公元5世紀(jì)，歐洲進(jìn)入黑暗的中世紀(jì)，一切都籠罩在教條的神學(xué)權(quán)威之下，沒有思想自由。學(xué)者遭到迫害，紛紛離開家園，他們向東逃至比較安定的大馬士革、巴格達(dá)等地，還帶去了很多珍貴的文獻(xiàn)，這為后來中亞地區(qū)文化昌盛做出了貢獻(xiàn)。而當(dāng)15世紀(jì)以后，歐洲的大航海運(yùn)動(dòng)如火如荼的時(shí)候，處在歐亞連接處的中東、西亞的穆斯林地區(qū)卻開始了文化的崩潰，這種崩潰要比王國(guó)的崩潰更加徹底，古代阿拉伯的數(shù)學(xué)也開始進(jìn)入了衰落期。今天科普君要講的正是古代阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)最后的榮光，也是古代阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的集大成者--阿爾·卡西（網(wǎng)上居然沒有找到卡西的圖片）。

　　阿爾·卡西出生在伊朗的卡尚，確切的出生年份并不清楚，他的活動(dòng)最早見于文獻(xiàn)的是在1406年，那時(shí)候他在家鄉(xiāng)觀測(cè)了一次月食。卡西的很多天文著作在完成時(shí)都加上了準(zhǔn)確的日期，這為我們判斷他的活動(dòng)時(shí)間提供了方便。

　　卡尚

　　14世紀(jì)末到15世紀(jì)初的這段時(shí)間內(nèi)，隨著蒙古帝國(guó)的覆滅，中亞細(xì)亞出現(xiàn)了一個(gè)成吉思汗的后裔--跛子帖木兒（這個(gè)人也是個(gè)雄才大略的人，與當(dāng)時(shí)東方大明帝國(guó)的皇帝朱棣是同時(shí)代人，以后有機(jī)會(huì)也可以單獨(dú)講講他），他把原來的察合臺(tái)汗國(guó)又統(tǒng)一了起來，并且向外擴(kuò)張，建立了帖木兒帝國(guó)，建都在撒馬爾罕。帖木兒的孫子烏魯伯格是一個(gè)科學(xué)家，在他還沒有繼位的時(shí)候，就在撒馬爾罕興建了一座當(dāng)時(shí)世界上規(guī)模最大的天文臺(tái)，卡西就是在那段時(shí)間進(jìn)入撒馬爾罕的。卡西具體到達(dá)撒馬爾罕的時(shí)間已經(jīng)不可考了，只知道他在1424年曾經(jīng)和烏魯伯格討論過有關(guān)天文臺(tái)的規(guī)劃問題?？ㄎ鞔蠹s于1429年在撒馬爾罕去世。后來烏魯伯格在他的《烏魯伯格歷》中提到了卡西的死，他盛贊卡西是"一位杰出的科學(xué)家，是世界上最出色的學(xué)者之一，通曉古代科學(xué)，并推動(dòng)其發(fā)展，能解最困難的問題"。

　　撒馬爾罕

　　在撒馬爾罕期間，卡西完成了一系列他人生中最有價(jià)值的著作。1424年，他完成了《圓周論》，1427年，完成了《算術(shù)之鑰》，還有一本《論弦和正弦》寫在《算術(shù)之鑰》的前面，但是具體時(shí)間不可考。

　　卡西在《圓周論》中詳細(xì)地介紹了計(jì)算圓周率的方法。在卡西之前，圓周率的最精確的數(shù)值是由我國(guó)南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖沖之在462年發(fā)現(xiàn)的，他算出圓周率π的范圍是3.1415926<π<3.1415927，在之后的很多個(gè)世紀(jì)里，祖沖之的圓周率一直保持著世界最高水平，一直到1424年，卡西才打破了這個(gè)記錄?？ㄎ魉褂玫姆椒ㄈ匀皇乔髨A內(nèi)接和外切多邊形的周長(zhǎng)。他從正六邊形開始，每次邊數(shù)加倍，這一點(diǎn)和阿基米德、劉徽的方法是一樣的，但是計(jì)算過程各有千秋。卡西通過自己的方式一直算到圓的內(nèi)接正3·2^28邊形的周長(zhǎng)，同樣又算出了圓的外切正3·2^28邊形的周長(zhǎng)，最后取二者的算術(shù)平均數(shù)來做圓周長(zhǎng)的近似值，然后再算出π來。最后卡西得出的圓周率的值為π=3.14159265358979325，有17位準(zhǔn)確數(shù)字，這才打破了祖沖之保持了900年的記錄。后來一直到1596年，由德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉し丁た乱羵悓?shù)值精確到小數(shù)點(diǎn)后20位。

　　圓周率

　　卡西的另一項(xiàng)成就就是在數(shù)值計(jì)算方面給出了sin1°的精確值，這記載在他的《論弦與正弦》一書中。在11世紀(jì)的時(shí)候，伊斯蘭的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道三等分角會(huì)導(dǎo)致一個(gè)三次方程：ax=b+x^3，卡西創(chuàng)造了一種迭代法，用來求這個(gè)方程的近似根。他先假設(shè)有一個(gè)很小的根，可以忽略方程中的三次冪，這樣就得到第一個(gè)近似根x1=b/a，然后有第二個(gè)近似根x2=(b+x1^3)/a，如此不斷迭代，最后得出xn=(b+xn-1^3)/a?？ㄎ鞯姆椒?，用現(xiàn)代的三角術(shù)語來解釋就是先求出sin72°，sin60°這些足夠精確的數(shù)值，然后在利用sin12°=sin(72°-60°)，再利用半角公式算出sin3°，再根據(jù)三倍角公式sin3°=3sin1°-4(sin1°)^3，通過不斷的迭代，最后算出sin1°的值為0.017452406437283510，這里前16位數(shù)字都正確，最后一位才出現(xiàn)誤差。

　　《算術(shù)之鑰》是卡西著作中篇幅最長(zhǎng)的，它幾乎網(wǎng)絡(luò)了當(dāng)時(shí)的全部的數(shù)學(xué)知識(shí)，堪稱初等數(shù)學(xué)之大全。正因?yàn)橛辛诉@本書，很多阿拉伯的數(shù)學(xué)才得以保存。另外，這本書除了可以滿足一般的學(xué)生需要之外，還對(duì)于從事實(shí)際工作的人，包括天文學(xué)家、測(cè)量員、建筑師、商人都有幫助。

　　算術(shù)之鑰

　　卡西是中亞地區(qū)中世紀(jì)最后一名數(shù)學(xué)家，在他之后，數(shù)學(xué)的中心又移到了歐洲。古代阿拉伯世界的數(shù)學(xué)也是非常輝煌的，它繼承和發(fā)展了古希臘的數(shù)學(xué)思想，并且揉入了印度和中國(guó)的數(shù)學(xué)思想，產(chǎn)生了非常偉大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，為后來歐洲數(shù)學(xué)的繼續(xù)發(fā)展產(chǎn)生了不可估量的影響。

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