(xiàn)代翼型出現(xiàn)了（茹科夫斯基翼型，如圖二所示）。值得一提的是，茹科夫斯基還在俄國主持建造了世界上第一座風(fēng)洞，而翼型的發(fā)展也開始走上了快車道。

圖二：茹科夫斯基翼型。

在這一階段，人們將理論分析成果與風(fēng)洞試驗成功地相結(jié)合，翼型的設(shè)計理論也逐漸完善了起來，而關(guān)于翼型的規(guī)律都凝結(jié)在了如下圖三左圖所示的升力曲線當(dāng)中。曲線的橫軸代表翼型的可調(diào)范圍（攻角），縱軸代表了翼型的出力（升力）。

圖三：NACA翼型升阻力曲線。

在這期間人們也逐漸認(rèn)識到：1.翼型的弧度有利于提高翼型的最大出力；2. 翼型的厚度可以增加其可調(diào)范圍（失速攻角增加，圖三中峰值對應(yīng)的橫軸位置右移）。這兩個特點（弧度和厚度）都體現(xiàn)在了當(dāng)時最有名的哥廷根翼型（G?ttingen Airfoils，見圖四）當(dāng)中。

圖四：哥廷根翼型。

在這期間最有趣的一個翼型是Clark Y翼型，該翼型是在美國航空工程師克拉克（Virginius Evans Clark，1886-1948）嘗試改造一個非常失敗的哥廷根翼型（G?ttingen 398）時提出的。Clark Y翼型的特點是，它的下底面幾乎全部是平的，如圖五所示。有趣的是，雖然這個翼型的氣動性能完全沒有達(dá)到克拉克的期望，但是它卻大大的簡化了機(jī)翼和螺旋槳的制造和安裝，一時之間竟然成為了最流行的翼型。

圖五：Clark Y翼型。

      而這些理論探索和工程實踐最終促成了應(yīng)用最廣泛的NACA翼型族。在這當(dāng)中貢獻(xiàn)最大的是兩位美國空氣動力學(xué)家，雅可比（Eastman Jacobs，1902-1987）和西奧多森（Theodore Theodorsen，1897-1978）。而這兩位空氣動力學(xué)家應(yīng)用的方法正是由茹科夫斯基構(gòu)建的那套復(fù)變函數(shù)分析法。

值得一提的是，西奧多森是一位非常有魅力的科學(xué)家，他不僅能夠完成最有難度的理論研究，又能夠?qū)⒆约旱难芯砍晒麘?yīng)用于NACA的實際需求。同時西奧多森的研究也是非常有自己風(fēng)格的，與當(dāng)時其他的空氣動力學(xué)家（如von Karman）不同，他致力于找到翼型壓力分布的精確解而不是近似解[1]。而他的研究成果（空氣動力、翼型顫振和相對論）對現(xiàn)在的研究工作者依然有所啟示。

有趣的是在NACA的會議室里，兩位科學(xué)家（Jacobs和Theodorsen）經(jīng)常發(fā)生爭論，大多數(shù)情況下，西奧多森會用自己高超的數(shù)學(xué)功底碾壓雅可比。但是在爭論中，雅可比漸漸發(fā)現(xiàn)了茹科夫斯基方法中最致命的問題——奇點。所有的分析都是在奇點（Singularity）之外進(jìn)行的，沒有人知道奇點內(nèi)部是什么。而當(dāng)時實驗中人們又發(fā)現(xiàn)，茹科夫斯基的方法對翼型阻力和失速（升力曲線的下降段）分析是無能為力的。

回答這些問題的是德國科學(xué)家普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在他新近提出的邊界層理論當(dāng)中指出在“奇點”內(nèi)部，物面邊界之外存在著一個粘性很強(qiáng)的“薄層”。同時普朗特提出了這一“薄層”的控制方程——邊界層方程。邊界層理論不僅在理論界回答了奇點內(nèi)部的問題，同時在工程界解釋了翼型阻力和失速的原因，它是近代流體力學(xué)的開端。雅可比了解了邊界層理論后，將其成功地應(yīng)用在翼型的設(shè)計當(dāng)中，這項技術(shù)催生了低阻力的NACA層流翼型（Low-draglaminar Flow Airfoil）和當(dāng)時美國空軍最先進(jìn)的野馬戰(zhàn)斗機(jī)（P-51 Mustang），從而影響了二次世界大戰(zhàn)的進(jìn)程。

1928年，英國空氣動力學(xué)家格勞特（Hermann Glauert，1892-1934）提出了可壓縮空氣動力學(xué)理論，這標(biāo)志著人類可以設(shè)計更高速的飛行器。在當(dāng)時軍事工業(yè)的推動下，人類的運動速度比上世紀(jì)快了整整一個數(shù)量級，從而人類社會的信息、交通和戰(zhàn)爭等等都發(fā)生了巨變。

普朗特在他的邊界層理論中提出了一個近似模型（混合長度模型）用以考慮湍流邊界層的效應(yīng)（湍流邊界層阻力較層流邊界層要高）。他的許多學(xué)生都嘗試拋棄這個近似模型，去獲取一個描述湍流的精確模型以封閉邊界層方程，但是無一例外都失敗了。

其實“湍流”這個問題起源于英國科學(xué)家雷諾（Osborne Reynolds，1842-1912）關(guān)于管道流動的研究（1883），在“一定條件”，管道入口的微小擾動可以導(dǎo)致整個管道內(nèi)的流體變得湍動起來（蝴蝶效應(yīng)）。有趣的是，粘性流體方程組（Navier-Stokes Equations）的解也會在“一定條件”下存在著不確定的解，也就是說它的解是混沌的。所以在湍流誕生之初，就帶著謎一樣的特性。據(jù)說，德國物理學(xué)家海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）逝世前就曾經(jīng)說過：“如果我見到上帝一定要問他兩個問題，什么是相對論，什么是湍流，但是我只相信他對第一個問題有答案”。不幸的是，在大多數(shù)翼型上面，都能看到湍流的影子。

1945年我國物理學(xué)家周培源在日軍炮火下的昆明完成了關(guān)于湍流的一篇論文——《on velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent equation》,1946年世界上第一臺計算機(jī)（ENIAC）誕生了，這兩項成果直接地催生了現(xiàn)代應(yīng)用最廣泛的工程湍流模型[2]，這使得人們可以用計算機(jī)求解湍流問題。但是人類對于湍流問題探索的腳步才只是剛剛開始。而回首過去，從伯努力到歐拉，再從拉普拉斯到茹科夫斯基，再從西奧多森到普朗特，總感覺有什么冥冥中把這延續(xù)兩百多年的科學(xué)研究聯(lián)系在了一起，也許是“翼型”，也許是人類對于未知的好奇和對真理的不懈追求吧。