【中考真題】

（2018·河北·15題·2分）如圖，點I為△ABC的內(nèi)心，AB=4，AC=3，BC=2，將∠ACB平移使其頂點與I重合，則圖中陰影部分的周長為（ ）

A．4.5 B．4 C．3 D．2

【思路探究】

根據(jù)題中條件“點I為△ABC的內(nèi)心”，所以點I是△ABC三條角平分線的交點，因此需要連接AI，BI，再根據(jù)平移可知AC∥DI，BC∥EI，然后根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，得出有關的角相等，再由等角對等邊得到AD=DI，BE=EI，從而求出陰影部分的周長．

【解答過程】

解：如圖，連接AI，BI，

∵點I為△ABC的內(nèi)心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI，

又由平移可得：AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID，

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI，

同理可得：BE=EI，

∴△DIE的周長=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，

即圖中陰影部分的周長為4，故本題選B．

【考法解讀】

本題考查了三角形的內(nèi)心、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)心是角平分線的交點是關鍵．本題以平移為背景，將以上知識巧妙的交匯在一起進行了考查，突出考查了幾何直觀和邏輯推理能力．

【知識方法】

本題除了用到角平分線的定義和平行線的性質(zhì)之外，最主要考查了兩個重要的知識，一是三角形的內(nèi)心，二是圖形平移的性質(zhì)．

與三角形的內(nèi)心有關的知識：

（1）三角形內(nèi)切圓的有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．

（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．

（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．

（4）在遇到有關三角形內(nèi)心的問題時，經(jīng)常連接內(nèi)心與三角形頂點，然后利用角平分線去解決有關角度的問題．

與圖形的平移有關的知識：

（1）平移的條件：需要知道平移的方向和平移的距離．

（2）平移的性質(zhì)：

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同（全等）．

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等．

此外，本題圖形中還考查了一個常用的幾何圖形的基本模型，即“角平分線+平行線”型圖形．如圖，本題中AC∥DI，AI平分∠CAD，則有∠CAI=∠DAI=∠AID，AD=DI．

其圖形的基本模型為：

∵AB∥CD，CB平分∠ACD，

∴∠1=∠2=∠3，AB=AC．

因此在解決有關問題中，善于從較為復雜的圖形中發(fā)展這樣的基本圖形，就可以更加快捷準確的抓住問題的關鍵加以解決，可以大大提高解題的效率和準確率．

【變式訓練】

〖習題1〗如圖，在△ABC中，過頂點A的直線DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分線分別交DE于點E，D，若AC=3，AB=4，則DE的長為（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；

根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；

所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，則AD=AC，AB=AE；

所以DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7；故選B．

〖習題2〗如圖將△ABC沿著直線DE折疊，點A恰好與△ABC的內(nèi)心I重合，若∠DIB+∠EIC=195°，則∠BAC的大小是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

解：∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠IBC=1/2∠ABC，∠ICB= 1/2∠BCA，

∵∠DIB+∠EIC=195°，

∴∠DIE+∠BIC=165°，

由折疊過程知∠BAC=∠DIE，

∴∠BAC+∠BIC=165°

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，

∴∠IBC+∠ICB=90°﹣1/2 ∠BAC，

又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）=180°，

∠BIC+（90°﹣ 1/2∠BAC）=180°，

∴∠BIC=90°+ 1/2 ∠BAC，

∴∠BAC+90°+ 1/2 ∠BAC=165°，

∴∠BAC=50°，故選B．

〖習題3〗如圖，I是△ABC的內(nèi)心，且AB+BI=AC．若∠ABC=82°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）

A．41° B．52° C．57° D．68°

解：如圖，在AC上取AD=AB，連接ID，IC，

∵IA平分∠BAC，

∴∠BAI=∠DAI，

在△ABI和△ADI中，因為：

∴△ABI≌△ADI，∴ID=IB，∠ADI=∠ABI= 1/2 ∠ABC=41°，

∵AD+CD=AC，AB+BI=AC，∴CD=IB，

∴ID=CD，則∠DCI=∠DIC，

又∵IC平分∠ACB，

∴∠BCI=∠DCI=∠DIC，

∴ID∥BC，

∴∠ACB=∠ADI=41°，

在△ABC中，

∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB

=180°﹣82°﹣41°=57°，

故選C．

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