我們?cè)谛r(shí)候?qū)W習(xí)指數(shù)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)誤解指數(shù)的定義，很多人認(rèn)為，指數(shù)就是重復(fù)連乘，這對(duì)于特殊的情況來說（指數(shù)是非零整數(shù)時(shí)），是一個(gè)不錯(cuò)的解釋，小學(xué)生也能夠很快理解這個(gè)概念。

但是隨著時(shí)間的推移，你見到的事物更多了，你就會(huì)在這個(gè)過程中懷疑這種連乘的方法是否是失效了，因?yàn)槟憧吹?^1.5之類的東西，甚至是更奇怪的，例如0⁰，而且是0⁰其結(jié)果居然是1，我記得高中時(shí)老師對(duì)于這個(gè)概念一筆帶過，就說這是它的“定義”，但對(duì)我來說我是很難接受這個(gè)奇怪的定義的。后來想起這些問題，感覺這些概念有必要隨著自己見識(shí)的增長(zhǎng)與時(shí)俱進(jìn)了。

我們最先接觸到的基本數(shù)學(xué)運(yùn)算是加減乘除，“加減”與“乘除”分別屬于數(shù)學(xué)中的第一級(jí)和第二級(jí)運(yùn)算，詳情見《對(duì)數(shù)可以延長(zhǎng)人類壽命？》。我們想想在很小的時(shí)候，當(dāng)我們學(xué)習(xí)剛開始算術(shù)的時(shí)候，老師會(huì)教我們通過數(shù)指頭的方法來完成加法的計(jì)算（例如5+6=11），以及通過重復(fù)加法來實(shí)現(xiàn)乘法計(jì)算例如（2×3=2+2+2=6）（當(dāng)然有的老師只會(huì)教乘法表…）。不過不管怎么說，這一切看起來似乎都挺自然的。

但上述方法當(dāng)然也是針對(duì)簡(jiǎn)單或者說特殊的情況，當(dāng)包含有負(fù)數(shù)或者無(wú)理數(shù)的時(shí)候呢，這種方法似乎就行不通了。加減乘除本身并沒有問題，問題在于我們對(duì)算法的理解上出現(xiàn)了偏差，我們對(duì)這些算法的理解是片面的是部分成立的，而不具有普適性。

為了使算法的描述具有普適性，不應(yīng)單純地用計(jì)數(shù)來實(shí)現(xiàn)加法，而是將其看做是在一條直線上點(diǎn)的位置變化。這種位置可以是負(fù)的（如-1），可以是在某些數(shù)之間（例如無(wú)理數(shù)），或者是在其他的維度上（例如虛數(shù)i，詳情請(qǐng)見《虛數(shù)不“虛”》）。

那么，更加完備的算法思想應(yīng)當(dāng)是：加法是一種“滑移”，例如：+3就是向右滑移3個(gè)單位。乘法就是縮放，例如：×3就是擴(kuò)展到原來的3倍。

那么指數(shù)呢?

舉一個(gè)具體的例子，對(duì)于指數(shù)3²，可以用以下的步驟進(jìn)行分析（這可能是個(gè)笨辦法，但對(duì)于理解問題有益）：

• 設(shè)定初始值為1個(gè)單位量（指數(shù)前面的因子，指數(shù)3²前面的因子為1，指初始值為1個(gè)單位數(shù)量，即1·3²，因?yàn)槌艘?不影響結(jié)果，所以省略不寫了，但是要知道它的存在）(original)

• 設(shè)定每增長(zhǎng)1個(gè)單位時(shí)間，量就增長(zhǎng)到1個(gè)單位時(shí)間前的3倍（即指數(shù)的底數(shù)）(growth)

• 設(shè)定增長(zhǎng)時(shí)間2個(gè)單位時(shí)間（即指數(shù)的冪）(duration)

對(duì)于以上過程，在數(shù)學(xué)上可以給出通式：

或者

就拿上面的3²的例子來說，底數(shù)growth=3指的是單位時(shí)間數(shù)量增長(zhǎng)的倍數(shù)（或稱為增長(zhǎng)倍率）；而冪duration=2指的是數(shù)量增長(zhǎng)的時(shí)間；original=1為初始數(shù)量。

