一、知識(shí)框架

二、知識(shí)梳理與拓展應(yīng)用

01平行四邊形

1.平行四邊形的定義及性質(zhì)

(1)平行四邊形：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。平行四邊形用“

”表示。

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①平行四邊形的對(duì)邊相等。

②平行四邊形的對(duì)角相等。

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心。

2.平行四邊形的判定

(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

(4)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

關(guān)鍵提醒

運(yùn)用哪個(gè)定理進(jìn)行判定應(yīng)根據(jù)具體條件而定。

應(yīng)用“一組對(duì)邊平行且相等”時(shí)，一定是指同一組對(duì)邊既平行又相等若一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，有可能是平行四邊形，也有可能是等腰梯形。

3.三角形的中位線

(1)三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中位線。

(2)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊 的一半。

關(guān)鍵提醒

中位線不是中線。

三角形中位線定理的特點(diǎn)：在同一題設(shè)下，有兩個(gè)結(jié)論，一個(gè)結(jié)論表示位置關(guān)系，另一個(gè)結(jié)論表示數(shù)量關(guān)系。

三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍數(shù)關(guān)系。

例1：如圖1所示，在△ABC中點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高。

(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形。

(2)求證：∠DHF＝∠DEF。

圖1

解析：(1)借助三角形的中位線定理證明。

(2)根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線相等等性質(zhì)證明。

證明：(1)因?yàn)辄c(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，

所以DE、EF都是△ABC的中位線，

所以EF∥AB，DE∥AC，

所以四邊形ADEF是平行四邊形。

(2)因?yàn)樗倪呅蜛DEF是平行四邊形，

所以∠DEF＝∠BAC，

因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，

所以DH＝AD，F(xiàn)H＝AF，

所以∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，

因?yàn)椤螪AH＋∠FAH＝∠BAC，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF，

所以∠DHF＝∠BAC，

所以∠DHF＝∠DEF.

02特殊的平行四邊形

1.矩形

(1)矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形，也就是長(zhǎng)方形。

關(guān)鍵提醒

矩形的概念是研究矩形的基礎(chǔ)，既可以看作是矩形的性質(zhì)，又可以視為矩形的判別方法。

(2)矩形的性質(zhì)如下：

①矩形的四個(gè)角都是直。

②矩形的對(duì)角線相等。

知識(shí)拓展

矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

矩形既是中心對(duì)稱。又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，對(duì)稱軸為對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線。

(3)矩形的判定定理如下：

①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

④對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形。

知識(shí)拓展

若易證是平行四邊形，則再證一角為直角或?qū)蔷€相等，即可得矩形；

對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形(如等腰梯形)，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形。

例2：已知：如圖2所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E。

(1)求證：四邊形ADCE為矩形。

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并給出證明。

圖2

解析：(1)根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可證。

(2)根據(jù)正方形的判定結(jié)合(1)中結(jié)論可證。

解(1)證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

所以∠BAD＝∠DAC，

因?yàn)锳N是△ABC外角∠CAM的平分線，

所以∠MAE＝∠CAE，

所以∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，

又因?yàn)锳D⊥BC，CE⊥AN

所以∠ADC＝∠CEA＝90°，

所以四邊形ADCE為矩形。

(2)當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形。

理由：因?yàn)锳B＝AC，

所以∠ACB＝∠B＝45，

因?yàn)锳D⊥BC，

所以∠CAD＝∠ACD＝45°，

所以DC＝AD，

因?yàn)樗倪呅蜛DCE為矩形，

所以矩形ADCE是正方形，

所以當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形。

2.菱形

(1)菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形

(2)菱形的性質(zhì)如下：

①菱形的四條邊都相等。

②菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

知識(shí)拓展

菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是它的對(duì)稱軸；

菱形是特殊的平行四邊形，其面積求法與平行四邊形的面積求法相同，其面積等于底乘以相應(yīng)底上的高。

另外，由于菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，將菱形分成4個(gè)全等的直角三角形，因此菱形面積＝4×

兩條對(duì)角線長(zhǎng)之積＝

×兩條對(duì)角線長(zhǎng)之積。

(3)菱形的判定定理如下：

①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。

四邊都相等的四邊形是菱形。

例3：如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF，AC.

(1)求證：四邊形ADCF是菱形。

(2)若BC＝8，AC＝6，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)。

圖3

解析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF⊥AC，即可得四邊形ADCF是菱形。

(2)首先利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得AD＝5，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF＝FC＝AD＝5，進(jìn)而可得答案。

解(1)證明：因?yàn)閷ⅰ鰽DE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，

所以AE＝CE，DE＝EF，

所以四邊形ADCF是平行四邊形，

因?yàn)镈、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，

所以DE是△ABC的中位線，

所以DE∥BC，因?yàn)椤螦CB＝90，

所以∠AED＝90°，所以DF⊥AC，

所以四邊形ADCF是菱形。

(2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，

所以AB＝10，

因?yàn)镈是AB邊上的中點(diǎn)，所以AD＝5，

因?yàn)樗倪呅蜛DCF是菱形，所以AF＝FC＝AD＝5，

所以四邊形ABCF的周長(zhǎng)為8＋10＋5＋5＝28.

3.正方形

(1)正方形：四條邊都相等、四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。

(2)正方形的性質(zhì)：正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)。

關(guān)鍵提醒

正方形是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線或?qū)蔷€所在的直線，有4條對(duì)稱軸；也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)。

(3)正方形的判定定理如下

①定義：一組鄰邊相等的矩形是正方形。

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

③對(duì)角線相等的菱形是正方形

④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

關(guān)鍵提醒

以菱形和矩形的判定為基礎(chǔ)，可以引申出更多正方形的判定方法。如對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，既是菱形又是矩形的邊形是正方形等，可以根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇。

判別正方形的一般順序：a.先說(shuō)明它是平行四邊形；b.再說(shuō)明它是菱形(或矩形)；c.最后說(shuō)明它是矩形(或菱形)

矩形判定條件＋菱形判定條件＝正方形判定條件。

例4：如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE：

(1)求證：CE＝AD。

(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由。

(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

圖4

解析：(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可推出。

(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD，根據(jù)菱形的判定即可推出。

(3)求出∠CDB＝90°，再根據(jù)正方形的判定即可推出。

解(1)證明：因?yàn)镈E⊥BC，所以∠DFB＝90°，

因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠ACB＝∠DFB，所以AC∥DE，

因?yàn)镸N∥AB，即CE∥AD，所以四邊形ADEC是平行四邊形，

所以CE＝AD.

(2)四邊形BECD是菱形.

理由是：因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以AD＝BD,

因?yàn)镃E＝AD，所以BD＝CE，因?yàn)锽D∥CE,

所以四邊形BECD是平行四邊形，

因?yàn)椤螦CB＝90°，D為AB中點(diǎn),

所以CD＝BD，所以四邊形BECD是菱形.

(3)當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由如下

因?yàn)椤螦CB＝90°，∠A＝45°，所以∠ABC＝∠A＝45°，

所以AC＝BC，因?yàn)镈為BA中點(diǎn),

所以CD⊥AB，所以∠CDB＝90°，因?yàn)樗倪呅蜝ECD是菱形,

所以四邊形BECD是正方形，即當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形.