對(duì)指數(shù)的這種“增長(zhǎng)”的理解不同于乘法的尺度縮放，乘法會(huì)給你一個(gè)非常明確的尺度因子，你一眼就可以看出其會(huì)將初始數(shù)量縮放到一個(gè)什么樣的尺度上去。但是對(duì)于指數(shù)，就沒有一個(gè)這樣明顯的縮放因子，因?yàn)樗淼氖且环N“增長(zhǎng)”，相比于乘法（直接縮放得到結(jié)果），指數(shù)更強(qiáng)調(diào)“過程”。這個(gè)思想很重要，因?yàn)樽匀唤缰写蠖鄶?shù)事物都處在一種“無(wú)意識(shí)的增長(zhǎng)”當(dāng)中！

例如，細(xì)菌并不會(huì)計(jì)劃著自己一天分裂一次，它只會(huì)以其自己的方式進(jìn)食并增長(zhǎng)、分裂，而且初值的細(xì)菌數(shù)量越多，其總量的增長(zhǎng)速度也就越快，初始數(shù)量就體現(xiàn)在上式的“original”中，初始值對(duì)最終結(jié)果的影響表現(xiàn)為尺度上的縮放，即乘法的算法思想。

為了得到它們?cè)鲩L(zhǎng)的最終結(jié)果，我們需要知道它們當(dāng)前的增長(zhǎng)倍率以及增長(zhǎng)的時(shí)間。所以指數(shù)操作就可以用簡(jiǎn)單一句話概括：“以某個(gè)初始數(shù)量(original)為起點(diǎn)，以一定的增長(zhǎng)倍率(growth)開始增長(zhǎng)，等到了設(shè)定的時(shí)間(duration)看看增長(zhǎng)到了多少(new)”。

就前面提到的分?jǐn)?shù)冪問題，可以用新的算法思想進(jìn)行解釋。例如2^1.5，既然2¹表示初始值為1，單位時(shí)間增長(zhǎng)率為2，增長(zhǎng)1個(gè)單位時(shí)間后的值；2²表示初始值為1，單位時(shí)間增長(zhǎng)率為2，增長(zhǎng)2個(gè)單位時(shí)間后的值。

那么，2^1.5當(dāng)然就可以理解為初始值為1，單位時(shí)間增長(zhǎng)率為2，增長(zhǎng)1.5個(gè)單位時(shí)間后的值了。如果能將這個(gè)概念告訴斯蒂菲爾(Michael Stifel)，或許他將會(huì)成為發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的第一人吧，因?yàn)樗且驗(yàn)槟莻€(gè)時(shí)代的人們還無(wú)法理解分?jǐn)?shù)冪的概念而放棄了對(duì)“對(duì)數(shù)概念”的進(jìn)一步探究。

現(xiàn)在考慮一種情況，就是如果兩次增長(zhǎng)率相同的增長(zhǎng)“無(wú)縫連接”，即一次增長(zhǎng)緊接著上一次增長(zhǎng)，例如，以單位數(shù)量為初始值，以一定的倍率增長(zhǎng)，先增長(zhǎng)2個(gè)單位時(shí)間，再在此基礎(chǔ)上增長(zhǎng)3個(gè)單位時(shí)間，問題就可以用下式表示：

實(shí)際上和以單位數(shù)量為初始值，以一定的倍率增長(zhǎng)，一共增長(zhǎng)5個(gè)單位時(shí)間所得到結(jié)果是等價(jià)的。寫成通式就是：

這就底數(shù)相同（即增長(zhǎng)率相同）的指數(shù)的乘法法則，即同底指數(shù)相乘等于底數(shù)不變，冪相加。

假設(shè)現(xiàn)在初始值為1個(gè)單位數(shù)量，增長(zhǎng)率為a，那么增長(zhǎng)3個(gè)單位時(shí)間后的結(jié)果為：a³。

那么，對(duì)于上面的情況，其中間時(shí)刻（1.5個(gè)單位時(shí)間時(shí)）的數(shù)量是a^1.5。

如果重復(fù)兩次1.5個(gè)單位時(shí)間的增長(zhǎng)，并運(yùn)用上面說過的指數(shù)相乘運(yùn)算方法，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

用一句話描述就是“半個(gè)周期的增長(zhǎng)結(jié)果乘以半個(gè)周期的增長(zhǎng)結(jié)果等于全周期的增長(zhǎng)結(jié)果”。這也意味著半個(gè)周期的增長(zhǎng)結(jié)果是全周期增長(zhǎng)結(jié)果的平方根。即，增長(zhǎng)時(shí)間減半相當(dāng)于開平方操作。

那么，如果將時(shí)間等分為3份，并讓3次增長(zhǎng)接連發(fā)生，得到的將是：

顯然，得到結(jié)論是1/3個(gè)周期的增長(zhǎng)結(jié)果是全周期增長(zhǎng)結(jié)果的3次方根?？梢韵胂蟮玫?，如果將增長(zhǎng)時(shí)間等分為n等份，那么1/n個(gè)周期的增長(zhǎng)結(jié)果將是全周期增長(zhǎng)結(jié)果的n次方根。

如果將冪視作時(shí)間，那么負(fù)的時(shí)間直觀上其實(shí)就可以理解為“時(shí)光倒流”。如果正常情況是以一定增長(zhǎng)倍率增大，那么“時(shí)光倒流”就指的是以一定的倍率縮小。

上式指的就是：“一個(gè)單位時(shí)間前的數(shù)量是當(dāng)前數(shù)量的(1/2)”。其實(shí)，在指數(shù)函數(shù)2^x的圖像中中任意間隔單位時(shí)間的兩個(gè)點(diǎn)都滿足上面的比例關(guān)系。

那么，當(dāng)冪為0代表什么？先舉個(gè)例子，例如3⁰的意義。它可以解釋為：初始量為1個(gè)單位數(shù)量，增長(zhǎng)倍率為3，增長(zhǎng)了0個(gè)單位時(shí)間。也就是說，沒有給其增長(zhǎng)的機(jī)會(huì)（時(shí)間），數(shù)量當(dāng)然保持著原樣，即為1個(gè)單位數(shù)量或直接寫成1。其他情況（除了底數(shù)為0的特殊情況，下面單獨(dú)討論）都可以用這樣的方法解釋。

即指數(shù)的底數(shù)為零的情況。表示的是初始量為1個(gè)單位數(shù)量，增長(zhǎng)倍率為0，增長(zhǎng)了x個(gè)單位時(shí)間?？梢岳斫鉃橐坏┙o其時(shí)間增長(zhǎng)，就會(huì)變成0。如果無(wú)法一下理解就先假設(shè)x=1，即0¹，表示的是1個(gè)單位時(shí)間后會(huì)變?yōu)?。那么現(xiàn)在將1個(gè)單位時(shí)間分為n個(gè)等份，其中n→∞，那么0^1/n為0¹的n次方根，當(dāng)然也為0，所以，無(wú)論冪1/n多么小或者說無(wú)論增長(zhǎng)時(shí)間多么短，只要冪不為零，底數(shù)為零的指數(shù)都為零！

0的0次方，這個(gè)現(xiàn)在終于可以解釋了。表示的是初始量為1個(gè)單位數(shù)量，增長(zhǎng)倍率為0，增長(zhǎng)了0個(gè)單位時(shí)間。雖然上面說了只要給其增長(zhǎng)的時(shí)間，它就為零，但是現(xiàn)在的情況是：并沒有給初始值發(fā)生這種增長(zhǎng)的機(jī)會(huì)！所以，不管以多少倍率增長(zhǎng)其實(shí)都無(wú)所謂，任何形式的增長(zhǎng)都沒有發(fā)生，最終結(jié)果就是初始值1個(gè)單位數(shù)量或直接寫為1，即0⁰=1。

Reference

[1] Michael Stifel, https://en./wiki/Michael_Stifel

[2]Understanding Exponents (Why does 0^0 = 1?) https:///articles/understanding-exponents-why-does-00-1/

(Sample picture source：)